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1、第页共页1.（10 分）随机变量12,XX彼此独立， 且特征函数分别为12( ),( )vv，求下列随机变量的特征函数：（1）122XXX（2）12536XXX解： （1）121222( )jv XXjvXjv XjvXXvE eE eE ee1221212( ) (2 )jvXjv XXXE eE evv和独立（2）1212536536( )jvXXjv Xjv XjvXvE eE eee1253612jv Xjv XjvXXE eE eE e和独立612(5 ) (3 )jvevv2.（10 分）取值1, 1，概率0.4,0.6的独立半随机二进制传输信号( )X t，时隙长度为T，问：（1
2、） 信号的均值函数E X t；（2） 信号的自相关函数,XRtt；（3） 信号的一维概率密度函数;Xfx t。解： （1）10.41 0.60.2EX t(2) 当,tt在同一个时隙时：222(, )()( )( )10.6( 1)0.41XRttE X tX tE Xt当,tt不在同一个时隙时：(, )()( )()( )0.20.20.04XRttE X tX tE X tE X t（3）;0.610.41Xfx txx3.（10 分）随机信号0( )sin()X tt，0cosY tt，其中0为常数，为在-,上均匀分布的随机变量。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
3、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效. . 第页 共 8 页2 （1） 试判断X t和Y t在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性；（2） 试判断X t和Y t是否联合广义平稳。解：（1） 由于X ( t )和Y( t )包含同一随机变量，因此非独立。根据题意有12f ()。001sin()02E X(t )Etsin( w t)d，001cos()02
4、EY(t)Etcos(w t)d1212120 10 20 10 20120120121211242XYXYC(t ,t )R(t ,t )E X( t )Y(t )Esin( w t)cos( w t)sin( w t)cos(w t)dsin w (tt )sin w (tt ) dsin w (tt )由于0XYXYR(t,t )C(t,t )，X( t )和Y( t )在同一时刻正交、 线性无关。除012wttk外的其他不同时刻12120XYXYR (t ,t )C(t ,t )，所以1X(t)和2Y(t)非正交且线性相关。（2） 由于0E X(t )EY(t)，X ( t )和Y(
5、t )均值平稳。120 10 20 10 20120120120121241122XR (t ,t )E sin( w t)sin( w t)sin( w t)sin( w t)dcos w (tt )cosw (tt )dcos w (tt )cos(w)同理可得1212YXR (t ,t )R (t ,t )，因此X( t )和Y( t )均广义平稳。由于121201201122XYXYR( t ,t )C( t ,t )sin w ( tt )sin( w)，因此X( t )和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
6、 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效. . 第页 共 8 页3 Y( t )联合广义平稳。4.（10 分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中c均为常数）？如果不能，请写出理由。（1）cos() | |4( )0 ccR其它（2）cos() | |2( )0 ccR其它（3）10cos() | |( )0 ccR其它（4）( )=cos() | |cR解： （1）不能，因为零点连续，而4/点
7、不连续。（2）能。（3）不能，因为20cR()R()，而 R()又不是2c/的周期函数。（4）能。5.（10 分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度01 W/Hz2N，求系统输出噪声的功率谱密度函数和自相关函数，以及输出噪声总功率。解：系统的传递函数为11RHjRjLj，则系统输出功率谱密度为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密.
