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1、直线与方程知识点一、基础知识回顾1. 倾斜角与斜率知识点 1: 当直线l与x轴相交时,x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 . 注意 : 当直线与 x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0 度. 知识点 2:直线的倾斜角(90 ) 的正切值叫做这条直线的斜率. 记为tank. 注意 : 当直线的倾斜角90时,直线的斜率是不存在的王新敞知识点 3:已知直线上两点111222(,),(,)P xyPxy12()xx的直线的斜率公式:2121yykxx. 知识点 4:两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即12/ll1k
2、 =2k王新敞知识点 5:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,则它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负倒数,则它们互相垂直. 即12ll121kk121k k王新敞注意:11212/llkk 或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 212121llk k或10k且2l 的斜率不存在,或20k且1l 的斜率不存在 . 2. 直 线 的 方 程知识点 6:已知直线l 经过点00(,)P xy,且斜率为k ,则方程00()yyk xx为直线的 点斜式方程 .注意: x轴所在直线的方程是,y 轴所在直线的方程是 . 经过点000(,)Pxy且平行于 x 轴 (即垂直于y 轴) 的直线方程是
3、 . 经过点000(,)Pxy且平行于 y 轴(即垂直于x 轴)的直线方程是 . 知识点 7: 直线 l 与 y 轴交点 (0, )b 的纵坐标 b 叫做直线 l 在 y 轴上的截距 . 直线 ykxb叫做直线的 斜截式方程 .注意:截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标. 知识点 8:已知直线上两点112222(,),(,)P xxPxy且1212(,)xxyy,则通过这两点的直线方程为1112122121(,)yyxxxxyyyyxx, 由于这个直线方程由两点确定,叫做直线的 两点式方程 .知识点 9:已知直线l与x轴的交点为( ,0)A a,与y轴的交点为(0, )Bb ,其中0,0ab,
4、则直线 l 的方程为1byax,叫做直线的 截距式方程 . 注意 : 直线与x轴交点(a,0 ) 的横坐标a叫做直线在x轴上的截距; 直线与 y 轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 . 知识点 10:关于, x y 的二元一次方程0AxByC(A,B不同时为0)叫做 直线的一般式方程 . 注意 : (1)直线一般式能表示平面内的任何一条直线(2)点00(,)xy在直线0AxByC上00AxBy0C王新敞3、直线的交点坐标与距离知识点 11:两直线的交点问题.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组11122200A xB yCA xB yC,若方程组有唯一解,则两直线相交;若方程组
5、有无数组解,则两直线重合;若方程组无解,则两直线平行. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页知识点 12:已知平面上两点111222(,),(,)P xyP xy,则221 22121()()PPxxyy. 特殊地:( , )P x y 与原点的距离为22OPxy. 知识点 13:已知点00(,)P xy和直线:0lAxByC,则点 P 到直线 l 的距离为:0022AxByCdAB. 知识点 14:已知两条平行线直线1l10AxByC,2:l20AxByC,则1l 与2l 的距离为1222CCdAB王新敞知识点 15
6、:巧妙假设直线方程:(1)与10AxByC平行的直线可以假设成:20AxByC(C1和 C2不相等)(2)与0AxByC垂直的直线可以假设成:Bx- Ay+m=0 (3)过1l:A1x+B1y+C1=0和2:lA2x+B2y+C2=0 交点的直线可以假设成A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0 (该方程不包括直线2:l) 知识点 16:1l:A1x+B1y+C1=0和2:lA2x+B2y+C2=0 垂直等价于:A1A2+B1B2=0(A1和 B1不全为零;A2和 B2不全为零; ) 知识点 17:中点坐标公式:1122(,),(,)A xyB xy, 则 AB的中点( , )M x
7、 y, 则2121,22xxyyxy. 例题解析例 1. 在第一象限的ABC 中,(1,1), (5,1)AB,60 ,45OOAB.求 AB 边的方程;AC 和 BC 所在直线的方程. 例 2.点 (3,9) 关于直线3100 xy对称的点的坐标是(). A ( 1, 3)B. (17,9)C ( 1,3)D ( 17,9)思考:(1)点关于点的对称点如何求?(2)线关于点的对称线如何求?(3)线关于线的对称线如何求?例 3. 求经过直线3260 xy和 2570 xy的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
8、- - - -第 2 页,共 5 页例 4方程 (1)210()axyaaR 所表示的直线(). A恒过定点( 2,3)B恒过定点(2,3)C恒过点 ( 2,3) 和 (2,3)D都是平行直线例 5已知直线12:220,:1lxayalaxya0 . 若12/ll ,试求 a 的值;若12ll ,试求 a的值例 6 .已知两直线1:40laxby,2: (1)laxy0b,求分别满足下列条件的,a b 的值 . 直线1l 过点 ( 3, 1),并且直线1l 与直线2l 垂直;直线1l 与直线2l 平行,并且坐标原点到12,l l 的距离相等 . 例 7.过点(4,2)P作直线 l 分别交 x
9、轴、 y 轴正半轴于,A B 两点,当AOB 面积最小时,求直线 l 的方程 . 例 8 点 P(x,y)在 x+y-4=0 上,则 x2+y2最小值为多少?巩固练习:1已知点 (3,)m 到直线340 xy的距离等于1,则 m(). A3B3C33D3 或332已知(3, )Pa 在过(2,1)M和( 3,4)N的直线上,则a. 3将直线3(2)yx绕点 (2,0) 按顺时针方向旋转30o,所得的直线方程是. 4两平行直线12,ll 分别过点1(1,0)P和(0,5)P,若1l 与2l 的距离为5,求两直线的方程;设1l 与2l 之间的距离是d ,求 d 的取值范围。精选学习资料 - - -
10、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页5.设直线l的方程为(2)3mxym,根据下列条件分别 求 m 的值 .l在x轴上的截距为2;斜率为1. 达标测试一、选择题(每题3 分,共 36 分)1直线 x+6y+2=0 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是()A.213,B.213,C.123,D.2, 3 2直线 3x+y+1=0 和直线 6x+2y+1=0 的位置关系是()A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直3直线过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为()(A)2x 3y0; (B)xy50; (C)2x 3y0 或 xy50
11、 (D) xy5 或 xy 50 4直线 x=3 的倾斜角是()A.0 B.2C.D.不存在5圆 x2+y2+4x=0 的圆心坐标和半径分别是()A.( 2,0),2 B.(2,0),4C.(2,0),2 D.(2,0),4 6点(1, 2)关于直线y = x1 的对称点的坐标是(A) (3,2)(B) ( 3, 2)(C) ( 3,2)(D) (3, 2)7点( 2,1)到直线 3x 4y + 2 = 0 的距离是(A)54(B)45( C)254(D)4258直线 xy 3 = 0 的倾斜角是()(A)30(B) 45( C)60(D)909与直线l:3x4y50 关于 x 轴对称的直线的
12、方程为(A)3x 4y50 (B)3x4y50 (C) 3x4y5 0 (D) 3x4y50 10设 a、b、 c 分别为ABC 中A、B、C 对边的边长,则直线xsinA ayc0 与直线 bxysinBsinC0 的位置关系()(A)平行;(B)重合;(C)垂直;(D)相交但不垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页11直线 l 沿 x 轴负方向平移3 个单位,再沿y 轴正方向平1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的斜率为()(A);31(B) 3; (C);31(D)3 12直线,31kykx当k变动时,所有
13、直线都通过定点()( A) (0,0)(B) (0,1)( C) (3,1)(D) (2,1)二、填空题(每题4 分,共 16 分)13直线过原点且倾角的正弦值是54,则直线方程为14直线 mxny1( mn0)与两坐标轴围成的三角形面积为15如果三条直线mx+y+3=0,x y 2=0,2x y+2=0 不能成为一个三角形三边所在的直线,那么m 的一个值是 _. 16已知两条直线l1:yx;l2: axy0(aR) ,当两直线夹角在(0,12)变动时,则a 的取值范围为三、解答题(共48 分)17. ABC中,点 A,1,4AB 的中点为M,2, 3重心为 P,2 ,4求边 BC 的长( 12 分)18若Na,又三点A(a, 0), B(0,4a) ,C(1,3)共线,求a的值( 12 分)20若直线062yax和直线0)1() 1(2ayaax垂直,求a的值( 12 分)21如图,在ABC 中,C=90O,P 为三角形内的一点,且PCAPBCPABSSS,求证: PA2+ PB2=5 PC2(12 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页