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1、第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 5.2 评定精度的指标评定精度的指标5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律5.4 5.4 等精度直接观测平差等精度直接观测平差5.5 5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差本章内容如下：本章内容如下：误差分布曲线误差分布曲线22221)(ef 平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一平均误差即算术平均误差，其定义为：在对某量进行一系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平系列观测中，各次观测误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差，记为均误差，记为 。X。niiXXn
2、X101当当n较大时，可用下式估算为：较大时，可用下式估算为：1nnXXXi5.2 5.2 评定精度的指标评定精度的指标v 定义定义 标准差标准差(standard deviation)nnlim 中误差中误差(mean square error)nm * * 在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，在一定的观测条件下，标准差是一个固定的常数，而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而中误差则是随着观测次数的多少及读取的观测值大小而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐而改变的随机变量，当观测次数逐渐增大时，中误差逐渐趋近于标准差渐趋近于标准差。是反映一组真误差离散程度的指
3、标。是反映一组真误差离散程度的指标。v 中误差的计算中误差的计算 例：同精度下对某一三角形进行了例：同精度下对某一三角形进行了1010次观测，求得每次观次观测，求得每次观测所得的三角形闭合差分别为（单位：测所得的三角形闭合差分别为（单位：）：）：3 3，-2-2，-4-4，2 2，0 0，-4-4，3 3，2 2，-3-3，-1-1。7 . 21013234024232222222222 m 另一台仪器的结果（单位：另一台仪器的结果（单位：）：）：3 3，1 1，-2-2，2 2，0 0，-3-3， 2 2， 1 1，-1-1，0 0。8 . 1 10011230221322222222m68
4、3. 021)(222dedfP955. 021)(222222222dedfP997. 021)(333323322dedfPv 容许误差容许误差m2容m3极v 极限误差极限误差( (limit error) )v 定义定义 误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对误差相对误差，常用常用1/1/N 的形式表示。的形式表示。DmDmK1 例：分别丈量了例：分别丈量了100m100m及及200m200m的两段距离，观测值的中误差均的两段距离，观测值的中误差均为为2cm2cm，试比较两者的观测成果质量。，试比较两者的观测成果质量。5000110002. 01
5、1Dm10000120002. 022Dm中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的中误差的绝对值与观测值之比称为该观测值的相对中误差相对中误差K。5.3 5.3 观测值与算术平均值的中误差观测值与算术平均值的中误差 LXnlimlim () limnnnLXnXn lim0nn即即，n趋近无穷大时，算术平均值即为真值趋近无穷大时，算术平均值即为真值 。 设在相同的观测条件下对某未知量观测了设在相同的观测条件下对某未知量观测了n次，观测值为次，观测值为l1, l2, l3 , ln，现在要根据这，现在要根据这n个观测值确定出该未知量的最或个观测值确定出该未知量的最或然值。设未知量的真值为然值。设
6、未知量的真值为X ，以，以L表示上式观测值的算术平均表示上式观测值的算术平均值，则有值，则有 式中：式中：i = liX取极限：取极限：现在来推导算术平均值的中误差公式。现在来推导算术平均值的中误差公式。 式中，式中，1 / n为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为误差均为m。现以。现以M表示算术平均值的中误差，则算术平均值表示算术平均值的中误差，则算术平均值的中误差为的中误差为nlnlnlnL11121mnMmnnmnmnmM1122222 观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数
7、，用用v表示。当观测次数为表示。当观测次数为n时，有时，有 nnlLvlLvlLv2211 lnLv nlL 0v 将 代入上式，得代入上式，得 观测值改正数的重要特性观测值改正数的重要特性: 即对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。即对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。 由真误差与观测值改正数的定义可知：由真误差与观测值改正数的定义可知： XlnXlXln2211 nnvXLvXLvXL2211两边同时平方并相加，得两边同时平方并相加，得 vXLvvXLn22 0vXL2nvv 因为因为 ，令，令 ，代入上式，得，代入上式，得 XL nlL nnXlXnlXL因为因为 所以所以 )(2
8、2221132212213221222212222nnnnnnnnn 013221lim nnnnnnn122 nnnvvn1nm2因为因为 nmnvvm22所以所以整理后，得整理后，得 1nvvm这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式。 例：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平例：某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。 v 定义定义v 公式推导公式推导)(21nxxxfZ，)(2211nnxxxxxxfZZ，nnxxfxxf
9、xxfZ2211)()(22)(11)()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 ( knnkkknnnnxxfxxfxxfZxxfxxfxxfZxxfxxfxxfZjinjijijinnxxxfxfxxfxxfxxfZ1,22222221212kxxxfxfkxxfkxxfkxxfkZjinjijijinn1,2222222121222222221212nnzxfxfxf22222221212nnzmxfmxfmxfmkxxfkxxfkxxfkZnnkk22222221212limlimv 常用函数的中误差公式常用函数的中误差公式kxz nxxxz21nn
10、xkxkxkz2211xzkmm 22221nzmmmmnmmz2222222121nnzmkmkmkm 倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数mlL3003010100121lllL 例：用长例：用长30m的钢尺丈量了的钢尺丈量了10尺段，若每尺段的中误差尺段，若每尺段的中误差ml= =5mm，求全长，求全长L及其中误差。及其中误差。mmmmlL5010mmmmlL1610例：有函数式如下，若例：有函数式如下，若x的中误差的中误差mx为已知，求为已知，求mz。22 3 122121xyxyyyzxzyyzxyxymmmmmyyzmmxymmxy5 412222332222121
11、2121xzmmxzxxzxyxyyyz757 1)22(23223122121方法一方法一: :方法二方法二: : 函数式中各观测值之间必须相互独立函数式中各观测值之间必须相互独立5.5 5.5 不等精度直接观测平差不等精度直接观测平差 设对某未知量分两组进行观测，第一组测设对某未知量分两组进行观测，第一组测4次，观测值为次，观测值为L1、L 2、L 3、L 4，第二组测，第二组测2次，观测值为次，观测值为L 1、L 2，它，它们都是等精度观测，则们都是等精度观测，则6214321LLLLLLx2 421243211LLxLLLLx6242421432121LLLLLLxxx表示各观测值可靠
12、程度的数值（表示各观测值可靠程度的数值（p）。）。v 权的定义权的定义v 权的确定权的确定设不等精度观测值的中误差分别为设不等精度观测值的中误差分别为m1，m2，mn)0( 2222211，nnmpmpmp22222112222121 nnnnmpmpmpmmmppp或：【例例】设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为设以不等精度观测某角度，各观测结果的中误差分别为：m1=11，m2= =22，m3= =33，则它们的权各为则它们的权各为91411 12332222112mpmpmp，时，4936362332222112mpmpmp，时，941442332222112mpmpmp，时，
13、v 单位权与单位权中误差单位权与单位权中误差) 2 1(220nimmpii， iipmm10 等于等于1 1的权称为的权称为单位权单位权，与这个单位权相对应的中误差称为，与这个单位权相对应的中误差称为单位权中误差单位权中误差，一般用，一般用m0表示。对于中误差为表示。对于中误差为mi的观测值，其权的观测值，其权pi为为 设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为设对某未知量进行了一组不等精度观测，观测值分别为L1，L 2，Ln，其对应的权为其对应的权为p1，p2，pn，则加权平均值则加权平均值即为不等精度观测值的最或然值即为不等精度观测值的最或然值。计算公式为计算公式为：nnnpppL
14、pLpLpppLx212211nnLppLppLppx221122222222212212nnmppmppmppM20202202220212pmmppmppmppMn 0pmM npm0nppM 10npvvm)1(nppvvMmpppHpHpHpH340.163213322110mmnpvvm320 .1810mmnppvvpmM86. 2) 1(0测段高程观测值Hi（m）路线长度Li（km）权pi=1/Li改正数v（mm）pv（mm）pvv（mm2）AOBOCO16.34016.34516.3365.02.52.00.20.40.50-540-2.02.0010.08.0 x=16.340p=1.1pv=0pvv=18.0 【例例】水准测量中从已知高程点水准测量中从已知高程点A、B、C出发得出发得O点的三个点的三个 高程观测值高程观测值Hi及各水准路线的长度及各水准路线的长度Li，求求O点高程的最或然值点高程的最或然值Ho及其中误差及其中误差M馋死PPT研究院P O W E R P O I N T A C A D E M Y55 结束语结束语