8、.封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效. . 第页 共 8 页4 22211212 1YXSSHj。输出噪声的自相关函数为12YRe输出噪声总功率为102NYPR ()(W )6.（10 分）设随机信号( )( )( )sinZ tX ttY tt00cos，其中0为常数，( )( )X tY t和均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。问：（1）( )( )X tY t和是否联合广义平稳？（2） 假如( )( )XYRR=，( )Z t是否为广义平稳的随机信号？证明：（1） 由于( )( )X tY t和相互正交， 所以(, )(, )0XYYXRttRtt，与 t 无关 ，又
9、因为( )( )X tY t和均为零均值的平稳随机过程，所以( )( )X tY t和是联合广义平稳随机信号。（2） 假如( )( )XYRR=，( )( )( )sin0E Z tE X ttY tt00cos常数(, )()( )ZRttE Z tZ t()()()sin()( )( )sinEX ttY ttX ttY tt0000coscos()( )()() ( )()E X tX tttE X tY ttt0000coscoscossin ()( )() () ( )()E Y tX tttE Y tY ttt0000sincossinsin由于( )( )X tY t和相互正交，
10、所以() ( )()( )0E X tY tE Y tX t(, )()( )() () ( )()ZR ttE X tX tttE Y tY ttt0000coscossinsin( )()( )()XYRttRtt0000coscossinsin( )( )XYRR00coscos，与 t 无关所以( )Z t是广义平稳的随机信号。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课
11、号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效. . 第页 共 8 页5 7.（10 分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是， 求该信号的平均功率； 若不是，请说明原因。（1）229()69S=（2）2424( )109S=（3）21 0()010S（4）() 2S=解：（1） 不可以。不是偶函数。（2） 可以。42224111()109219S=，所以3( )Ree11=412，所以1(0)3PR11=412（3） 可以。10101120()222PSdd（4） 可以。11()2()122PSdd8.（10 分）某语音随机信号( )X t满
12、足广义各态历经性，现将该信号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声( )N t。讨论：（1） 收到的信号( )( )( )Y tX tN t的均值各态历经性；（2）( )Y t满足广义各态历经性的条件。解：由( )X t满足广义各态历经性，所以( )X t广义平稳且满足：( )( )()( )()( )xE X tA X tmtE X tX tA X tX tt，与 无关，与 无关同理，( )N t 广义平稳且满足：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
13、 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效. . 第页 共 8 页6 1( )( )lim( )02()( )()( )( )2TTToE N tA N tN t dtTNE N tN tA N tN t由于( )X t与( )N t是独立的，所以：( )( )( )XE Y tE X tN tm(, )()()( )( )( )( )YXNRttEX tN tX tN tRR所以( )Y t是广义平稳的。且有：( )( )( )( )( )( )( )XA
14、Y tA X tN tA X tA N tE X tE N tm所以，() ( )()()( )( )()( )()( )()( )()( )A Y tY tAX tN tX tN tA X tX tA N tN tA X tN tA N tX t()()( )()XNA X tNX t NRttRA由于( )( )XE Y tA Y tm，所以( )Y t是均值各态历经的。假如()( )( )()0A X tN tA X t N t，则( )Y t是广义各态历经的。9.（10 分）已知平稳随机信号( )X t的功率谱密度24( )4XS。( )X t通过频率响应为1( )1Hj的系统后得到(
15、 )Y t。求：（1）( )Y t的均值、平均功率；（2） 系统的等效噪声带宽；（3） 信号( )Y t 的矩形等效带宽。解: (1) 2 124( )4XRFe()0XXmR，(0)0YXmHm22222411422()()()4 1343 1YXSSH21( )23YRee名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无
16、 . .效. . 第页 共 8 页7 1(0)3YYPR（2）22211()( )12hHreu202(0)142( 0)010YhNrBRjNHH（3）信号( )Y t的矩形等效带宽( 0 ) 12( 0 )6YeqYRBS10. （10 分）00( )( )cos(2)( )sin(2)N tX tf tY tf t设所表示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度()NSf如下图示，若0f为 100Hz，试求：（1） 随机信号( )N t的一维概率密度函数；（2）( )( )XXYRR和；（3）( )N t的两个正交分量的联合概率密度函数。解：ttYttXtN00sin)(cos)()(tY
17、tX,也是高斯的依题0E N tE X tE Y t)(24)97103(220222wdffSRNNYXN(1) 48exp341242exp2421;22nntnfN（2）0f=100Hz，根据 X(t) 和 Y(t) 的性质知)()()(00NNXSSLPS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学院 _ 姓名_ 学号 _ 任课老师 _ 选课号 _ . 密. .封 . 线 .以 .内 .答 .题 .无 . .效.
18、. 第页 共 8 页8 且)()(00NNSS则可得0)(XYR，)( fSX如图求)( fSX的傅立叶反变换可得23231( )()()2sin64246jjfXXXjfRSedSf edfedf(3) 21;e x p48224Xxfx t21;e x p48224Yyfy tNS关于0对称，所以,X tY t在任意时刻正交 ,不相关 ,独立 . 2212121, ; ,;exp4848XYXYxyfx y t tfx tfy t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -