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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流条件改变之后的概率【精品文档】第 8 页条件改变之后的概率对由于条件改变而引起的概率悖论的讨论【摘要】: 悖论在数学中无处不在,但他们最经常是在一个比较高级的水平上出现.然而在概率方面.悖论却在一个比较简单的水平上出现.本文主要运用全概率公式和贝叶斯公式,解决一些由于条件改变而引起的概率悖论.并且通过分析两种常见的概率悖论,探讨概率悖论形成的原因,以及解决的方法,以期引起读者的重视和思索.【关键词】: 数学;悖论;条件概率;特指1. 前言悖论,从字面上讲就是荒谬的理论.关于悖论的起源,可以追溯到古希腊和我国先秦哲学时代.但是在那时及其往后的一段相当长的时
2、期中,悖论往往泛指那些推理过程看上去是合理,但是推理的结果却又违背客观实际.如著名的芝诺悖论中的阿基里斯追龟说:阿基里斯(一个善跑的猛将)要追上在前面跑的乌龟,必须先到达乌龟的出发点,而那时乌龟又已经跑过前面一段路了,如此这样往复,因此阿基里斯永远也追不上乌龟.1 徐利治.数学方法论选讲(第三版)M.武汉:华中科技大学出版社,2002. 在历史上,还有另一种与之相反的情形而称之为悖论,那就是由于新概念的引人而违背了具有历史局限性的传统观念,这就不是推理看上去好像是合理的问题,而是传统观念貌似事实的事了.例如伽利略悖论:自古人们就认为“整体大于部分”,现在有两个数列和,“整体大于部分”的观点,第
3、二个数列中元素的个数会少于第一个数列.但是从对应的角度看,第一个数列中的任意项总可以和第二个数列中的对应,因此两个数列中的元素是一样多的.2 凌晓牧.小议数学悖论.江苏教育学院学报（自然科学）,2010年第26卷第12期.2 2. 知识准备2.1 样本空间对于随机试验,尽管在每次试验之前不能预知试验的结果,但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间.2.2 概率在一次试验中,一个事件(除必然事件与不可能事件外)可能发生也可能不发生,其发生的可能性的大小是客观存在的.事件发生的频率以及它的稳定性,表明能用一个数来表征事件在一次试验中的可能性大
4、小.我们从频率的稳定性及频率的性质得到启发和抽象,给出了概率的定义.我们定义了一个集合(事件)的函数,它满足三条基本性质:1) 非负性: 对于每一个事件A,有;2) 规范性: 对于必然事件S,有;3) 可列可加性: 设是两两互不相容的事件,即对于,有这一函数的函数值就定义为事件A的概率.3 王潘玲.应用高等数学M.杭州,浙江科学技术出版社,2004年.36-38.32.3 古典概型中的概率概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质,并未对事件A的概率给定一个具体的数.只在古典概型的情况下,对于每个事件A给出了概率.一般,我们可以进行大量的重复试验,得到事件A的频率,而以频率作为的近似值.或者根
5、据概率的性质分析,得到的取值.2.4 条件概率在古典概型中,我们证明了条件概率的公式在一般的情况,上述公式作为条件概率的定义.固定A,条件概率具有概率定义中的三条基本性质,因而条件概率是一种概率.4 盛骤等.概率论与数理统计.北京.高等教育出版社.2008，6（4）：1-24.43. 一些经典的概率悖论3.1 三门问题这是条件概率中的一个经典问题了.说在一次综艺节目上,设置了三个门,其中一个门后面是汽车,而另外两个门后面则是山羊.有一个嘉宾上去抽奖,当然想抽到汽车了.第一步,他先选中一个门,比如说1号门.选中了但不打开门.这时剩下的两个门里,至少有一个门背后是羊,对吧.第二步,主持人过来了,当
6、然,他事先是知道汽车在哪个门后的.他在嘉宾剩下的那两个门中,把一个有羊的门打开了,比如说,打开了3号门,门后有羊.现在的问题就是嘉宾是坚持选他刚才选的1号门对他有利,还是改选剩下的2号门对他有利.5 马丁加德纳.从惊讶到思考数学悖论奇景M.四川:四川人民出版社,1985:1-108.5第一种想法:每一个门后是汽车的概率都是,不管主持人怎么开门,每个门后的奖品都没被换过,那概率怎么会改变呢?1号门和2号门中奖的概率仍旧都是.第二种想法:当主持人打开了一个门后,剩下了两个门,其中一个有羊,另一个有汽车,1号门和2号门背后有汽车的概率都是.这两种想法当然都是错误的.下面我们用概率论的知识来计算一下.
