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1、一. 图的基本概念 1、电路的图 定义：不考虑元件性质，仅用点和线段表示电路结构的图。,3-1 电路的图,图G（Graph)：是节点和支路的一个集合 即：G=支路，节点,1,无 向 图,有 向 图,b. 有向图：赋予支路电流或电压参考方向的图称为有向图，反之则称为无向图。,表示原支路电压和电流的关联参考方向。,2,c. 连通图：如果在图的任意两结点之间至少存在一条由支路构成的路径，则这样的图称连通图。反之则称为不连通图。,3,d. 子图：如果图G1中的每个节点和支路都是另一图G中的一部分节点和支路，则称图G1为图G的子图。,4,1 . 树 (Tree),树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
2、,(1)所有的节点连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。,二、 回路、树,树不唯一,5,树支数 bt= n-1,连支数 bl=b-(n-1),设图的节点数为n，支路总数为b则：,结论： 在图中，当选定一树后，支路分成两类： 其一，树支：构成树的支路； 其二，连支：除去树支以外的支路。 可以证明若电路的节点数为n，尽管树的形式很多，但树支数为（n-1）。,6,2. 回路（Loop）：构成闭合通路的支路集合。 L是连通图G的一个子图。具有下述性质：,(1)所有的节点连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。,回路,不是回路,基本回路（单连支回路）：仅含有一个连支，其余均为树
3、支的回路称基本回路。,7,回路: (1、3、4);,基本回路: (7、6、4);,(2、3、5);,(7、9);,(1、2、7、8),(1、3、6、7),定理：一个具有n个节点和b条支路的连通图G，若任取一个树T，必有 b-(n-1)个基本回路。 证明：一个具有n节点，b条支路的连通图，若任取一个树后，必有(n-1)个树支、b-(n-1)个连支,由于每一个连支唯一的对应着一个基本回路,故有n个节点、b条支路的连通图G，必有b-(n-1)个基本回路。,8,3. 平面电路：除去节点外，无任何支路相交叉的电路。,网孔：平面图的一个网孔是它的一个自然的“孔”，它限定的 区域内不再有支路。 定理：若连通
4、平面电路具有b条支路、n个节点，则它具有的网孔数为l =b-(n-1)。,非平面电路,平面电路,b=6，n=4 l =b-(n-1)=3,9,3-2 KCL和KVL的独立方程数,一、KCL的独立方程数,a: -i1+i5 -i6=0 b: i1+i2 +i3=0 c: -i2-i5 +i4=0 d: -i3-i4 +i6=0,每个电流均在方程中出现2次，一次为正，一次为负。 原因？ 每一支路必与2个节点相连接，该支路电流对其中一节点为流入，对另一节点必为流出。,10,故这4个方程不是相互独立的，即由其中任意三个方程可以推导出第四个。 若任意去掉1个节点，则剩下3个节点的KCL方程必是相互独立的
5、。,结论： 一个具有n个节点的连通图G，在任意(n-1)个节点上可以得出(n-1)个独立的KCL方程。相应的(n-1)个节点称为独立节点。,a: -i1+i5 -i6=0 b: i1+i2 +i3=0 c: -i2-i5 +i4=0 d: -i3-i4 +i6=0,+,11,二、KVL的独立方程数,u1+ u3+ u6 =0,+,u2 + u4 u3 =0,u1+ u2+ u4 u6 =0,故这3个方程不是相互独立的。,若选支路1、2、3为树支，可列出3个基本回路方程。,则这3个基本回路方程是相互独立的。,12,结论： 一个具有n个节点、b条支路的连通图G，由于每条连支唯一地确定着一个基本回路
6、，所以一组b-(n-1)个基本回路即为一组独立回路，必然能建立起b-(n-1)个独立的KVL方程。,综上所述： 一个具有n个节点、b条支路的连通图G，具有N=n-1个独立节点和L=b-(n-1)个独立回路，必能建立起n-1个独立的KCL方程和b-(n-1)个独立的KVL方程。 由KCL及KVL可以得到的独立方程总数等于支路数b。,13,3-3 支路电流法 (branch current method ),举例说明：,b=6,n=4,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6
7、 = uS+R6i6,14,对n个结点的电路， 独立的KCL方程只有n-1个 。,(1) 标定各支路电流、电压的参考方向,(2) 对结点，根据KCL列方程,结点 1：i1 + i2 i6 =0,结点 2： i2 + i3 + i4 =0,结点 3： i4 i5 + i6 =0,结点 4： i1 i3 + i5 =0,结点 1：i1 + i2 i6 =0,结点 2： i2 + i3 + i4 =0,结点 3： i4 i5 + i6 =0,15,(3) 选定b-n+1个独立回路，根据KVL，列写回路电压方程。,回路1：u1 + u2 + u3 = 0,(2),回路3： u1 + u5 + u6 =
8、 0,回路2：u3 + u4 u5 = 0,u1 =R1i1， u4 =R4i4， u2 =R2i2， u5 =R5i5， u3 =R3i3，u6 = uS+R6i6,将各支路电压、电流关系代入 方程（2）得：,R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0,（3）,16,i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0,R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0 R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5
9、+ R6 i6 uS = 0,联立求解，求出各支路电流，进一步求出各支路电压。,17,支路法电流的一般步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个结点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写KVL方程；,(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以使用。要同时列写 KCL和KVL方程，所以方程数较多，且规律性不强(相对于后面的方法)，手工求解比较繁琐，也不便于计算机编程求解。,带入元件VCR,18,例1.,结点a：I1I2+I3=0
