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1、概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征1 第三章 随即变量的数字特征【授课对象】 理工类（本）二年级【授课时数】 4 学时【授课方法】 课堂讲授与提问相结合【基本要求】 1、理解数学期望、方差的概念，并掌握它们的性质。2、会计算随机变量函数的数学期望。3、了解协方差、相关系数的概念。【本章重点】 对数学期望、方差、相关系数等数字特征概念的理解与计算。【本章难点】 对不相关与相互独立间关系的理解。【授课内容及学时分配】3. 0 前言从上一章我们可以看出，分布函数（或密度函数、分布列）给出了随机变量的一种最完全的描述。因此，原则上讲，全面认识和分析了随机现象就应当能求出其分布，但是对许多实际
2、问题来讲，要想精确地求出其分布是很困难的。其实，通过对许多实际问题的分析，人们发现对某些随机现象的认识并不要求了解它的确切分布，而只要求掌握他们的某些重要特征，这些特征往往更能集中地反映随机现象的特点。如，要评价两个不同厂家生产的灯泡的质量，人们最关心的是谁家的灯泡使用的平均寿命更长些，而不需要知道其寿命的分布完全。同时还要考虑其寿命与平均寿命的偏离程度等。这些数据反映了它在某些方面的重要特征。我们把刻划随机变量 (或其分布 )某些特征的确定的数值称为随机变量的数字特征。本章主要介绍反应随机变量取值的集中位置、分散程度及随机变量之间相依程度的数字特征数学期望、方差与相关系数。3.1随机变量的数
3、学期望一、离散型随机变量的数学期望引例： 甲、乙二人进行射击比赛，以、分别表示他们命中的环数，分布列分别为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征2 6 .01 . 03. 010983. 05 .06 .01098试问谁的技术好些 ? 这个问题的答案并不是一眼看得出的。这说明了分布列虽然完整地描述了随机变量，但是却不够“集中”地反映出它的变化情况，因此我们有必要找出一些量
4、来更集中、更概括地描述随机变量，这些量多是某种平均值。若在上述问题中，使两个射手各射N 枪，则他们打中的环数大约是：甲83.0+9 0.1+10 0.6=9.3 乙 8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 平均起来甲每枪射中9.3 环，乙每枪射中 9.1 环，因此甲射手的本领要好些。受上面问题的启发，为此，对一般离散型随机变量，我们引入如下定义：定义 1: 设为离散型随机变量，其分布列为：2121ppxx，若iiipx1+则称 E=iiixpx1=iiipx1为的数学期望或均值。注 ：当级数iiipx1发散时， E不存在。为使E与各项的次序无关，必须要求iiipx1收敛；否则，若iiip
5、x1条件收敛，则 E不唯一，这自然不行。Eg1：求示性函数：)(w=)(wIA=AwAw01的数学期望。解：)(00 11)()(APIPIPIEEAAA可见，可以通过求其示性函数的数学期望的办法来求出事件A的概率。Eg2：设随机变量只取非负整数值，且其分布列为0)1 (1aaakPkk，试求E。解：101)1(11)1(101bbaaaakaaakEkkkkk则，令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理
6、统计教案第三章随机变量的数字特征3 而211)1()1(bbbbbbbkbkkkk，所以aaaaaaE2)11 (111二、连续型随机变量的数学期望定义2：设为连续型随机变量，其密度函数为)(xf，若广义积分dxxfx)(+收敛时，则定义的数学期望或均值为dxxfxE)()(；否则 E不存在。上述定义设)(xF，若)(xdFx，则)()(xdFxE。注：设想取很密的分点），将（nxxx10分割，则落在,1iixx（内的概率等于)()()()(1111iiixxiiiixxxfdxxfxFxFxxPii，因此与以概率)()()(11iiiiixxxfxFxF或取 值ix 的离 散 型 随 机 变
7、量 相似 ， 而 后 者 的数 学 期 望 为 )( )()(11iiiiiiiiixxxfxxFxFx或，这个和式的极限就是)()(dxxxfxxdF或。Eg3：设随机变量其它021210)(xxxxxf，求E。解：112)31(0131)2()(32321102xxxdxxxdxxdxxxfE三、随机变量函数的数学期望1.是离散型随机变量)(g是离散型随机变量若iiipxg)(+，则定义的数学期望为： E=E)(g=iiPxg)(，其中,2 , 1,ixPpii2.是连续型随机变量，其密度函数为)(xf，则)(g是连续型随机变量若dxxfxg)()(+，则称)(g的数学期望为dxxfxgg
8、EE)()()(Eg4：, 2, 1 ,0!kpekkpkk，求11E。解：令11，则ekkpkEkkkk!111100=01)!1 (KKke名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征4 =1!nnne=e(e -1)=/ )1(e0!nnxnxe对二维的情形：3.设(,)为二维离散型随机变量，其联合分布列为Pij，g(x,y)是二元连续函数，则g(,)为一维随机变量。若11
9、)(ijjiyxgPij+收敛，则称g(,)的数学期望为),(gE=11)(ijjiyxgPij4.设(,)为二维连续型随机变量，其联合密度函数为f(x,y)，若dxdyyxfyxg),(),(+,则称g(,)的数学期望为),(gE=dxdyyxfyxg),(),(Eg5：设(,)的密度函数为 P(x,y)=其它010, 10yxyx，试求，的数学期望。解：1021067)(),()()(dxdyyxdxdyyxpyxE)(E=dxdyyxxyP),(=dxdyyxxy1010)(=1/3 Eg6：假定国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随即变量（单位:千吨） ，其分布函数为 P(x)=
