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1、集合一定义集合是高中数学中最原始的不定义的概念，只给出描述性的说明。某些确定的且不同的对象集在一起就成为集合。组成集合的对象叫做元素。二集合的抽象表示形式用大写字母A，B，C表示集合；用小写字母a，b，c表示元素。三元素与集合的关系有属于，不属于关系两种。元素a 属于集合 A，记作aA；元素 a 不属于集合A，记作aA。四几种集合的命名有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限个元素的集合；空集：不包含任何元素的集合叫做空集，用表示；自然数集： N；正整数集： N*或 N+；整数集： Z；有理数集： Q；实数集： R。五集合的表示方法(一) 列举法：把元素一一列举在大括号内的表示方法，例如
2、： a,b,c 。注意：凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。(二) 描述法：有以下两种描述方式1 代 号 描 述 ：【 例 】 方 程2x3x+2=0的 所 有 解 组 成 的 集 合 ， 可 表 示 为 x|x2-3x+2=0 。 x 是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符合的条件。2文字描述：将说明元素性质的一句话写在大括号内。【例】 大于2 小于5 的整数 ；描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就说要判断元素到底是什么。(三) 韦恩图法：用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。1子集：如果属于A 的所有元
3、素都属于B，那么A 就叫做B的 子集 ， 记 作 ：AB， 如 图1-1 所 示 。图 1-1 子集有两种极限情况：(1)当 A 成为空集时， A 仍为 B 的子集；(2)当 A 和 B 相等时， A 仍为 B 的子集。真子集：如果所有属于A 的元素都属于B，而且中至少有一个元素不属于A，那么A 叫做 B 的真子集，记作AB?或AB。真子集也是子集，和子集的区别之处在于AB。对于同一个集合，其真子集的个数比子集少一个。(1)求子集或真子集的个数，由n 各元素组成的集合，有 2n个子集，有2n -1 个真子集；(2)空集的考查：凡是提到一个集合是另一个集合的子集，作为子集的集合首先可以是空集，A
4、B的等价形式主要有：BBAABA，。2交集：由两个集合的公共元素组成的集合， 叫做这两个集合的交集 ，记作BA，读作 A 交 B，如图 1-2 所示。图1-2 图1-3 图 1-4 3并集：由两个集合所有元素组成的集合，叫做这两个集合的并集，记作BA，读作 A 并 B，如图 1-3 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 45 页 - - - - - - - - - 4补集：由所有不属于的元素组成的集合，叫做在全集中的补集，记作UC A，读作 A 补，如图
5、1-4 所示。德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B. (四) 区间表示法：数轴上的一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思； 【例】 (2，3)，2,3，(2,3，2，3 第二章函数一映射与函数的基本概念(一) 映 射A 集合中的每个元素按照某种对应法则在B 集合中都能找到唯一的元素和它对应，这种对应关系叫做从A 集合到B 集合的映射。 A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。在 A 到 B 的映射中，从A 中元素到 B 中元素的对应，可以多对一，不可
6、以一对多。图2-1是 映 射图2-2是 一 一 映 射图 2-3 不是映射() 求 映 射 ( 或 一一映射 )的个数， m 个元素的集合到n 个元素的 集合的映射的个数是 nm。()判断是映射或不是映射：可以多对一，不可以一对多。(二) 函数的概念定义域到值域的映射叫做函数。如图2-4。高中阶段，函数用f(x)来表示：即x 按照对应法则f 对应的函数值为f(x) 函数有解析式和图像两种具体的表示形式。偶尔也用表格表示函数。函数三要素：定义域A：x 取值范围组成的集合。值域B：y 取值范围组成的集合。对应法则f：y 与 x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式函数与普通映射的区别在于：
7、(1)两个集合必须是数集；(2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。图 2-4 二定义域题型(一) 具体函数：即有明确解析式的函数，定义域的考查有两种形式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 45 页 - - - - - - - - - 直 接 考 查 ： 主 要 考 解 不 等 式 。 利 用 ： 在( )f x中( )0fx； 在( )( )g xf x中 ，( )0f x；在log( )afx中，( )0f x；在tan( )
8、f x中，( )2f xk；在0( )fx中，( )0f x；在xa与logax中0a且1a，列不等式求解。(二)抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同。三 值域题型(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段。常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数。(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域。解题步骤： (1)换元变形；(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3)画图像，定区间，截段。(三) 分式函数求值域：四种题型(1)cxdyaxb(0)a：则cya且yR。(2)(2)cxdyxaxb：利用反表示法求值域。先反表示
9、，再利用x 的范围解不等式求 y 的范围。(3)2223261xxyxx：(21)(2)21()(21)(31)312xxxyxxxx，则1y13y且且yR。(4)求2211xyxx的值域，当xR时，用判别式法求值域。2211xyxx2(2)10yxyxy，2(2)4 (1)0yy y值域(四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段。判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解。(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域。(六) 已知值域求系数：利用求
10、值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 45 页 - - - - - - - - - 四函数运算法则（一）指数运算法则mnm naaamnm naaa()mnmnaa()mmma bab运用指数运算法则，一般从右往左变形。（二）对数运算法则同底公式：logabablogloglog ()aaaMNMNlogloglogaaaMMNNloglognaaMnM运用对数运算法则，
11、同底的情况，一般从右往左变形。不同底公式：logloglogmamNNaloglogmnaanbbm1loglogabba运用对数运算法则，不同底的情况，先变成同底。五函数解析式(一) 换元法：如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5，求 f(3-7x) ，(设 2x + 3=3-7t) 。(二) 构造法：如221)1(xxxxf，求 f(x) 。(三) 待定系数法：通过图像求出y=Asin( x +) + C 中系数(四) 递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。(五) 求原函数的反函数：先反表示，再x、y 互换。六常规函数的图像常规函数图像主要有：指数函数：逆时针旋转，
12、对数函数：逆时针旋转，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 45 页 - - - - - - - - - 底数越来越大底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。七 函数的单调性(一) 定义：在给定区间范围内，如果x 越大 y 越大，那么原函数为增函数；如果x 越大 y 越小，那么原函数为减函数。(二) 单调性题型：1.求单调性区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间。复合函数
13、法：211x：当 0 x 1 时， x，x2， - x2，1，12.判断单调性(1).求导函数：( )0fx为增函数，( )0fx为减函数(2).利用定义：设x1x 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 无理不等式：(1)( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x. (2)2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf xf xg xg xg xf xg x或. (3)2( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后
14、，再换元成有理不等式求解。(1)当1a时, ( )( )( )( )f xg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2)当01a时, ( )( )( )( )f xg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x三 线性规划线性规划，出题现象如下：设变量,x y满足约束条件1,1,33,xyxyxy则目标函数4zxy的最大值为（ ) A.4 B.11 C.12 D.14 解题步骤：（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，名
15、师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 45 页 - - - - - - - - - 标明直线序号（2）依据以下结论确定平面区域：( )yf x是点在直线上方（包括直线）( )yf x是点在直线下方（包括直线） ；( )yf x是点在直线上方（不包括直线）( )yf x是点在直线下方（不包括直线）（3）确定目标函数函数值的几何意义（4） 1若目标函数值 z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出 z
16、的最值。 2 若目标函数 z 表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。 3 若目标函数 z 表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。导数一导数的概念（一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数)(xfy在0 xx处附近有定义，如果0 x时，y与x的比xy(也叫函数的平均变化率)有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0 xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/2 导函数的定义：如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导
17、数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf, 称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数。（二）导数的实际意义：1.导数的几何意义：/0()fx是曲线)(xfy上点 ()(,00 xfx)处的切线的斜率因此，如果)(xfy在点0 x可导，则曲线)(xfy在点 ()(,00 xfx)处的切线方程为)()(00/0 xxxfxfy2.导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬时速度，也叫做瞬时变化率。（三）概念部分题型：1.利用定义求函数)(xfy的导数主要有三个步骤：(1)求函数的改变量)()(xfxxfy(2)求平均
18、变化率xxfxxfxy)()(3)取极限，得导数/y( )fxxyx0lim2.利用导数的实际意义解题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 45 页 - - - - - - - - - 主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。二导数的运算（一）常见函数的导数10C21)(nnnxx3xxee )(4aaaxxln)(51(ln ) xx6axexxaaln1log1)(log7xxcos)(sin8xxsin)(cos（二）导数的四则运算1和差：
19、()u vuv2积：vuvuuv)(3商：2)(vvuvuvu（三）复合函数的导数：1运算法则复合函数导数的运算法则为：( )( )( )fg xfgg x2复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数三导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1.导数和函数单
20、调性的关系：(1)若f(x)0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数，f(x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f(x)0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，f(x)0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f(x)0 时,和 s 总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数( )f x在,a b上的定积分 ,记为badxxf)(，即( )baf x dxniiixf10)(lim其中 , xiniif)(1称为函数( )f x在区间,a b的积分和 . 2、定积分的几何意义定积分badxxf)(在几何上 ,当( )0fx时,表示