7、我们以表示事件在号门后面有汽车,以表示事件主持人打开的是第号门.那么在第一步中,有样本空间,且有在这一步中,我想大家都是没有异议的. 表格 1 三门问题中的所有事件及其概率事件门后的奖品主持人打开的门以及打开这个门的概率1号门2号门3号门汽车羊羊2号门汽车羊羊3号门羊汽车羊3号门1羊羊汽车2号门1而在第二步中,当主持人在剩下的两个门中把一个有羊的门打开之后,样本空间就发生了变化6 郑玉仙.缩短样本空间在条件概率计算中的应用.浙江水利水电专科学校学报,2006年01期.6,我们把变化后的样本空间记为,即有.从而原来的问题可以等价为在发生的条件下, 和发生的概率大小,即,.下面先求.由全概率公式可
8、求得打开三号门的概率,于是由条件概率的定义,有代入数据,有同理,有也就是说,在主持人开门之前,2号门后有车的概率是,当主持人打开了一个有羊的门以后,2号门后的奖品没被换过,有车的概率却变成了.而刚开始嘉宾选中的1号门后有车的概率却没有变过,仍是.计算结果没有错,但我们怎么从感官上去接受这件事呢?这件事的关键就是,主持人事先知道答案了,在这种情况下,他有意识地打开了有羊的门,就会改变这一概率事件的条件,也就会改变2号门中奖的概率,如果主持人是随便选的一门,想选哪个选哪个,那他的选择就不会影响概率.如果你是嘉宾,你可以这么想,你第一次选的门是你自己选的,中奖的概率是没错.但是在剩下的两个门里,有一
9、个知道答案的人替你淘汰了一个不中奖的选择,换句话说,相当于是帮你作弊了.所以你第一次选的门中奖的概率没变,但是剩下的门经过了主持人的一轮筛选,概率就变高了.7 赵院娥,乔淑莉.悖论及其对数学发展的影响J.延安大学学报（自然科学版）,2004,2（1）:21-25.7我们可以做另一个相似的试验.有10个彩票,其中一个是有奖的,剩下的9个是没奖的.现在让嘉宾从这10个彩票中随机地抽取了一个,不妨设其为1号彩票.那么他中奖的概率是,这一点是没有疑问的.这时,在剩下的9个彩票中,或者有9张是没奖的,或者是8张没奖的加1张有奖的.也就是说,至少有8个没有奖.假设出售彩票的人是知道哪个有奖的.现在他在剩下
10、的9个彩票中,去掉了8个没奖的,不妨就分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票.那么,我们要问的是嘉宾刚开始选的1号彩票中奖的概率高,还是剩下的10号彩票中奖的概率高.8 Zemelo E. Investigations in the foundations of set theory M / Heijenoort J V. From Frege to GLdel: a source book in mathematical logic. Boston: Harvard University Press, 1967: 200.8显然,我们应该承认下面的观点:只要1号彩票不中奖,10号彩票
11、就必然中奖.而1号彩票不中奖的概率显然是.即有下面的概率:现在我们改变条件:当嘉宾选择了1号彩票以后,有另外的8个人（当然不知道哪个有奖）选择了个彩票,不妨分别设其为2,3,4,5,6,7,8,9号彩票,并且在打开以后发现都没有中奖.问现在号、10号彩票哪个中奖的概率高一点?首先我们仔细观察分析一下就会发现,这是一个典型的不放回抽样试验.而在不放回抽样中,抽样不分先后,概率大小都一样,这是我们都清楚的.于是先计算后来的8位嘉宾都不中奖（记为事件C）的概率为那么在事件C发生的前提下,1号彩票中奖的概率为同理, 也就是说,此事1号彩票和10号彩票中奖的概率是一样的.3.2 星期二男孩问题在讨论星期
12、二男孩问题之前,我们先讨论另外一个问题以作铺垫.问题:老张有两个孩子,已知其中一个是女儿,问另一个也是女儿的概率是多少?问题:老张有两个孩子,给他家打电话,接电话的是他女儿,问他有两个女儿的概率是多少?9 王秀芳,郝素娥.论数学悖论的思维特色J.山西大学师范学院（综合版）,1993,（2）.9好多没接触过条件概率的人,一看到这种问题就直接糊涂了:这两个问题有什么不一样吗?两个问题不都是知道其中有一个是女儿,然后问另一个也是女儿的概率吗?概率不应该都是吗?其实这只是涉及到条件概率的一个简单问题.我们先列出一个表格,把老张家两个孩子性别的所有可能都列出来.表格 2 老张家两个孩子性别的所有可能编号
13、第一个孩子第二个孩子1女女2女男3男女4男男令A,B,C分别表示事件老张有两个儿子,老张有一儿一女,老张有两个女儿.则由上表显然有令E,F分别表示事件其中一个是女儿,接电话的是女儿.显然E发生的概率就是和发生的概率大小之和而F发生的概率可以用全概率公式求得为了更好地比较与,我们也用全概率公式计算一遍而问题a与问题b可以分别等价于求在E发生的条件下C发生的概率和在F发生的条件下C发生的概率,即要求和.这两个概率可以用贝叶斯公式计算得到那么是什么造成了这两个概率的不同呢?我们可以这样想,在问题a中其中一个是女儿可以指两个孩子中随便一个.也就是说,当这个女儿没有特指哪个孩子的时候,所以可能的情况比较
14、多一些.而在这些情况中,两个都是女儿的情况只占其中的一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.而在题b中,接电话的是女儿中的女儿有特指,指的就是接电话的这个孩子.此时,两个都是女儿等价于没接电话的孩子也是女儿,所以的可能情况当然要少一点.而在这些情况中,两个都是女儿的情况同样只占一种,从而使两个都是女儿的概率小一点,是.10 陶理.关于数学悖论的认识问题J.东北师大学报（哲学社会科学版）,1993.10在明白上面这个问题后,我们再来讨论”星期二男孩问题”.这个问题是这样说的:一个人有两个小孩,其中有一个是生于星期二的男孩,问另一个也是男孩的概率是多少?许多人一接触到这题目以后,第一个反应便是:
15、答案肯定是嘛.两个孩子的性别是独立的,不论一个孩子的性别是什么都不会影响到另一个(不考虑极端或特殊情况),至于题目中的星期二,大概是一个迷惑人用的无用信息吧.当然,在经过上一个问题的分析讨论之后,我们可能好这样想:在这个”男孩”没有特指的情况下,答案肯定不是,而是,至于出生日期什么的,应该不会影响到孩子的性别吧.但是经过计算之后,我们就会发现,情况好像跟我们所想的有些不一样.我们先来做几个相似的试验,可能就会看得比较明白一点.试验1:有两个硬币,正面标有数字1,反面标有数字2.抛掷这两枚硬币,假定是在理想状态下,也就是说每一枚硬币正面朝上和反面朝上的概率是1/2.抛掷后,发现其中一枚硬币朝上一
16、面的数字是2,问另一枚硬币朝上一面的数字是偶数的概率是多少?试验2:有两个质地均匀的骰子,每个骰子有六个面,上面分别标有16的数字,掷一个骰子时,哪个数字朝上是完全随机的,即每个数字朝上的概率都是.现在,投掷两个骰子,发现其中一个骰子朝上的一面是2,问另一个骰子朝上一面的数字是偶数的概率是多少?试验3:有两个转盘,每个转盘被等分为14个部分,上面分别标有114的数字,转盘转动并停止时,停在每个数字上的概率都是相同的,即.现在转动两个转盘,停止后,发现其中一个转盘的数字是4,问另一个转盘上的数字为偶数的概率是多少?11 王新爱.浅论数学悖论的积极意义.考试周刊,2009年24期1对比这三个试验,
17、我们会发现它们有很多相似的地放:都有一个随机数产生器(硬币,骰子或转盘);都知道其中一个随机数是2,却没有特指这个随机数由哪个随机数产生器产生;都是问另一个产生的随机数是偶数的概率.而这种已经给了信息,但并没有特指情况,我们前面已经做过讨论,只需把它们的所有可能都列出来就很好计算了.我们现在分别列出这三个试验的所有可能(见下表)表格 3试验一的所有可能结果XY121(1,1)(2,1)2(1,2)(2,2)表格 4试验二的所有可能结果XY1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)
18、(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)表格 5试验三的所有可能结果XY123456789101112131411,12,13,14,15,16,17,18,19,110,111,112,113,114,121,22,23,24,25,26,27,28,29,210,211,212,213,214,231,32,33,34,35,36,37,38,39,310,311,312,313,314,341,42,43
19、,44,45,46,47,48,49,410,411,412,413,414,451,52,53,54,55,56,57,58,59,510,511,512,513,514,561,62,63,64,65,66,67,68,69,610,611,612,613,614,671,72,73,74,75,76,77,78,79,710,711,712,713,714,781,82,83,84,85,86,87,88,89,810,811,812,813,814,891,92,93,94,95,96,97,98,99,910,911,912,913,914,9101,102,103,104,105,
20、106,107,108,109,1010,1011,1012,1013,1014,10111,112,113,114,115,116,117,118,119,1110,1111,1112,1113,1114,11121,122,123,124,125,126,127,128,129,1210,1211,1212,1213,1214,12131,132,133,134,135,136,137,138,139,1310,1311,1312,1313,1314,13141,142,143,144,145,146,147,148,149,1410,1411,1412,1413,1414,14从上面三个
21、表格可以看出,三个试验所有可能的结果分别是种,种,种.而三个表格中添加阴影的部分,分别是包含数字2,2,4的所有可能结果,分别是3种,11种,27种.而在这些结果中另一个数字也是偶数的项用粗体字标了出来.可以看到,分别有1种,5种,13种.于是,三个试验中最后所问的概率分别是讨论到这里,有些人要问了:这和”星期二”的问题有什么关系吗?当然有关系.事实上,试验三中14个数字的转盘问题,就是”星期二男孩”的一个等价描述.要将”转盘问题”转换为”星期二男孩问题”,我们只需要做以下的映射即可:于是,在”星期二男孩问题”中,已知”其中一个是生于星期二的男孩”(相当于其中一个转盘的数字是4),另一个孩子也
22、是男孩(相当于另一个转盘上的数字为偶数)的概率就是.经过我们的计算,我们发现,似乎一个孩子的出生日期能影响到另外一个孩子的性别.这几乎是荒谬的,但我们的计算也是没有出错的.这好像形成了一个悖论.12 本奇B H.数学谬误与悖论M.陈国君,姚竭,译.呼和浩特:内蒙古人民出版社, 1990: 5.其实不然,导致这个荒谬结果的原因就是:所给信息的对象没有特指是哪一个.而当没有特指的时候,所给的信息越丰富,越详细,越具体,信息所指代的对象就越明确,就越接近”特指”的情况.从概率上来说,另一个孩子也是男孩的概率就越接近”特指”情况下的概率,也就是.而这种规律在上面三个试验中已经有所体现:比接近,而比更接
23、近.因此,我们有理由认为:当给出的信息比”出生于星期二的男孩”更详细的时候,另一个孩子也是男孩的概率比要接近.事实上,当给出的信息是”出生于星期二的晚上的男孩”时,另一个孩子也是男孩的概率是,而显然要比更接近.而当所给的信息足够详细时,我们就可以认为这是”特指”的情况了.比如,但所给的信息是”出生于6月6日6时6分6秒的男孩”时,我们可以计算出另一个孩子也是男孩的概率是,其中,误差,这已经是一个相当接近的数了.13 涂利治等.悖论与数学基础问题J.数学研究与评论,1982,(4):122.4. 总结从短期来看,概率悖论还会到处存在.概率事件可能似乎反复无常和不公平,概率的错觉,事件发生的不协调
24、,反直觉和遗留的错误观念都需要一个理解,接受和发展的过程.长期频率的经验能有助于修正一些基于对随机和概率的误解而产生的某些不相适应的行为.14 张建军.逻辑悖论研究引论M.南京:南京大学出版社,2002:337.概率作为一种文化,还很年轻,如何发展正确的直觉,理解概率悖论的产生,接受或探讨或然性的意识,是理解和发展概率科学的关键.而对于已经存在的一些概率悖论,只要我们运用科学的数学理论,严谨的数学思维,正确的数学方法,这些悖论将不再是悖论.对于仍旧不能解决的一些问题,就需要我们这些继任者不断完善概率的理论体系,为其最终变成一门成熟的,科学的数学学科而努力奋斗.15 冯赖特.知识之树M.陈波等译
25、.北京:三联书店,2003:166.The probability after changing the conditionTo the paradox of the probability caused by conditions change Abstract: Paradox is a pervasive feature of mathematics, but they most often is in a more advanced level. But in terms of probability. Paradox is a relatively simple level. In
26、this paper, using the full probability formula and bayes formula, to solve some probability paradox caused by conditions change. And through the analysis of the probability of two common paradox, the formation mechanism of the probability of paradox was investigated, and the solution, in order to cause the readers attention and thinking.Keywords: Math; Paradox; Conditional prability; Designated 参考文献: