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1、一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题一、带电粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题1解解决此类问题的关键是：找准临界点决此类问题的关键是：找准临界点2找临界点的方法是：找临界点的方法是： 以题目中的以题目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等词语为突破口，借助半径等词语为突破口，借助半径R 和速度和速度v(或磁场或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边 界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：第第3 3课时课时
2、专题专题 带电粒子在磁场中运动带电粒子在磁场中运动问题特例问题特例 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 (2)当速度当速度v一定时，弧长一定时，弧长(或弦长或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长中运动的时间越长 (3)当速率当速率v变化时，圆周角大的，运动时间越长变化时，圆周角大的，运动时间越长图图11311如图如图1131所示，匀强磁场的磁感应强度为所示，匀强磁场的磁感应强度为B，宽度为，宽度为d，边界为，边界为CD和和EF. 一电子从一电
3、子从CD边界外侧以速率边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入，入射方向与垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界间夹边界间夹 角为角为.已知电子的质量为已知电子的质量为m，电荷量为，电荷量为e，为使电子能从磁场的另一侧，为使电子能从磁场的另一侧EF射射 出，求电子的速率出，求电子的速率v0至少多大？至少多大？解析：解析：当入射速率当入射速率v0很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从相切时，电子恰好不能从EF射出，射出，如图所示电子恰好射
4、出时，由几何知识可：如图所示电子恰好射出时，由几何知识可：rrcos d又又r 由由得：得：v0 故电子要射出磁场时速率至少应为故电子要射出磁场时速率至少应为 .答案：答案： 1带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正 电荷，电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中运动轨 迹不同，导迹不同，导致形成双解致形成双解2磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指磁场方向不确定形成多解：有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具
5、体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向，由磁场方向不确定而出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向，由磁场方向不确定而形成的双解形成的双解二、带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题二、带电粒子在洛伦兹力作用下的多解问题 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题 形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面：形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面：图图11323临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时
6、，由于 粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，可能转过粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场，可能转过180从入射界面从入射界面 这边反向飞出，如图这边反向飞出，如图1132所示，于是形成多解所示，于是形成多解4运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，往 往运动具有往复性，因而形成多解往运动具有往复性，因而形成多解2.图图1133 如图如图1133甲中所示，甲中所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔，两板中央各有
7、一个小孔O、O且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁且正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁 场，磁感应强度随时间的变化如图场，磁感应强度随时间的变化如图1133乙所示有一束正离子在乙所示有一束正离子在t0时垂时垂 直于直于M板从小孔板从小孔O射入磁场射入磁场 已知正离子质量为已知正离子质量为m、带电荷量为、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力求：离子所受重力求：(1)磁感应强度磁感应强度B0的大小
8、；的大小；(2)要使正离子从要使正离子从O孔垂直于孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能的可能值值 解析：解析：设垂直纸面向里的磁场方向为正方向设垂直纸面向里的磁场方向为正方向 (1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力B0qv0 做匀速圆周运动的周期做匀速圆周运动的周期T0 联立联立两式得磁感应强度两式得磁感应强度B0 . (2)要使正离子从要使正离子从O孔垂直于孔垂直于N板射出磁场，板射出磁场，v0的方向应如右图所示，两板之间的方向应如右图所示，两板之间正离子只运动一个周期即正离子只运动一个周期即T0时，有时
9、，有R .当两板之间正离子运动当两板之间正离子运动n个周期即个周期即nT0时，时，有有R (n1,2,3) 联立求解，得正离子的速度的可能值为联立求解，得正离子的速度的可能值为v0 (n1,2,3) 答案：答案：(1) (2) (n1,2,3) 图图1134【例【例1】在在一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为一空心圆柱面内有一垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，其横截，其横截 面如图面如图1134所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为所示，磁场边界为同心圆，内、外半径分别为r和和( 1)r. 圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量为圆心处有一粒子源不断地沿半径方向射出质量
