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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案【精品文档】第 23 页上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分）1设函数满足，则 2设均为实数，且，则 3设且，则方程的解的个数为 4设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 5 6设不等式与的解集分别为M和N若，则k的最小值为 7设函数，则 8设，且函数的最大值为，则 96名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 10已知函数，对于，定义，若，则 二、计算与证明题（
2、每小题10分，共50分）11工件内圆弧半径测量问题为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当时，的值12设函数，试讨论的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在内的图像13已知线段长度为，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标参考答案：1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 27. 8. 9. 10. 11.，12. ；偶函数；周期为 13. ；14.略；反证法 15. 2；3；2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.
3、1.1一填空题1若，则22函数的最大值为_3等差数列中，则前项和取最大值时，的值为_204复数,若存在负数使得，则5若，则6数列的通项公式为，则这个数列的前99项之和7中的系数为39212258数列中，此数列的通项公式为 9甲、乙两厂生产同一种商品甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为10若曲线 与 的图像有3个交点，则 二解答题130个人排成矩形，身高各不相同把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为（）是否有可能比高？（）和是否可能相
4、等？1 解：不可能 若为同一人，有； 若在同一行、列，则均有； 若不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记所在列与所在行相交的人为。因为为列最矮的人，所以有；又因为为列最高的人，所以有；于是有。综上，不可能有 有可能，不妨令30个人身高由矮至高分别为，如图2所示： 此时有3世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分比赛结束后前两名可以晋级（）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？（）
5、若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？解：乙专家 若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03130310卡03103310伊0030003 假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。 若中国队
6、得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。澳澳中中卡卡伊伊总分澳30303312中03033312卡03303312伊0000000 假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！ 故中国队至少得13分才可以确保出线。4通信工程中常用n元数组表示信息，其中或1，设，表示和中相对应的元素不同的个数（）问存在多少个5元数组 使得；（）问存在多少个5元数组 使得；（）令，求证：解：5； ；记中对应项同时为0的项的个数为，对应项同时为1的项的个数为，则对应项一个为1，一个为0的项的个数为；即是中1的个数，即是中1的个数，是中对应
7、项一个为1，一个为0的项的个数。于是有中1一共有个，即所以有于是5曲线与圆交于两点，线段的中点在上，求解：设， 联立与，得：知，； 且 得 又 所以 解得或（舍）2011年同济大学等九校(卓越联盟)自主招生 数学试题一、选择题,1.已知向量为非零向量,则夹角为( ) A. B. C. D. 2.已知则( ) A. B. C . D.3.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 4.为虚数单位,设复数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 5.已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴上,三个顶点都在抛物线上,且的重心为抛物线的焦点,若边
8、所在的直线方程为,则抛物线方程为( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面边长与侧棱长均不等于2,且为的中点,则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7.若关于的方程有四个不同的实数解,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.如图,内接于,过中点作平行于的直线交于,交于,交在点处的切线于,若,则的长为( )OABCDEFGPl第8题图 A. B. C. D.9.数列共有11项,且 满足这种条件的不同数列的个数为( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.设是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为的旋转,表示坐标平面关于轴的镜面反射.用表示变换的
9、复合,先做,再做.用表示连续次的变换,则是( ) A. B. C. D.二、解答题13.已知椭圆的两个焦点为,且椭圆与直线相切.(1)求椭圆的方程;(2)过作两条互相垂直的直线,与椭圆分别交于及,求四边形面积的最大值与最小值.14.一袋中有个白球和个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后,记袋中白球的个数为.(1)求;(2)设,求(3)证明:参考答案:一.选择题二.解答题13.【解】设椭圆方程为,因为它与直线只有一个公共点,所以方程组只有一解,整理得.所以得.又因为焦点为,所以联立上式解得所以椭圆方程为.(2
10、)若斜率不存在(或为0)时,则.若斜率存在时,设为,则为.所以直线方程为.设与椭圆交点坐标为联立方程化简得.则所以同理可得所以因为（当且仅当时取等号）所以,也所以所以综上所述,的面积的最小值为,最大值为2.14.【解】(1)时,袋中的白球的个数可能为个(即取出的是白球),概率为;也可能为个(即取出的是黑球),概率为,故.(2)首先,时,第次取出来有个白球的可能性有两种;第次袋中有个白球,显然每次取出球后,球的总数保持不变,即个白球(故此时黑球有个),第次取出来的也是白球,这种情况发生的概率为第次袋中有个白球,第次取出来的是黑球,由于每次球的总数为个,故此时黑球的个数为.这种情况发生的概率为.故
11、(3)第次白球的个数的数学期望分为两类: 第次白球个数的数学期望,即.由于白球和黑球的总个数为,第次取出来的是白球,这种情况发生的概率是;第次取出来的是黑球,这种情况发生的概率是,此时白球的个数是 故清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题（2009年12月30日）1.求的单调区间及极值.2.设正三角形边长为，是的中点三角形，为除去后剩下三个三角形内切圆面积之和.求.3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.A 0.9