10、,(1) n1=1个KCL方程：,US1=130V, US2=117V, R1=1, R2=0.6, R3=24.,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解：,(2) bn+1=2个KVL方程：,R2I2+R3I3= US2,U=US,R1I1R2I2=US1US2,0.6I2+24I3= 117,I10.6I2=130117=13,19,(3) 联立求解,(4) 功率分析,PU S1发=US1I1=13010=1300 W,PU S2发=US2I2=130(10)= 585 W,验证功率守恒：,PR 1吸=R1I12=100 W,PR 2吸=R2I22=15 W,PR 3吸=R3I32=60
11、0 W,P发= P吸,20,例2.,列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。,b=5, n=3,KCL方程：,- i1- i2 + i3 = 0 (1) - i3+ i4 - i5 = 0 (2),R1 i1-R2i2 = uS (3),KVL方程：,解：,i5 = iS (6),- R4 i4+u = 0 (5),R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4),R1 i1-R2i2 = uS (3),i5 = iS (5),R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4),21,解,列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,方程列写分两步：,(1) 先将受控源看作独立源列方
12、程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KCL方程：,-i1- i2+ i3 + i4=0 (1) -i3- i4+ i5 - i4=0 (2),例3.,22,KVL方程：,R1i1- R2i2= uS (3) R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4) R3i3- R4i4= u2 (5) R5i5= u (6),补充方程：,i6= i1 (7) u2= R2i2 (8),另一方法：去掉方程(6)。,23,3-4 回路电流法 (loop current method),基本思想：,以假想的回路电流为未知量。回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性
13、组合表示。,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、 il2。,支路电流可由回路电流求出 i1= il1，i2= il2- il1， i3= il2。,24,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2 -uS2=0,整理得，,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2
14、+R3) il2 =uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,回路法的一般步骤：,(1) 选定l=b-n+1个独立回路， 标明各回路电流及方向。,(2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)解上述方程，求出各回路电流，进一步求各支路电压、电流。,25,自电阻 总为正。,R11=R1+R2 回路1的自电阻。 等于回路1中所有电阻之和。,R22=R2+R3 回路2的自电阻。 等于回路2中所有电阻之和。,R12= R21= R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1= uS1-uS2 回路1中
15、所有电压源电压的代数和。,ul2= uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号反之取正号。,(R1+ R2) il1-R2il2=uS1-uS2,- R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2,26,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,其中,Rjk:互电阻,+ : 流过互阻两个回路电流方向相同,- : 流过互阻两个回路电流方向相反,0 : 无关,特例：不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 （平面电路， Rjk均为负(当回路电流均取顺(或逆)时针方向),Rkk:自电阻(为正) ，
16、k=1,2,l ( 绕行方向取回路电流参考方向)。,27,回路法的一般步骤：,(1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，标明回路电流及方向；,(2) 对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,28,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1) 设独立回路电流(顺时针),(2) 列 KVL 方程,(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2,-R2Ia + (R2+R3
17、)Ib - R3Ic = US2,-R3Ib + (R3+R4)Ic = -US4,对称阵，且 互电阻为负,(3) 求解回路电流方程，得 Ia , Ib , Ic,(4) 求各支路电流： I1=Ia , I2=Ib-Ia , I3=Ic-Ib , I4=-Ic,29, 将看VCVS作独立源建立方程；, 找出控制量和回路电流关系。,4Ia-3Ib=2,-3Ia+6Ib-Ic=-3U2,-Ib+3Ic=3U2,例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib
18、- Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.,* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,30,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1： 引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。,31,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路, 该回路电流即 IS 。,32,3-5 结点电压分析法,一、基本概念,1、结点电压( Node voltage) : 对于一个具有n个结点的电路，任选一个结点作为参考点，其它N=(n1)个结点对参考点（reference node）的电压称结点电压。,5,2,1,1.4A,3.1A,u1,u2,5,2,
19、1,1.4A,3.1A,u1,u2,+,+,2、结点分析法：以(n 1)个结点电压为未知变量，根据KCL，建立(n 1)个独立的结点电压方程求解电路变量的方法。,33,结点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-( n-1）个。,结点b为参考结点，则,设结点a电压为,则：,二、基本的结点电压分析法,34,举例说明：,(2) 列KCL方程：, iR出= iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1) 选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压,代入支路特性：,35,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1,
20、2, 3, 4, 5,上式简记为,G11un1+G12un2 = isn1,G11un1+G12un2 = isn2,(3)求解上述方程,36,由结点电压方程求得各结点电压后即可求得个支路电压，各支路电流即可用结点电压表示：,37,G11=G1+G2+G3+G4结点1的自电导，等于接在结点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 结点2的自电导，等于接在结点2上所有支路的电导之和。,G12= G21 =-(G3+G4)结点1与结点2之间的互电导，等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,* 自电导总为正，互电导总为负。 * 电流源支路电导为零。,38,iSn1=i
21、S1-iS2+iS3流入结点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入结点2的电流源电流的代数和。,* 流入结点取正号，流出取负号。,39,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,40,一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,* 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,iSni 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji互电导，等于接在结点i与结点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,41,结点电压
22、分析法的一般步骤：,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用结点电压表示)；,42,用结点法求各支路电流。,例2.,(1) 列结点电压方程：,UA=21.8V， UB=-21.82V,I1=(120-UA)/20k= 4.91mA,I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA,I3=(UB +240)/40k= 5.45mA,I4= UB /40=0.546mA,I5= UB /20=-1.09mA,(2) 解方程，得：,(3)
23、 各支路电流：,解：,43,应用KCL,结点1：,结点2：,un1= 5V un2= 2V u5= un1 un2= 3V,进一步可计算出每个元件的功率。,例1.求右图中各结点电压,44,求un1、 un2和un3。,例2. 电路如图所示。,解：,结点1：,结点2：,结点3,45,四、含独立电压源电路的结点方程 当电路中存在独立电压源时，不能用式(230)建立含有电压源结点的方程，其原因是没有考虑电压源的电流。若有电阻与电压源串联单口，可以先等效变换为电流源与电阻并联单口后，再用式(230)建立结点方程。若没有电阻与电压源串联，则应增加电压源的电流变量来建立结点方程。此时，由于增加了电流变量，
24、需补充电压源电压与结点电压关系的方程。,三、含有电压源电路的结点电压分析法,46,例219 用结点分析法求图2-30(a)电路的电压u和支路电 流i1，i2。,图230,解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对结点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。 只需列出一个结点方程。,1、含有电压源电阻串联的支路,47,解得,按照图(a)电路可求得电流i1和i2,图230,48,例3. 试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个结点电压与电压源间关系,方法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2+I =0,-G1U1+(
25、G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3-I =0,U1-U2 = US,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,2、含有无伴电压源,49,(1) 先把受控源当作独立源看列方程；,(2) 用结点电压表示控制量。,例1. 列写下图含VCCS电路的结点电压方程。,uR2= un1,解：,四、含有受控源电路的结点电压分析方法,50,支路法、回路法和结点法的比较：,(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。,(3) 回路法、结点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用结点法较多。,(1) 方程数的比较,51,