21、由曲线( )yf x、直线xa、直线xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；当( )0f x时，表示由曲线( )yf x、直线xa、直线xb与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线( )yf x、两条直线xa、xb与x轴之间的个部分面积的代数和（二）微积分基本定理1、基本定理若函数( )f x在ba,上连续，且存在原函数( )F x，即baxxfxF,，则f在ba,上可积，且.aFbFdxxfba这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成.babaxFdxxf二、常用的不定积分公式：1. Cdx02. Cxdxx111(1) 3. Cxdxxln14. Caadxaxxln1(0a，1
22、a) 5. Cedxexx6. Cxxdxcossin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 45 页 - - - - - - - - - 7. Cxxdxsincos8. Cxxdxtansec29. Cxxdxcotcsc210.Cxxdxxsectansec12.Cxxdxxcsccotcsc13.CxCxdxxarccosarcsin11214.CxCxdxxcotarcarctan112本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。复数一复数的概念1.虚数单位
23、i：(1)它的平方等于 -1，即21i；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与 1 的关系 : i就是 1 的一个平方根，即方程x2=1 的一个根，方程x2=1 的另一个根是i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14. 复数的定义：形如( ,)abi a bR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 *5. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即( ,)zabi a bR，把复数表示成a+bi 的形式，叫做复数的代数形式6.复数与实数、虚数、纯虚数及0
24、 的关系：对于复数( ,)abi a bR，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当a=0 且 b0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0 时，z 就是实数 07. 复数集与其它数集之间的关系：NZQRC二复数与复平面1. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 即：如果a，b，c，dR，那么 a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小也只有当两个复数全是实数时才能比较大小2.复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标
25、是a，纵坐标是b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为 (0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0 表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点( , )Z a b这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一bZ(a ，b)aoyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
26、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 45 页 - - - - - - - - - 个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三复数的运算1复数 z1与 z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=( a-c)+(b-d)i3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z14. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)5乘法运算规则
27、：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成 1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数6. 乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3；(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3；(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z37. 除法运算规则：()()()()abiabi cdicdicdi cdi2222acbdbcadicdcd8.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
28、数 虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数 z=a+bi 和z=abi(a、bR)互为共轭复数四复数的几何意义1. 复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量1OP、2OP，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS 表示的向量OS就是 z1+z2的和所对应的向量2. 复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应3复数的模：22| | |zabiOZab第六章概率一事件（一）、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象（二）、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种
29、结果，这种现象叫做随机现象（三）、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件二概率在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。1.概率：一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生的频率mn作为事件A发生的概率的近似值，即mP An2概率的性质：随机事件的概率为0( )1P A，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的
30、概率为0，即1P，0P; 3.（1）频率的稳定性即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 45 页 - - - - - - - - - 的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率; （2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事
31、件的属性. 1.随机事件的概率：我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在01之间的一个数，将这个事件记为A，用AP表示事件A发生的概率 . 三 古典概型1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型4、古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是1
32、n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为( )mP An5、古典概型解题步骤：阅读题目，搜集信息；判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；用公式( )mP An求出概率并下结论. 四几何概型几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型几何概型的基本特点：（）试验中所有可能出现的结果(基本事件 )有
33、无限多个；（）每个基本事件出现的可能性相等几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域d内为事件A，则事件A发生的概率( )dP AD的测度的测度说明：（）D的测度不为0；（）其中测度的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的测度分别是长度，面积和体积（）区域为开区域；（）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关第十八章计数原理 (理科) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
34、整理 - - - - - - - 第 15 页，共 45 页 - - - - - - - - - 一分类、分步原理（一）分类原理：12nNmmm. 分类原理题型比较杂乱，须累积现象。几种常见的现象有：1开关现象:要根据开启或闭合开关的个数分类2数图形个数:根据图形是由几个单一图形组合而成进行分类求情况数3球赛得分：根据胜或负场次进行分类（二）分步原理：12nNmmm. 两种典型现象：1涂颜色(1)平面图涂颜色:先涂接触区域最多的一块(2)立体图涂颜色：先涂具有同一顶点的几个平面，其他平面每步涂法分类列举2映射按步骤用 A 集合的每一个元素到 B 集合里选一个元素，可以重复选。二排列组合（一）常
35、规题型求情况数1.直接法：先排(选)特殊元素，再排(选)一般元素。捆绑法，插空法。2.间接法：先算总情况数，再排除不符合条件的情况数。（二）七种常考非常规现象1小数量事件需要分类列举：凡不可使用公式且估计情况数较少，要分类一一列举 (例 1，例 2) 2相同元素的排列：用组合数公式选出位置把相同元素放进去，不用排顺序 (例3 例 4) 3有序元素的排列: 用组合数公式选出位置把有序元素放进去，不用排顺序 (例5 例 6) 4剩余元素分配：有互不相同的剩余元素需要分配时，用隔板法。 (例 7例 8) 5迈步与网格现象: (例 9 例 10) 要看一共走几步，把特殊的几步选出来，有几种选法就有几种
36、情况6立体几何与解析几何现象：多数用排除法求情况数 (例 11) 7平均分组现象: (例 12 例 13) 先用分步原理选出每一组的元素，再除以因为平均分组算重复的倍数，平均分n 组，就除以nnA，有几套平均分组就除几个xxA（三）排列数，组合数公式运算的考察1.排列数公式mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)注:规定1! 0. 2. 排列恒等式(1)1(1)mmnnAnmA; (2)1mmnnnAAnm; (3)11mmnnAnA; (4)11nnnnnnnAAA; (5)11mmmnnnAAmA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -
37、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 45 页 - - - - - - - - - (6) 1! 2 2!3 3!(1)! 1n nn. 3. 组合数公式mnC=mnmmAA=mmnnn21)1() 1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn). 4. 组合数的两个性质(1)mnC=mnnC; (2) mnC+1mnC=mnC1. 注:规定10nC. 5. 组合恒等式(1)11mmnnnmCCm; (2)1mmnnnCCnm; (3)11mmnnnCCm; (4)nrrnC0=n2; (5)1121rnrnrrrrrrCC
38、CCC. (6)nnnrnnnnCCCCC2210. (7)14205312nnnnnnnCCCCCC. (8)1321232nnnnnnnnCCCC. (9)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110. (10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(. 6. 排列数与组合数的关系mmnnAm C！. 三二项式定理（一） 公式1二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(. 展开式具有以下特点：项数：共有1n项；系数：依次为组合数;,210nnrnnnnCCCCC每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开
39、. 2二项展开式的通项. nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 45 页 - - - - - - - - - 解三角形一正弦定理（一）知识与工具：正弦定理：在ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin。在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180(2)两
40、边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式： S=21absinC=Rabc4=2R2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin2BA=cos2C，cos2BA=sin2C（二）题型使用正弦定理解三角形共有三种题型题型 1 利用正弦定理公式原型解三角形题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化 )解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。例如：222222sin3sin2sin32ABCabc题型 3 三角形解的个数的讨论方法一：画图看方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的