12、0B 0.95C 0.95D 0.94E 0.94求：（1）能听到立体声效果的概率； （2）听不到声音的概率.4.(1)求三直线，所围成三角形上的整点个数； (2)求方程组的整数解个数.5.已知，ABC是正三角形，且B、C在双曲线一支上.(1)求证B、C关于直线对称；(2)求ABC的周长.复旦大学2010年选拔生考试数学试题一、填空(每小题5分，共45分)1sinx+siny=0，则cos2x-sin2y=_2平面p1, p2成a的二面角，平面p1中的椭圆在平面p2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为_3(x2+2x+2)(y2-2y+2)1，则x+y=_4电话号码0，1不能是首位，则本市电
13、话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加_52002=83a3+82a2+8a1+a0，0a0,a1,a2,a37正整数，则a0=_6的常数项为_7_8空间两平面a,b，是否一定存在一个平面均与平面a,b垂直？_9在ABC中，cos(2A-C)cos(2C-B)，则此三角形的形状是_二、解答题(共87分)1求解：cos3xtan5xsin7x2数列3，3-lg2，,3-(n-1)lg2问当n为几时，前n项的和最大？3求证：xR时，|x-1|4|x3-1|4a为何值时，方程有解？只有一解？5一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船
14、与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？6x3-2y31的所有整数解(x,y)，试证明：1设f(x)的原函数是，则_2设，则函数(的最小值是_3方程的解x_4向量在向量上的投影_5函数的单调增加区间是_6两个等差数列200，203，206，和50，54，58都有100项，它们共同的项的个数是_7方程7x2-(k+13)x+k2-k-20的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是_8将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是_2、选择题
15、(本题共15分，每小题3分在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1若今天是星期二，则31998天之后是( )A星期四B星期三C星期二D星期一2用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是( )ABCD3方程cos2x-sin2x+sinxm+1有实数解，则实数m的取值范围是( )ABm -3Cm -1D4若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q0的两个根，则此数列各项的积是( )ApmBp2mCqmDq2m5设f (x0)2，则( )A-2
16、B2C-4D43、证明与计算（本题61分）1(6分)已知正数列a1，a2，an，且对大于1的n有，试证：a1，a2，an中至少有一个小于12(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)-f(-x)，f(0)1，f(3)4，试求f(x)3(8分)求极限4(10分)设在x0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值(b,c0)5(8分)证明不等式：，6(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率OyxB1A2A1B27(11分)如图所示，设曲线上的点
17、与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线上试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在1. 数的位数是_。2. 求_。3. ，则用表示_。4. ，求_。5. ，求的最小值为_。6. 有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_。7. 数列中，求_。8. 展开式中系数为_。9. 一人排版，有三角形的一个角，大小为，角的两边一边长，一边长，排版时把长的那边错排成长，但发现角和对边长度没变，则_。10. 掷三粒骰子，三个朝上点恰成等差列的概率为_。11. ，则（ ）12. A B
18、C D13. 某人向正东走，再左转朝新方向走了，结果离出发点，则（ ）A B C3 D不确定A B C D14. ，则（ ）A， B的面积 C对，第一象限 D，的圆心在上15. 一个圆盘被条等间隔半径与一条割线所分割，则不交叠区域最多有（ ）个A B C DA B C D16. 对，定义，则满足（ ）A交换律 B结合律 C都不 D都可17. ，则（ ）A3 B4 C5 D618. ，在上最小值为，求。19. ，求的最小值。20. ，求21. （为参数）求顶点轨迹，求在上截得最大弦长的抛物线及其长。22. 为递增数列，在上对应为，以与曲线围成面积为，若为的等比数列，求和。1三次多项式f(x)满足
19、f(3)2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为_2用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_3已知，x+2y1，则的最小值是_4有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是_5已知f(x)=ax7+bx5+x2+2x-1，f(2)=-8，则f(-2)=_6投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_7正四面体的各个面无限延伸，把空间分为_个部分8有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有_种分法9有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是_10100!末尾连续有_个零二、
20、解答题（本大题共60分，每题10分）11数列an的a1=1，a2=3，3an+2=2an+1+an，求an和123个自然数倒数和为1求所有的解13已知x1000+x999(x+1)+(x+1)1000，求x50的系数14化简：(1) ；(2) 15求证：为最简分式1函数，当x=1时，则f(x)_2方程x2+(a-2)x+a+1=0的两根x1,x2在圆x2+y2=4上，则a=_3划船时有8人，有3人只能划右边，1人只能划左边，共有_种分配方法4Ax|log2(x2-4x-4)0，Bx|x+1|+|x-3|6，则=_5数列an的前n项和为Sn，若ak=kpk(1-p),(p1)，则Sk_6若(x-
21、1)2+(y-1)2=1，则的范围是_7边长为4的正方形ABCD沿BD折成60o二面角，则BC中点与A的距离是_8已知|z1|=2，|z2|=3，|z1+z2|=4，则=_9解方程，x_10(a0)，_二、解答题(本大题共120分)11已知|z|1，求|z2+z+4|的最小值12a1,a2,a3,an是各不相同的自然数，a2，求证：1，则_2已知，则的范围是_3椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是_412只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有_种取法5已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为_6的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是_7已知，则的最大值为_8设是方程的两解，则=_9的非零解是_10的值域是_二、解答题（每题15分，共120分）1解方程：2已知，且，求3已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求4若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界问函数在上是否有界？5求证：一、填空题：1. 2. 3.20 4. 二、解答题：5证明1：而 原式1+=证明2：原式