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1、概率论概率论 第五节第五节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布问题的提出问题的提出离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布小结小结 布置作业布置作业概率论概率论 一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.比如，已知圆轴截面直径比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，概率论概率论 在比如在比如 ，已知，已知 t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V 的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R ( R 为电
2、阻为电阻）的分布等的分布等.t0t0概率论概率论 设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g 是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的的分布？分布？下面进行讨论下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的重要的.概率论概率论 二、离散型随机变量二、离散型随机变量函数的分布函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时时， Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数. 301350207
3、5.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事取其对应值是两个同时发生的事件件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率.故故概率论概率论 如果如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 r.v ，X 的分布律为的分布律为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X)nnpppxgxgxg2121)()()(概率论概率论 如：如：X1 . 016 . 03 . 001则则 Y=X2 的分布律为：的分布律为：406010.Y 概率论概率论 三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数
4、的分布例例2设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.概率论概率论 例例3 设设 X 具有概率密度具有概率密度 , 求求 Y=X2 的概率密度的概率密度.)(xfX)(xFX)(yFY解解 设设Y 和和 X 的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，概率论概率论 若若exxfX2221 )(则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为： 0, 00,21)(221yyyfeyyY,x 概率论概率论 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，的过程中，关键的一步是设法关键的一步是设法从从 g(X) y 中解出中解出X,
5、从而得到与从而得到与 g(X) y 等价的等价的X 的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出的分布，从而求出相应的概率相应的概率.这是求这是求r.v的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.概率论概率论 例例4 已知随机变量已知随机变量X的分布函数的分布函数F(x)是严格单调的连是严格单调的连续函数续函数, 证明证明Y=F(X)服从服从0,1上的均匀分布上的均匀分布. 下面给出一个定理，在满下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出足定理条件时可直
6、接用它求出随机变量函数的概率密度随机变量函数的概率密度 .概率论概率论 其它, 0,)()()(11ydyydgygfyfY其中其中，),(minxgbxa),(maxxgbxaX = 是是 y=g (x) 的反函数的反函数 .定理定理 设设 X是一个取值于区间是一个取值于区间a,b，具有概率密度，具有概率密度 f(x)的连续型的连续型 r.v,又设又设y=g(x)处处可导，且处处可导，且 是严是严格单调函数格单调函数 ，则，则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v.，它的概率，它的概率密度为密度为( )g x此定理的此定理的证明与前证明与前面的解题面的解题思路类似思路类似1( )gx概率
7、论概率论 xexfxX,21)(222)( 解解baxxgy )(的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量Xabyyhx )(解得解得ayh1)( 的的概概率率密密度度为为所所以以baXY yabyfayfXy),(1)(例例5 设随机变量设随机变量 服从正态分布，证明服从正态分布，证明 ),(2 NXbaXY 也也服从正态分布服从正态分布.概率论概率论 yeaeayfaabyabyy22222)(2)(21211)( 即即 2)( , abaNbaXY 所以所以概率论概率论 四、小结四、小结 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布的分布时，时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X) y 转化为转化为X在一在一定范围内取值的形式定范围内取值的形式，从而可以利用，从而可以利用 X 的分布来的分布来求求 P g(X) y .这一节我们介绍了随机变量函数的分布这一节我们介绍了随机变量函数的分布.概率论概率论 习题二习题二 21, 23, 24 21, 23, 24五、布置作业五、布置作业