10、为m、电荷量为、电荷量为q的带电粒子，的带电粒子，不计粒子重力为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不计粒子重力为使这些粒子不射出磁场外边界，粒子从圆心处射出时速度不能超过不能超过() A. B. C. D. 解析：解析：如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场如图所示，带电粒子不从磁场中穿出，其临界条件是带电粒子在磁场中的运动轨迹应与外圆相切，所以中的运动轨迹应与外圆相切，所以( 1)rrx2r2r，解上式可得，解上式可得rxr，又由又由rx 可得，选项可得，选项A正确正确图图113511人们到医院检查身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是人们到医院检查
11、身体时，其中有一项就是做胸透，做胸透用的是X光，我光，我们可以把做胸透的原理等效如下：如图们可以把做胸透的原理等效如下：如图1135所示，所示，P是一个放射源，从开是一个放射源，从开口处在纸面内向各个方向放出某种粒子口处在纸面内向各个方向放出某种粒子(不计重力不计重力)，而这些粒子最终必须全部，而这些粒子最终必须全部垂直射到底片垂直射到底片MN这一有效区域，并要求底片这一有效区域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到达上每一地方都有粒子到达 假若放射源所放出的是质量为假若放射源所放出的是质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电的粒子，且所有的粒子速的带正电的粒子，且所有的粒子速率都是率都是v，M与
12、放射源的出口在同一水平面上，底片与放射源的出口在同一水平面上，底片MN竖直放置，底片竖直放置，底片MN长为长为L.为了实现上述目的，我们必须在为了实现上述目的，我们必须在P的出口处放置一有界匀强磁场求：的出口处放置一有界匀强磁场求：(1)匀强磁场的方向；匀强磁场的方向；(2)画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；画出所需最小有界匀强磁场的区域，并用阴影表示；(3)匀强磁场的磁感应强度匀强磁场的磁感应强度B的大小以及最小有界匀强磁场的面积的大小以及最小有界匀强磁场的面积S. 解析：解析：(1)匀强磁场的方向为垂直纸面向外匀强磁场的方向为垂直纸面向外 (2)最小有界磁场如答案图所示最小有界
13、磁场如答案图所示 (3)要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动要想使所有的粒子都最终水平向右运动，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：的轨道半径必须与最小圆形有界匀强磁场的半径大小一致所以有：RL/2 根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：Bvq ，得：，得：R 联立解得：联立解得：B 如答案图所示，有界磁场的最小面积为：如答案图所示，有界磁场的最小面积为：S . 答案：答案：(1)垂垂直纸面向外直纸面向外(2) (3)图图1136【例【例2】 (2009全国卷全国卷，21)如如图图1136所示，在所示，在x轴下方有
14、匀强磁场，磁感应强轴下方有匀强磁场，磁感应强 度大小为度大小为B，方向垂直于，方向垂直于xOy平面向外平面向外P是是y轴上距原点为轴上距原点为h的一点，的一点，N0为为 x轴轴上距原点为上距原点为a的一点的一点 A是一块平行于是一块平行于x轴的挡板，与轴的挡板，与x轴的距离为轴的距离为 ，A的中点在的中点在y轴上，长度略小于轴上，长度略小于 .带电粒子与挡板碰撞前后，带电粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不方向的分速度反向、大小不变质量为变质量为m，电荷量为，电荷量为q(q0)的粒子从的粒子从P点瞄准点瞄准N0点入射，最后又通过点入射，最后又通过
15、P点不计点不计重力求粒子入射速度的所有可能值重力求粒子入射速度的所有可能值 解析：解析：设粒子的入射速度为设粒子的入射速度为v，第一次射出磁场的点为，第一次射出磁场的点为N0，与板碰撞后再次进入磁，与板碰撞后再次进入磁场的位置为场的位置为N1.粒子在磁场中运动的半径为粒子在磁场中运动的半径为R，有，有R 粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变保持不变 x1N0N02Rsin 粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变，与始终不变，与N0N1相等相等由图可以看出由图可以看出 x2a
16、设粒子最终离开磁场时，与挡板相碰设粒子最终离开磁场时，与挡板相碰n次次(n0,1,2，)若粒子能回到若粒子能回到P点，由对点，由对称性，出射点的称性，出射点的x坐标应为坐标应为a，即，即(n1)x1nx22a由由式得式得 x1 a若粒子与挡板发生碰撞，有若粒子与挡板发生碰撞，有x1x2 联立联立式得式得n3联立联立式得式得v 式中式中sin 代入代入式得式得v0 ，n0v1 ，n1v2 ，n2.图图113721(2010龙岩毕业班质检龙岩毕业班质检)如如图图1137所示，直线所示，直线MN下方无磁场，上方下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场空间存在两个匀强磁场和和，其分界线是半径为，其分界线是
17、半径为R的半圆弧，的半圆弧，和和的的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为现有一质量为m、电、电荷量为荷量为q的带负电微粒从的带负电微粒从P点沿点沿PM方向向左侧射出，不计微粒的重力方向向左侧射出，不计微粒的重力 (1)若微粒在磁场若微粒在磁场中做完整的圆周运动，其周期多大？中做完整的圆周运动，其周期多大？ (2)若微粒从若微粒从P点沿点沿PM方向向左射出后从直线分界线的方向向左射出后从直线分界线的A点沿点沿AO方向进入磁场方向进入磁场并打到并打到Q点，求微粒的运动速度大小；点，求微粒的运动速度大小； (3)若微粒从若微粒从P点沿点沿PM方向向左侧射出，最终能到达方向向左侧射出，最终能到达Q点，求其速度满足的条件点，求其速度满足的条件 解析：解析：(1)qvB ，T ，T . (2)如图所示，轨道半径如图所示，轨道半径rR 则由则由qvB 解得解得v . (3)如图所示，如图所示， (n2、3、4、) rRtan ，v0 (n2、3、4、) 答案：答案：(1) (2) (3) (n2、3、4、)点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册