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1、1. 反比例函数的概念,要点梳理,定义：形如_ (k为常数，k0) 的函数称为反 比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数 三种表达式方法： 或 xykx 或ykx1 (k0) 防错提醒：(1)k0；(2)自变量x0；(3)函数y0.,2. 反比例函数的图象和性质,(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线 和 ； 对称中心是： .,双曲线,原点,y = x,y=x,(2) 反比例函数的性质,(3) 反比例函数比例系数 k 的几何意义,k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有 两坐标
2、之积 (xyk) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐 标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线， 一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积 为常数 ,3. 反比例函数的应用,利用待定系数法确定反比例函数：, 根据两变量之间的反比例关系，设 ； 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对 对应值，求出 k 的值； 写出解析式.,反比例函数与一次函数的图象的交点的求法,求直线 yk1xb (k10) 和双曲线 (k20)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方 程组.,利用反比例函数相关知识解决实际问题,过程：分析实际
3、情境建立函数模型明确 数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取 非负值.,考点讲练,1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?, y = 3x1, y = 2x2, y = 3x,2. 已知点 P(1，3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3B. 3 C. D.,B,3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( ) A. 1 B. 1 C. 1 D. 任意实数,A,例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3) 都在反比 例函数 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A. y3y1y2 B. y1y2y3 C. y2y1y3 D
4、. y3y2y1,解析：方法分别把各点代入反比例函数求出y1，y2， y3的值，再比较出其大小即可 方法：根据反比例函数的图象和性质比较,D,方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定,y1 0y2,已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x10 x2)都在反比例函数 (k0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .,例2 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA x 轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为 .
5、,1,1. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上 一点，过点 M 的直线 l y 轴，且直线 l 分别与反比 例函数 (x0)和 (x0) 的图象交于P，Q 两点，若 SPOQ=14， 则 k 的值为 .,20,4,10,2. 如图，已知点 A，B 在双曲线 上，ACx 轴于 点C，BDy 轴于点 D，AC 与 BD 交于点 P，P 是 AC 的中点，若ABP 的面积为6，则 k = .,24,E,F,SABP= S四边形BFCP， = (S四边形BDOFS四边形OCPD) = (S四边形BDOF S四边形AEOC) = (k k)= k = 6. k =24.,例3 如图，
6、已知 A (4， )，B (1，2) 是一次函数 y =kx+b 与反比例函数 (m0)图象的两个交点，ACx 轴于点 C，BDy 轴于点 D (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值 时，一次函数的值大于反比例函数的值；,解：当4 x 1时，一 次函数的值大于反比例 函数的值.,(2) 求一次函数解析式及 m 的值；,解：把A(4， )，B(1，2)代入 y = kx + b中，得,4k + b = ，,k + b =2，,所以一次函数的解析式为 y = x + .,把 B (1，2)代入 中，得 m =12=2.,(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若PCA
7、 和 PDB 面积相等，求点 P 坐标.,P, PCA面积和PDB面积相等， ACt(4)= BD2 2( t+ )，,解得：t = . 点 P 的坐标为 ( ， ),解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，P点到直线 AC 的 距离为 t(4)，P 点到直线 BD 的距离为2 ( t+ ),方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.,如图，设反比例函数的解析式为 (k0) (1) 若该反比例函数与正比例函数 y =2x 的图象有一个 交
8、点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；,解：由题意知点 P 在正比例函数 y =2x 上， 把 P 的纵坐标 2 带入该解析 式，得P (1，2)， 把 P (1，2) 代入 ， 得到,P,2,(2) 若该反比例函数与过点 M (2，0) 的直线 l：y=kx +b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 ABO 的面积为 时，求直线 l 的解析式；,解：把 M (2，0) 代入 y = kx + b， 得 b= 2k，y = kx+2k，,解得 x =3 或 1.,ykx+2k，, B (3，k)，A (1，3k)., ABO的面积为, 23k + 2k =,解得, 直线 l 的解析式为 y
9、 = x + ,(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的 值小于反比例函数的值？,解：当 x 3或 0 x1 时，一次函数的值小于反 比例函数的值.,例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0 x 2 时，y 与 x 的函数解析式；,解：当 0 x 2 时，y 与 x 成正比 例函数关系 设 y kx，由于点 (2，4) 在 线
10、段上， 所以 42k，k2，即 y2x.,(2) 求当 x 2 时，y 与 x 的函数解析式；,解：当 x 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设,解得 k 8.,由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以,即,(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有 效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？,解：当 0 x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x2， 解得x1，1x2； 当 x2 时，含药量不低于 2 毫克，,即 2，解得 x 4. 2 x 4.,所以服药一次，治疗疾病的有 效时间是 123 (小时),如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y，从加
11、热开始计算的时间为x分钟据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系已知该材料在加热前的温度为4，加热一段时间使材料温度达到 28时停止加热，停止加热 后，材料温度逐渐下降，这 时温度y与时间 x 成反比例 函数关系，已知第 12 分钟 时，材料温度是14,(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函 数关系式（写出x的取值范围）；,答案：,(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟?,解：当y =12时，y =4x+4，解得 x=2 由 ，解得x =14. 所以对该材料进行特殊 处理所用的时间为 142=12 (分钟),