41、结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。二 余弦定理（一）知识与工具：a2=b2+c22bccosA cosA=bca2cb222b2=a2+c22accosB cosB=acbca2222c2=a2+b22abcosC cosC=abcba2222注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180；(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。(3)面积公式： S=21absinC=Rabc4=2R2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型题
42、型 1 利用余弦定理公式的原型解三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 45 页 - - - - - - - - - 题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换 )解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。题型 3 判断三角形的形状该： 结论：根据余弦定理，当a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2
43、b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。判断三角形形状的方法：(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C= 这个结论。在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型 1 计算高度题型 2 计算距离题型 3 计算角度题型 4 测量方案的设计实
44、际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。（三）其他常见结论1三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直2三角学中的射影定理：在 ABC 中，AcCabcoscos，3两内角与其正弦值：在 ABC 中，BABAsinsin，第十七章空间向量（理科）一 空间向量的线性运算知识点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： (1)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空
45、间向量的加法、减法与数乘运算如下(如下图 )。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 45 页 - - - - - - - - - OBOAABab;BAOAOBab; ()OPaR运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(二空间向量的基本定理知识点1. 共线向量(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。当我们说向量a、b共线 (或a/b)时，表示
46、a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。(2)共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b0)，a/b存在实数，使ab。深化：(1)对于空间中的任意两个向量来说都是共面的，但三个向量不一定共面(2)当 p、a、b 都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p、a、b 所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线确定的平面内2. 共面向量(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数, x y使pxayb。3. 空间
47、向量基本定理：如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc。若三向量, ,ab c不共面，我们把 , , a b c叫做空间的一个基底，, ,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使OPxOAyOBzOC。深化：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 45 页 -
48、 - - - - - - - - (1)如果三个向量a、b、c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是p|pxaybzc，x、y、zR这个集合可看作是由向量a、b、c 生成的，所以我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a、b、c 都叫做基向量由上述定理可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底(2)推论中，若xyz，则根据共面向量定理得：P、A、B、C 四点共面故1OPxOAyOBzOCxyz可看成平面ABC 的一个向量参数方程，其中 x, y，z 为参数 . 三向量的数量积(一)平面向量0000,(0180 )0180,cos3.cosabOAa OBbAOBabababababa
49、 babbab01. 非零向量和 ，作则叫向量 与 夹角当时，与 同向，当时与 反向。当=90 时，与 垂直. 记作ab2. 向量 与 的数量积在 方向上的投影221cos (20(3);(4)(5)cos(6)aeeba bababbaaaa aa ba ba ba b4. 数量积的性质：（） e a=a e=a是 与 的夹角，是单位向量）（ ）a当 与b同向时， a b=a当 与 反向时， a b=- a或5. 数量积满足的运算律(1)ab=b a(2)(a) b= (ab)=a (b);(3)(a+b)c=a c+b c(二) 空间向量(1) 空 间 向 量 的 夹 角 及 其表 示 ：
50、 已 知 两 非 零 向量,a b， 在 空 间 任 取 一 点O， 作,OAa OBb， 则AOB叫 做 向 量a与b的 夹 角 ， 记 作,a b； 且 规 定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。(2)向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a。(3)向量的数量积：已知向量,a b，则| | cos,aba b叫做,a b的数量积，记作名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 45 页