数值分析试卷及答案15页word文档.doc

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1、如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流数值分析试卷及答案【精品文档】第 页模 拟 试 卷(一)一、填空题(每小题3分,共30分)1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2设,则= .,= _.3已知y=f(x)的均差(差商),, 那么均差= .4已知n=4时NewtonCotes求积公式的系数分别是:则 .5解初始值问题的改进的Euler方法是 阶方法;6求解线性代数方程组的高斯塞德尔迭代公式为 , 若取, 则 .7求方程根的牛顿迭代格式是 .8是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则9解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是 .10设,则的三次牛顿插值多项式为 ,其误差估计

2、式为 .二、综合题(每题10分,共60分)1求一次数不超过4次的多项式满足:,2构造代数精度最高的形式为的求积公式,并求出其代数精度. 3用Newton法求方程在区间内的根, 要求.4用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据:1925303819.032.349.073.35用矩阵的直接三角分解法解方程组6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式其中.三、证明题(10分)设对任意的,函数的导数都存在且,对于满足的任意,迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题15; 2. 8, 9 ; 3. ; 4. ; 5. 二; 6. , (0.02,0.22,0.1543)7. ; 8. ; 9

3、. ; 10. 二、综合题1差商表:11122151515575720204272152230781其他方法:设令,求出a和b.2取,令公式准确成立,得:时,公式左右;时,公式左, 公式右 公式的代数精度.3此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设则, ,Newton法迭代公式为取,得。4 ,.解方程组,其中 , 解得: 所以, . 5解 设由矩阵乘法可求出和解下三角方程组 有,.再解上三角方程组 得原方程组的解为,.6 解 初值问题等价于如下形式,取,有,利用辛卜森求积公式可得.三、证明题证明 将写成,由于 ,所以所以迭代格式均收敛于的根.模 拟 试 卷(二)一、填空题(每小题3

4、分,共30分)1分别用2.718281和2.718282作数的近似值,则其有效位数分别有 位和 位 ;2 设,则= _,= .3对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是=_.4设,则差商=_,=_.5已知, 则条件数_.6为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度,则其求积基点应为=_, =_7解初始值问题近似解的梯形公式是 8求方程根的弦截法迭代公式是 9. 计算积分,取4位有效数字,用梯形公式计算求得的近似值是 , 用辛卜生公式计算的结果是 10任一非奇异矩阵的条件数 ,其一定大于等于 二、综合题(每题10分,共60分)1 证明方程在区间有且只有一个根,若利用二分法求其误差不超过近似解

5、,问要迭代多少次?2 已知常微分方程的初值问题:试用改进的Euler方法计算的近似值,取步长.3 用矩阵的分解法解方程组 .4 用最小二乘法求一个形如的经验公式,使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685 设方程组,试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。6 按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值,取初始向量,迭代两步求得近似值即可.三、证明题(10分)已知求的迭代公式为:证明:对一切 , 且序列是单调递减的,从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题16, 7; 2. 9, ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9;

6、 6. , ; 7. ;8. ; 9. 0.4268, 0.4309; 10. , 1二、综合题1 解 令,则,且 故在区间内仅有一个根. 利用二分法求它的误差不超过的近似解,则 解此不等式可得 所以迭代14次即可.2、解:3 解 设 利用矩阵乘法可求得解方程组 得,再解方程组 得.4 解 令,则容易得出正规方程组,解得 .故所求经验公式为 . 5 解 (1)由于所以在内有根且,故利用雅可比迭代法不收敛.(2)由于所以,故利用高斯赛德尔迭代法收敛.6 解 因为,故,且,.从而得三、证明题 证明: 由于 故对一切,又所以 ,即序列是单调递减有下界,从而迭代过程收敛.模 拟 试 卷(三)一、填空题

7、(每小题3分,共30分)1设是真值的近似值,则有 位有效位数,相对误差限为 ;2 若用二分法求方程在区间1,2内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分 次。3有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 次.4设,要使迭代格式局部收敛到,则的取值范围是 5设线性方程组有唯一解,在不考虑系数矩阵扰动的情况下,若方程组右端项的扰动相对误差 ,就一定能保证解的相对误差;6给定线性方程组,则解此线性方程组的Jacobi迭代公式是 ,Gauss-Seidel迭代公式是 7插值型求积公式的求积系数之和是 8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 9. 已知函数,用此函数表作牛顿插值多项式,那么插值多项式

8、的系数是 10 设,为使可分解为,其中是对角线元素为正的下三角矩阵,则的取值范围是 。二、综合题(每题10分,共60分)1用Newton法求方程在区间内的根, 要求.2设有方程组,其中,已知它有解, 如果右端有小扰动,试估计由此引起的解的相对误差。3试用Simpson公式计算积分的近似值, 并估计截断误差.4设函数在区间0,3上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式,使其满足,并写出误差估计式。5,给出用古典Jacobi方法求的特征值的第一次迭代运算。 6用梯形方法解初值问题,证明其近似解为,并证明当时,它收敛于原初值问题的准确解。 三、证明题(10分)若有个不同的实根

9、,证明 .参考答案一、填空题1. 3, ; 2. 10; 3. ; 4. ; 5. ; 6. , 7. ; 8. ; 9. 2.4; 10 . 二、综合题1此方程在区间内只有一个根,而且在区间(2,4)内。设则, Newton法迭代公式为 取,得。 2解 ,由公式,有3 , , 截断误差为4由所给条件可用插值法确定多项式, (由题意可设为确定待定函数,作辅助函数:,则在上存在四阶导数且在上至少有5个零点(为二重零点),反复应用罗尔定理,知至少有一个零点,使,从而得。故误差估计式为,。5首先取,因,故有,于是, 6. 梯形公式为,由,得,所以,用上述梯形公式以步长经步计算得到,所以有,所以三、证

10、明题证明 由于有个不同的实根,故,于是记 ,则,再由差商与导数的关系知.模 拟 试 卷(四)一、填空题(每小题3分,共30分)1 为了减少运算次数,应将算式改写为 ,为减少舍入误差的影响,应将算式改写为 。2, , 。3设在的根 附近有连续的二阶导数,且,则当 时迭代过程是线性收敛的,则当 时迭代过程是平方收敛的。4设,则当满足 时,有5用列主元消去法解线性方程组时,在第k1步消元时,在增广矩阵的第k列取主元,使得 。6已知函数,则= ,= ,的二次牛顿插值多项式 7求解方程,若可以表成,则用简单迭代法求根,那么 满足 ,近似根序列一定收敛。8点插值型数值积分公式的代数精度至少是 次,最高不超

11、过 次。9.写出初值问题 在上欧拉计算格式 10解初始值问题的梯形方法是 阶方法二、综合题(每题10分,共60分)1证明方程在区间1,2内有唯一根x*,用牛顿迭代法求x*(精确至3位小数)。2用列主元消去法解线性方程组;3给定数据x=0,1,2,3,对应函数值分别为y=1,3,2,4,求三次拉格朗日或牛顿插值多项式。4设有矩阵 用“规范化”的方法求其按模最大的特征值及对应的特征向量(注:求迭代4次即可)5用改进的Euler方法求初值问题 , . 6给定数据,求一次最小二乘拟合多项式。三、证明题(10分)设线性方程组为,(1) 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同

12、时发散;(2) 当同时收敛时,比较它们的收敛速度。参考答案一、填空题1. , ; 2. 6, 6; 3. , ; 4. ; 5. ; 6. 2, 1, ; 7. ; 8. ,; 9. 10. 二二、综合题1. 由牛顿迭代公式 ,取x0=1.2,得 或取,, 所以.2 , 故. 3. 或 4取,由乘幂法得,5改进的Euler方法取,经计算得 :;,经计算得 : ,经计算得 :;,经计算得 :;,经计算得 :; ,经计算得 :6设所求一次拟合多项式为 或基函数为 与,做最小二乘拟合:,得正规方程组 , 解得,故 .三、证明题证明:系数矩阵,记(1)雅可比迭代矩阵的特征方程为,即,或。当时,;当时,;当时,。所以。高斯-塞德尔迭代矩阵的特征方程为,即,或,解得,所以。所以,当时,;当时,因而两种迭代法要么同时收敛,要么同时发散.(2)当时,同时收敛,且,所以高斯-塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快。

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