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1、高中立体几何教学中的目标实现高中立体几何教学中的目标实现江苏省靖江高级中学 朱占奎一、教学目标建立整体的空间观念建立整体的空间观念建立局部的空间观念建立局部的空间观念架构严密的空间位置结构架构严密的空间位置结构向量解决空间度量关系向量解决空间度量关系空间想像能力、推理论证能力、运用图形语空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力言进行交流的能力、几何直观能力直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算能欣赏简单几何体能识别简单组合体的构造会画简单几何体会求简单几何体的体积和表面积体悟公理化思想感知和确认空间简单几何体的位置关系会证明一些点、线、面的位置关系一、教学目标一、教
2、学目标二、教学基础建立整体的空间观念（小学，幼儿园）建立整体的空间观念（小学，幼儿园） 二、教学基础建立整体的空间观念（小学、初中）建立整体的空间观念（小学、初中）二、教学基础建立局部的空间观念（小学、初中）建立局部的空间观念（小学、初中） 核心内容核心内容立体几何在新课标教材中主要有两块：立体几何在新课标教材中主要有两块： 一是在必修一是在必修2 2 模块中，主要是研究空间模块中，主要是研究空间几何体的整体观察和用传统的综合法处理几何体的整体观察和用传统的综合法处理空间线面位置关系；空间线面位置关系； 二是在理科选修系列中，主要是用向量二是在理科选修系列中，主要是用向量研究空间图形，这里既有
3、位置关系又有度研究空间图形，这里既有位置关系又有度量关系。量关系。 三、高中教学目标确定 传统教材中，立体几何部分，传统教材中，立体几何部分，“三垂线定理同其三垂线定理同其逆定理逆定理”一直是本章的核心内容；一直是本章的核心内容； 但新课标下有了改变，在江苏的但新课标下有了改变，在江苏的高中数学教学高中数学教学要求要求中，明确指出中，明确指出“三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理”要要删掉；删掉； 同时，同时，课标课标上也没有要求这部分内容，江苏上也没有要求这部分内容，江苏教师把它作为例题讲解教师把它作为例题讲解. “线面垂直线面垂直”是核心内是核心内容容 关于关于“三垂线定理三垂线定理”
4、 这两定理的内涵很丰富；这两定理的内涵很丰富； 但是，正因为内容丰富，如果讲了这两但是，正因为内容丰富，如果讲了这两定理，学生往往会记住结论，盲目套用定理；定理，学生往往会记住结论，盲目套用定理； 这样不利于对空间图形本质的认识、不这样不利于对空间图形本质的认识、不利于培养学生的利于培养学生的“空间想象能力空间想象能力”。“线面垂直线面垂直”是核心内是核心内容容 关于关于“三垂线定理三垂线定理” 同时，讲解这部分内容，如果不想费力气，可同时，讲解这部分内容，如果不想费力气，可能做的是能做的是“夹生饭夹生饭”，反而产生消极影响；，反而产生消极影响； 因此，江苏基本上不将这两个定理作为因此，江苏基
5、本上不将这两个定理作为“可用可用的定理的定理”； 但这从另一个角度佐证了：但这从另一个角度佐证了：“线面垂直线面垂直”是核是核心内容，因为，心内容，因为，“三垂线定理及其逆定理三垂线定理及其逆定理”的核的核心内容就是心内容就是“线面垂直线面垂直”.“线面垂直线面垂直”是核心内是核心内容容 关于关于“三垂线定理三垂线定理”“线面垂直线面垂直”是核心内是核心内容容 （1）平行关系最终依赖的往往是线线平行，）平行关系最终依赖的往往是线线平行，学生在初中学过平面几何知识，对学生在初中学过平面几何知识，对“平行平行”学学得多些，有一定的认知基础得多些，有一定的认知基础 ； （2）立体图形中）立体图形中“
6、平行的平行的”直观上看仍然直观上看仍然“平行平行”，而，而“垂直的垂直的”恰恰不然，很多时候看不然，很多时候看上去并不上去并不“垂直垂直”，所以利用，所以利用“垂直垂直”可以更可以更好地培养和考察学生的空间想象能力；好地培养和考察学生的空间想象能力； （3）线面垂直是认识图形的切入口，又是解）线面垂直是认识图形的切入口，又是解决线面位置关系问题的枢纽决线面位置关系问题的枢纽 。另外三个方面原因：另外三个方面原因： 已知直线和平面垂直，则有很多相应问题已知直线和平面垂直，则有很多相应问题 举例说明：举例说明：“线面垂直线面垂直” 是是“解解决线面位置关系问题的枢纽决线面位置关系问题的枢纽” 举例
7、说明：举例说明：“线面垂直线面垂直” 是是“解解决线面位置关系问题的枢纽决线面位置关系问题的枢纽” 举例说明：举例说明：“线面垂直线面垂直” 是是“解解决线面位置关系问题的枢纽决线面位置关系问题的枢纽” 【说明说明1 1】 条件条件“线面垂直线面垂直”强于条件强于条件“面面垂面面垂直直”，如：，如：“同垂直一平面的两直线平行同垂直一平面的两直线平行”，但，但“同垂直一平面的两平面同垂直一平面的两平面”位置关系可各种各样。位置关系可各种各样。 【说明说明2 2】条件条件“线面垂直线面垂直”强于条件强于条件“线面平线面平行行”，如：，如：“同平行于一直线的两平面不一定平同平行于一直线的两平面不一定
8、平行行” ， “同平行于一平面的两直线不一定平行同平行于一平面的两直线不一定平行”等等。等等。 【说明说明3 3】“线与面垂直线与面垂直”能产生了更多的能产生了更多的“线线线线垂直垂直”，因此，要尽可能在图形中找，因此，要尽可能在图形中找“线面垂直线面垂直”，事实上，只要在平面内找两条相交直线与另一条直事实上，只要在平面内找两条相交直线与另一条直线垂直，就能得到线垂直，就能得到“线与面垂直线与面垂直”，由两对，由两对“线线线线垂直垂直”能得到无数对能得到无数对“线线垂直线线垂直”，“线面垂直的线面垂直的核心内容地位核心内容地位”显而易见。显而易见。 举例说明：举例说明：“线面垂直线面垂直” 是
9、是“解解决线面位置关系问题的枢纽决线面位置关系问题的枢纽”核心推理核心推理 立体几何中要学习的内容与学生的联系非立体几何中要学习的内容与学生的联系非常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，常密切，空间几何体是很多物体的几何模型，这些模型进而组成了形形色色的现实世界，这些模型进而组成了形形色色的现实世界，在构建直观、形象的数学模型方面立体几何在构建直观、形象的数学模型方面立体几何有其独特作用有其独特作用. . 图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的概念提供有力的支撑，而且有助于培养学的概念提供有力的支撑，而且有助于培养学生合情推理能力生合情推理能力. . 欧几
10、里得公理体系把几何与逻辑结合起来，欧几里得公理体系把几何与逻辑结合起来，一直一直“几何学几何学”是训练逻辑推理的素材，用主是训练逻辑推理的素材，用主观的东西去理解客观世界，把握客观世界，以观的东西去理解客观世界，把握客观世界，以期对客观世界有更理性的认识期对客观世界有更理性的认识. . 从几何推理的角度来看，既有合情推理，又从几何推理的角度来看，既有合情推理，又有演绎推理有演绎推理. . 核心推理核心推理 “ “立体几何位置关系立体几何位置关系”在高考中的考查的地在高考中的考查的地位是不可动摇的；位是不可动摇的； 因为单纯考查合情推理、演绎推理，其他因为单纯考查合情推理、演绎推理，其他内容也可
11、以，但能同时考查两个推理的内容也可以，但能同时考查两个推理的“立体立体几何位置关系几何位置关系”比较适合，而且借组几何直观比较适合，而且借组几何直观的合情推理是核心推理的合情推理是核心推理. . 核心推理核心推理 新课程标准对几何推理的要求发生了一些变化，适当弱新课程标准对几何推理的要求发生了一些变化，适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行以类化演绎推理，更多地强调从具体情境或前提出发，进行以类比、归纳比、归纳 为特征的合情推理；为特征的合情推理； 从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教从单纯强调几何的逻辑推理，转向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空
12、间观念，以及观察、操作、育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等试验、探索、合情推理等“过程性过程性”方面的教育价值，在推方面的教育价值，在推理过程中渗透公理化思想，养成言必有据的理性思维精神理过程中渗透公理化思想，养成言必有据的理性思维精神. . 核心推理核心推理 核心载体核心载体 在课程标准中明确指出：在课程标准中明确指出：“以长方体为载以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系关系”，长方体在立体几何中，无论是在位，长方体在立体几何中，无论是在位置关系中还是在度量关系中，都是核心载体置关系中还是在度量关
13、系中，都是核心载体 。 通过通过“类比类比”， 说明长方体的核说明长方体的核心载体地位心载体地位 平面几何中，直角三角形是最基本的图形，两条直平面几何中，直角三角形是最基本的图形，两条直线垂直是重要的位置关系，可以用下面的流程图说明：线垂直是重要的位置关系，可以用下面的流程图说明：而而在立体几何中，我们也可类比地画出流程图：在立体几何中，我们也可类比地画出流程图： 上面的流程图主要体现了上面的流程图主要体现了 “载体服务于核心载体服务于核心内容和核心思想内容和核心思想” 这一原则这一原则. 长方体是学生最熟悉的几何体长方体是学生最熟悉的几何体 长方体是学生的熟悉的几何体，如教室、粉笔盒等，强化
14、长方体是学生的熟悉的几何体，如教室、粉笔盒等，强化学生认识几何这一基本载体，有利于提高空间想象的层次，让学生认识几何这一基本载体，有利于提高空间想象的层次，让学生化归有方向，解题心中有底；学生化归有方向，解题心中有底； 如求墙角状的三棱锥的外接球的半径可化归为求长方体的如求墙角状的三棱锥的外接球的半径可化归为求长方体的外接球，三棱锥通过补形补成长方体（或四棱柱，处理的手段外接球，三棱锥通过补形补成长方体（或四棱柱，处理的手段与长方体类似）来研究其中的与长方体类似）来研究其中的“平行平行”“”“垂直垂直”等位置关系；等位置关系； 长方体中的两个平行平面中的一对异面直线也可组成四面长方体中的两个平
15、行平面中的一对异面直线也可组成四面体，如上图中的四面体，很多四面体的问题可放入长方体中处体，如上图中的四面体，很多四面体的问题可放入长方体中处理，这些实际的例子很多，这里不一一列举理，这些实际的例子很多，这里不一一列举. . 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现 几何学的简洁美正是几何学之所以完美的核心所在 牛顿1 棱柱、棱锥、棱台 变换中看几何体 多边形 棱柱 棱锥 棱台 目标实现：描述现实生活中的简单物体的结构。识图、画图。2 圆柱、圆锥、圆台、球平面图形 旋转体 矩形 圆柱直角三角形 圆锥直角梯形 圆台 半圆 球目标实现：描述现实生活中的简单物体的结构。 识图、画图。 类比 四、四、 阶段
16、目标实现阶段目标实现3 中心投影和平面投影（了解） 中心投影 绘画 平行投影 工程制图、技术图样 三视图目标实现：衔接、为下直观图等作准备四、四、 阶段目标实现阶段目标实现4 直观图画法 斜投影、中心投影 斜二测 （重点）目标实现：感知立体图案，通过画确认斜二测画法的合理性。 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现 5 平面的基本性质 三个公理 公理3的三个推论 目标实现：感知几何体中的平面实例，抽象出平面的概念，感知并操作确认平面的构造、两个平面相交的概念、平面的构造的基本元素。四、四、 阶段目标实现阶段目标实现四、四、 阶段目标实现阶段目标实现6 两直线的位置关系 平行公理（公理4） 等角定理
17、目标实现：通过具体实例感知平行公理、等角定理，通过观察和画理解平行公理、等角定理，通过平面中的相等证明空间中的角相等。 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现7 异面直线 内容：定义 判定定理 目标实现：通过观察长方体实例感知异面直线，通过画图形确认感知的正确与否。通过逻辑推理，说明判定定理。四、四、 阶段目标实现阶段目标实现8 直线与平面平行 定义 判定定理 性质定理 目标实现：通过长方体感知定义、 判定定理、性质定理； 通过实例确认感知判定定理, 理解性质定理证明思路。 9 直线与平面垂直 定义 结论 判定定理 性质定理 目标实现：感知定义的合理性，通过平面的不同方向，画直线与平面垂直。 通过
18、长方体感知判定定理、性质定理； 通过实例确认感知判定定理, 理解性质定理证明思路。 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现四、四、 阶段目标实现阶段目标实现 10 直线与平面垂直相关问题 点到平面的距离 直线与平面所成的角 目标实现：识图、画图 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现11 平面与平面平行 定义 判定定理 性质定理目标实现：转化成线面平行、线线平行 通过长方体感知定义、 判定定理、性质定理； 通过实例确认感知判定定理, 理解性质定理证明思路。 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现12 二面角 定义 作画二面角的平面角目标实现： 识图、画图 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现13 两平面垂直
19、 定义 判定定理 性质定理目标实现：转化成线面垂直 通过长方体感知定义、 判定定理、性质定理； 通过实例确认感知判定定理, 理解性质定理证明思路。 四、四、 阶段目标实现阶段目标实现14 平面几何与立体几何的类比 平面 空间 点 点或直线 直线 直线或平面 平面图形 平面图形或立体图形目标实现：通过具体问题解决四、四、 阶段目标实现阶段目标实现15 几何体的表面积与体积 公式 应用目标实现：在初中的几何体的表面积与体积基础上、在高中位置关系的基础上感知与确认并计算。五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析2012 江苏五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析五、近五年高考立几大题剖析加条件：加条件：N为线段为线段AC的的 中点中点求证：平面求证：平面MNG与平面与平面ASB垂直垂直