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1、1.1.31.1.3导数的几何意义导数的几何意义回顾回顾平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为: :回顾回顾我们把物体在某一时刻的速度称为我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度.从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:0000()(),limlimxxfxffxxxx 我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)y=f(x)在在x=xx=x0 0处的导数，记作处的导数，记作f f (
2、x(x0 0) )或或y y|xx|xx0 0即即00000()()(),limlimxxfxfffxxxxx 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的处的导数的基本方法是导数的基本方法是:00(1)()();yf xxf x 求函数的增量00()()(2);f xxf xyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx 取极限，得导数注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负. 自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式, y也必须选择与之相对应的形
3、式也必须选择与之相对应的形式.回回顾顾OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y直线直线AB的斜率的斜率问题你能借助函数的图象说说平均变化率问题你能借助函数的图象说说平均变化率)(xfxxfxxf)(00表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来问题在问题在你能描述一下吗？你能描述一下吗？0 x割线割线AB的的变化情况的的变化情况的过程中，的过程中，请在函数图象中画出来请在函数图象中画出来ABoxyy=f(x)割割线线切线切线T导数的几何意义: 我们发现我们发现,当点当点B沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点A即即x0时时,
4、割线割线AB如果有一个极限位置如果有一个极限位置AT.则我则我们把直线们把直线AT称为曲线在点称为曲线在点A处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那那么当么当x0时时,割线割线AB的斜的斜率率,称为曲线在点称为曲线在点A处的处的切切线的斜率线的斜率.即即:00000()()()limlimxxf xxf xykf xxx 切线这个概念这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质切线斜率的本质函数在函数在x=x0处的导数处的导数.要注意要注意,曲线在某点处的切线曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关与该点的位置有
5、关;2) 要根据割线是否有极限位置来判断与求解要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限如有极限,则在则在 此点有切线此点有切线,且切线是唯一的且切线是唯一的;如不存在如不存在,则在此点处无切线则在此点处无切线;3) 曲线的切线曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个可以有多个,甚至可以无穷多个甚至可以无穷多个.ABoxyy=f(x)割割线线切切线线T 概括：概括：函数函数 在在 处的处的 导数导数 的的几何意义几何意义就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的处的切线切线AT的斜率的斜率. )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,(00 xfxAA
6、Boxyy=f(x)切切线线T例题例题1高台跳水运动中，高台跳水运动中， 秒秒 时运动员相时运动员相对于水面的高度是对于水面的高度是 （单位：（单位： ），），(1)求运动员在求运动员在 时的瞬时速度，并解释此时的瞬时速度，并解释此时的运动状态时的运动状态;在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 0 解解:在函数在函数 的的图像上，图像上，(1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot运动员在时的瞬时速度为运动员在时的
7、瞬时速度为 ，6 . 1)5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 . 0(/sm/6 . 1上升上升下落下落这说明运动员在附近，正以大约这说明运动员在附近，正以大约 的速率的速率 。3 . 39 . 4t0limt)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/ (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以
8、及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)请描述，比较曲线分别在请描述，比较曲线分别在 附近增（减）以及增（减）快慢的情况。附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（减增（减):增（减）增（减）快慢：快慢：=切线的斜率切线的斜率附近：附近：瞬时瞬时变化率变化率（正或负）（正或负）即：瞬时变化率（导数）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）画切线画切线即：导数即：导数 的绝多值的大小的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的切线斜率的绝对值的 大小大小切线的倾斜程度
9、切线的倾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）(2) 曲线在曲线在 时，切线平行于时，切线平行于x轴，曲线在轴，曲线在 附近比较平坦，几乎没有升降附近比较平坦，几乎没有升降 0t曲线在曲线在 处切线处切线 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲线附近，曲线 ，函数在，函数在 附近单调附近单调0t,1t,1t2t如图，切线如图，切线 的倾斜程度大于切线的的倾斜程度大于切线的倾斜程度，倾斜程度， 2t1t,3t4t大于大于上升上升递增递增2l1l3l4l3t4t上升上升这说明曲线在这说明曲线在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth
10、,1t2t,3t4t递减递减下降下降小于小于下降下降,3t4t 例例2如图表示人体血管中的药物浓度如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：（单位：mg/ml）随时间）随时间t（单位：（单位：min） 变化的函数图像，根据图像，估计变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中）时，血管中 药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格 的形式列出。的形式列出。(精确到精确到0.1) 血管中药物浓度的血管中药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率, 就是药物浓度就是药物浓度从图象上看从图象上看,它表示它表示曲线在该点处的曲线在该点处的切
11、线的斜率切线的斜率.函数函数f(t)在此时刻的在此时刻的导数导数,（数形结合，以直代曲）（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象t 0.2 0.4 0.60.8药物浓度的药物浓度的瞬时变化率瞬时变化率 3 . 004 . 15 . 000()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()( )()( ).yf xxfxf xfxx 函数在点 处的导数等于函数的导 函 数在点 处的函数值函数导函数函数导函数由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导数的过程
12、可以看到,当当x=x0时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的的一个函数一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数例例3:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点P(1,2)处的切线方程处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:20200
13、00 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:求出求出P点的坐标点的坐标;利用切线斜率的定义求利用切线斜率的定义求 出切线的斜率出切线的斜率;利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.练习练习:如图已知曲线如图已知曲线 ,求求:(1)点点P处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点P处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313Pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234OP313yx.)(33lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)
14、1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx 解解：. 42|22 xy即即点点P处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点P处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.小结：小结：.函数函数 在在 处的导数处的导数 的的几何意义，几何意义，就是函数就是函数 的图像在点的图像在点 处的切线处的切线AD的斜率的斜率（数形结合）（数形结合） )(xf0 xx 0/xf)(xf)(,00 xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/切线切线 AD的斜率的斜率3.导函数导函数(简称导数简称导数) xxfxx
15、fxfx)()(lim)(0/ 2.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题，解释实际生活问题，体会体会“数形结合数形结合”，“以直代曲以直代曲”的数学的数学思想方法。思想方法。 以简单对象刻画复杂的对象以简单对象刻画复杂的对象（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是
16、函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。4.弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 5.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤： 无限逼近的极限思想是建立导数无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求概念、用导数定义求 函数的导数的函数的导数的基本思想，丢掉极限思想就无法理解基本思想，丢掉极限思想就无法理解导导 数概念。数概念。