10、其它04000200020001x设每售出这种商品一千吨， 可为国家挣得外汇3 千万元；但假如销售不了而囤积于仓库，则每吨须花保养费用1 千万元，问需要组织多少货源，才能使国家收益最大？解：设y为某年预备出口的该种商品量，由于外国的需求量为，则国家收入（单位 :万元）是的函数，且=f()=yxyyxy)(33，这为随机变量。若收益最大，那么平均值最大。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随
11、机变量的数字特征5 而E=Ef()=dxxPxf)()(=40002000)(20001dxxf=yxyx2000)(320001d x+dxxyy400020001=62104700010001yy解得：当 =3500 时，E取得最大值。因此，需组织3500 千吨该商品，平均说来能使国家的收益最大，这最好的决策。四、数学期望的性质1.若ba则bEa，特别地：，这里cba为常数。roof：设P(x)，若 g(x)C，则(g）=C )(E=dxxPxg)()(=dxxCP)(=dxxPC)(=C 思考：若E存在，则?)(EE2.常数 a,b 有 E(ab)aEbEroof：设(),P(x,y)，
12、令=g(x,y)=ab，则：E= E(ab)=(ax+by)P(x,y)dxdy=adyyxPx),(dx+bdydxyxPy),(=adxxxP)(+bdyxyP)(=bEaE推论： 对常数 CE（C）=CEE()=EEE(ii)=iiE)(3.若,相互独立，则 E=EE事实上 E=xyP(x,y)dxdy=xyP (x)P (y)dxdy=xP (x)dxy P (y)dy=EE推论：若21,n相互独立，则nnEEEE2121)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5
13、 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征6 注：性质 3 的逆不成立。Eg7：(,)的联合分布为：显然： EE=0，E=0，故有 EE=E又0 0,0P，而 P)0=21，P)0=21，故000,0PPP从而,不独立。五、课后作业： 1、仔细阅读 P60-73；2、作业： P80 1, 2, 4, 5； 3、预习 P73-79名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - -
14、 - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征7 3.2 方差0、引言上节课，我们研究了随机变量的重要数字特征数学期望。它描述了随机变量一切可能取值的平均水平。在一些实际问题中，仅知道平均值是不够的，因为它有很大的局限性，还不能够完全反映问题的实质。例如，某厂生产两类不同手表，甲类手表日走时误差均匀分布在-1010 秒之间；乙类手表日走时误差均匀分布在-2020秒之间，易知其数学期望均为0，即两类手表的日走时误差平均来说都是0。所以由此并不能比较出哪类手表走得好，但我们从直觉上易得出甲类手表比乙类手表走得较准，这是由于甲的日走时误差与其平均值偏离度较小，质量稳定。由此可见我们有必要研究随机
15、变量取值与其数学期望值的偏离程度即方差。一、方差的定义与计算设是随机变量， E是其数学期望，则E表示与 E之间的偏差大小，但由于绝对值对运算带来得不便，所以常用(E)2代替之。又因为 (E)2仍是一个随机变量，则用 E(E)2来描述与其 E的偏离程度的大小，为此有：Df1：设是一随机变量，若E(-E)2，则称 E(-E)2为随机变量的方差，记为D（或 Var） ，即 D=E(-E)2，而称D为的标准差（或均方差） ，记为)(。由定义，显然D0，当的可能取值集中在E附近时， D较小，否则 D较大。可见，其大小就反映了与 E的偏离程度或取值的分散程度。由定义及随机变量函数的数学期望，可以推出方差的
16、计算公式：1.当是离散型随机变量时，则有：D=E(-E)2=2)(ExiiPi，其中 Pi=Pxi i=1,2,32.若是连续型随机变量，则有：D=2)(Exf(x)dx，其中 f(x)是的密度函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征8 一般地，若随机变量的分布函数为 F(x)，则 D=2)(ExdF(x) 另由定义还有： D=E(2)(E)2事实上： D=E(-E)2
17、=E2-2E+(E)2=E2-2 EE+(E)2=E2-(E)2Eg1：设21,分别表示甲、乙类手表的日走时误差，则其概率密度分别为：)(1xP其它01010201x)(2xP其它02020401x因此有： E1=dxxxP1=1010201xdx=0=E2D1=E(21)-(E1)2=E(21)=dxxPx12=10102201dxx=1002101dxx3100D2=E(22)=20202401dxx=2002201dxx=3400因此 D10， D0，则称DDCov),(为随机变量,的相关系数（或标准协方差）。显然：就是标准化随机变量D,D的协方差。2.性质：1=1与以概率 1 线性相关
18、，即存在常数a 与 b 使()ba=1 具体地：1P(DE=)DE=1 正相关1P(DE=)DE=-1 负相关Df3：若,的相关系数=0，则称与不相关。关于不相关有如下定理：Th1：对于与，下列命题等价：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 概率论与数理统计教案第三章随机变量的数字特征11 Cov ()=0,不相关，即=0E=EED()=D+D注：当,独立时，与亦成立。可见：Th2：若,相互独立，则,不相关，反之不然。该定理说明，独立性是比不相关更为严格的条件。Eg3：P27例 4 三、课后作业： 1、仔细阅读 P73-79；2、作业： P81 7, 8, 10, 13； 3、预习 P83-92名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -