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1、微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的,切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶, 制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方
2、程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,例1. 验证函数,是微分方程,的解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,