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1、26函数模型及其应用突破思路本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤 函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数其中，最重要的是二次函数模型合作讨论1解决函数应用题的基本步骤和流程图是什么？我的思路：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解第三步： 将所得函
2、数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答2解决函数应用题的关键点和难点是什么？我的思路：解决函数应用题的关键有两点：一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、 画图，引入变量，建立直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，要注重数学能力的培养思维过程解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力一方面要加强对常见函数模型的理解， 弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以
3、涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透、细水长流，培养学生实际问题数学化的意识和能力新题解答【例 1】 某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税已知这种电子产品国内市场零售价为每件250 元，每年可销售40 万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少t 万件（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600 万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析： （ 1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250 x 万元，征收附加税金为y250 xt依题意， x40t所求的函数关系式为y250（40t） t
4、（2）依题意， 250（40t） t 600，即 t225t1500，10t 15即税率应控制在10 15之间为宜【例 2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20 元，卖出的价格是每份0.30名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 元，卖不完的还可以以每份0.08 元的价格退回报社在一个月（以30 天计算）有20 天每天可卖出 400 份，其余10 天只能卖 250 份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应
5、该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x 份（ 250 x400） 数量（份）价格（元）金额（元）买进30 0.20 6x 卖出20 x10250 0.30 6x 750 退回10（x250）0.08 0.8x200 则每月获利润y （6x750）（ 0.8x200） 6x0.8x 550（250 x400） y 在 x250，400上是一次函数x400 元时， y 取得最大值870 元答：每天从报社买进400 份时，每月获的利润最大，最大利润为870 元点评： 1信息量大是数学应用题的一大
6、特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等2自变量x 的取值范围 250，400是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘变式练习1商店某种货物的进价下降了8，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的 r增加到（ r10），那么r 的值等于（）A12B15C25D50 解析：销售利润100设销售价为y，进价为x，则解之得 r15答案： B 2如下图所示，点在边长为1 的正方形的边上运动，设M 是 CD边的中点，则当点沿着 ABCM 运动时，以点经过的路程x 为自变量，三角形APM 的面积函数的图象形状大致是
7、（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如图所示，当 0 x1 时， y x1x；当 1x2 时， y1（ x1）（ 2x） x；当 2x2.5 时， y（ x） 1 x则 y图形为 A答案： A 3按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8，零存每月利息2，现把 2 万元存入银行 3 年半，取出后本利和应为人民币（）A2（18） 3.5 万元B 2（18） 3（12） 6 万
8、元C 2（18） 322 5 万元D2（18） 32（ 18）3（12） 6 万元解析： 3 年半本利和的计算问题，应转为3 年按年息8计算，而半年按6 个月（月息2）计算，又由于是复利问题，故只有选B答案： B 4某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）解析：由于d0 表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D答案： D 5容器中有浓度为m的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后
9、用水加满，这样进行了10 次后溶液的浓度为（）A mBmC mD m答案： B 6 某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6 元， 行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过 2km，按 1.8 元 /km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6 分钟折算 1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17 元，车上仪表显示等候时间为11分 30 秒，那么陈先生此趟行程介于（）A57kmB9 11km C 79kmD3 5km 答案： A 7 某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场销售发生变化，A产品连续两次提价20，B产品连续两次降价20，结果都以23.04 元出售，此时厂家同时
10、出售A、B 产品各一件，盈亏情况为（）A不亏不赚B亏 5.92 元C赚 5.92 元D赚 28.96 元答案： B 8某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20，要使水中杂质减少到原来的5以下，则至少需要过滤的次数为（） （参考数据lg20.3010，lg30.4771）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - A5B10 C 14D 15 答案： C 9有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此
11、材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为_m2 （围墙厚度不计） 解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（2004x） m，则矩形面积为S x（2004x） 4（x25）22500（0 x50） ，x25 时， S有最大值2500m2答案： 2500 10将进货单价为8 元的商品按10 元一个销售，每天可卖出100 个若每个销售涨价一元，则日销售量减少10 个为获得最大利润， 则此商品当日销售价应定为每个_元解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10 x）元，销售的个数为（10010 x） ，则利润为 y（ 10 x） （1
12、0010 x） 8（10010 x） 10（x4） 2360（0 x 10） 因此 x4，即售价定为每个14 元时，利润最大答案： 14 11在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a1， a2， , ， an，共 n 个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a 是这样一个量，与其他近似值比较，a 与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以a1，a2，, ，an 推出的 a_解析：设 a 与各数据的差的平方和为y，则 y（aa1）2（a a2）2, （aan）2na22a（a1 a2 , an）（ a12 an2 , an2） ，因此 a时， y 取得最小值答案
13、： a12有一质量均匀的杠杆的支点在它的一端，而距支点1m 处挂一个490kg 的物体，同时加力于杠杆的另一端，使杠杆保持水平，若杠杆本身每米重5kg，则最省力的杆长为_。解析：如图所示，设杆长为xm，向上用力为F依杠杆原理易得4901 5x Fx，则 F 70，当且仅当x，即 x14m 时， F 的最小值为70kg答案： 14m 13在国内投寄平信，每封不超过20 克重应付邮资80 分，超过20 克不超过40 克重付邮资 160 分，将每封信应付邮资（分）表示为信重 （0 x40）克的函数， 其表达式 f （x）为_答案：14一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且
14、有各自的优惠政策甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺， 家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a（a0） ，家庭孩子个数为x（xN*） ，甲、乙两家旅行收名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 费分别为f（ x）和 g（x） ，则 f
15、（ x） a（ x1） xa（ xN*） ，g（x）（ x2） x（ xN*） ，g（x） f（ x） ，得 x x， x1因此，当家庭只有1 个孩子时， 两家随便选择， 当孩子数多于1 个时，应选择甲旅行社15把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，tmin后物体的温度可由公式（一）ekt 确定， k 是常数现有62的物体，放在15的空气中冷却， 1min 后物体的温度是52求常数k 的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是 42？（精确到小数点后一位有效数字）解析：由题意知5215（ 6215）ek，ek 0.7872两边取对数，得klgelg0.7872，k 2.30
16、30.10390.2393又（一）ekt，则 lg（一） lg（） ktlge，则 t将 62， 15 代入上式得t，若 42，则 t2.3min答案： k0.2393，2.3min16依法纳税是每个公民应尽的义务，国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的，总收入不超过800 元，免征个人工资薪金所得税；超过 800 元部分征税， 设全月纳税所得额为 x，x全月总收入800 元，税率见下表：级数全月应纳税所得额x 税率1 不超过 500 元部分52 超过 500 元至 2000 元部分103 超过 2000 元至 5000 元部分15,9 超过 100000 元部分45名师资料总结 - - -
17、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - （1）若应纳税额为f（x） ，试用分段函数表示1 3 级纳税额f（x）的计算公式；（2）某人 1999 年 3 月份工资总收入3000 元，试计算这个人3 月份应纳税多少元？（3）某人 2000 年 4 月纳税 265 元，问该人这个月工资总额为多少元？答案： （ 1）f（x）（2）205； （3）340017甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成
18、本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度vkm/h的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案： （ 1）y（ bv2a） ，0vc；（2）当 c， v时，最小值为2s；当 c， vc 时，最小值为s（bc） 18某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：消费金额的范围200，400）400，500）500，700）700，900）,获得奖券的金额30 60
19、100 130 ,根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如： 购买标价400 元的商品， 则消费金额为320 元， 获得的优惠额为4000.230110 元， 设购买商品的优惠率试问： （ 1）若购买一件标价为1000 元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在500，800内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？答案： （ 1）优惠率为33；（2）标价在 625，750内的商品，购买时可获得不小于的优惠率19某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表示：月份用气量煤气费一月份4m3 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
20、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4 元二月份25m3 14 元三月份35m3 19 元该市煤气收费的方法是：煤气费基本费超额费保险费，若每月用量不超过最低限度 Am3，只付基本费3 元和每家每月的定额保险C 元，若用气量超过Am3，则超过部分每m3 付 B元，又知保险费C不超过 5 元，根据上面的表格求A、B、 C答案： A5， b0.5，C120经市场调查，某商品在近100 天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t） t， （tN
21、，0t100） ，在前 40 天里价格为f（t）t22（tN，0t40） ，在后 60 天里价格为f（t） t52（tN，40t100） ，求这种商品的日销售额的最大值解析：由题意知，当0t40，h（t）（ t10.5）2；当 40t100，h（ t）（ t106.5）2； t10 或 11 时，这种商品的日销售额的最大值为 808.521为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC和 CD 上） ，但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF 问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积已知A
22、BCD200m，BCAD160m，AE60m，AF40m解析：设 POx，则 S （ x190）2 1902，0 x200，即 x190 时，最大面积为 24067m2答案：方案略最大面积24067m2 22国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：n 100，各种类型家庭的n 如下表所示：家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕n n6050 n6040 n5030 n40名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - -
23、 - - - - - - - n30根据某市城市家庭抽样调查统计，1997 年至 2003 年间， 每户家庭支出总额每年平均增加 700 元，其中食品消费支出总额每年平均增加100 元（1） 若 1997 年该市城区刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为9000 元，问 2002年能否达到富裕？（2）若 2002 年比 1997 年的消费支出总额增加35，而其中食品消费支出总额增加10，问哪一年能达到富裕？答案： （ 1）2002 年刚好达到富裕；（2）至少到2003 年才能达到富裕23某人从A 地到 B 地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10 元，每km 价为 1.2 元的汽
24、车；第二种方案：租用起步价为8 元，每 km 价为 1.4 元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的则此人从A 地到扫地选择哪一种方案比较合适答案：当 A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当 A、B距离在（ a，a10）时，选择第二种方案；当 A、B距离恰好为a10 时，选择两种方案均可以；当 A、B距离大于a10 时，选择第一种方案（其中 a 为起步价内汽车行驶的里程）规律总结1在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求2在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分
25、使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化3对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本相关链接数学模型及其应用数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情景的数学化”即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题逐步把数学知识用到生产、生活的实
26、际中， 形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力1数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：（1）直接套用现成的公式；（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；（3）对于已经经过提炼加工，忽略了次要因素，保留下来的诸因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；（4）对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型2解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - -
27、- - - 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义请你解决：某县19952000 年县财政收入情况如下表所示：（表中第1 年即 1995 年，其他依此类推）1 2 3 4 5 6 2.59 3.05 3.80 4.89 6.68 8.50 （1）请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况（2）计算该县财政收入的平均年增长率由（ 1） 、 （2）分别预测2001 年该县财政收入，并讨论哪种预测结果更有可行性，假如你是该县县长，
28、将会采用哪种模型？知识归纳学力测评基础巩固一、选择题1函数 y的定义域是（）Ax|x 0 B x|x 0C x|x 0 且 x 1Dx|xR 且 x 0 答案： C 2下列各组中，f（x）与 g（x）是同一函数的是（）Af（x） x， g（x）（） 2 B f（x） lg|x| ，g（x） lgx2 C f（x） 1，g（x） x0 Df（x） |x| ，g（x）答案： B 3 （log89）（ log23）等于（）AB1CD2 答案： A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
29、 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 4如下图所示，当a1 时，在同一个坐标系内，函数y ax 与 ylogax 的图象可能是（）答案： A 5若函数yf（x） （xR）为奇函数，则它的图象必经过点（）A （ a， f（ a） ）B （a， f（a） ）C （a，f（a1） ）D （ a， f（a） ）答案： D 6下列不等式中正确的是（）Alog3loglog B log3loglog C loglog3log Dlogloglog3 答案： A 二、填空题7若函数f（ x）（ a24） x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是_ 答案： 2|a| 8如下图所示，
30、 M、N、P、Q 分别为幂函数图象上的四个点，且它们的纵坐标相同若四个幂函数为yx3； yx2； yx； yx，则 M、N、P、Q 与四个函数序号的对应顺序只能是_答案：9函数 f（x）的最大值是_答案：三、解答题10设 0a1b，试比较logab 与 logba 的大小答案：当 ab1 时， logab logba；当 ab1 时， logablogba；当 ab1 时， logablogba11集合A （x，y）|y x2mx2，B（x，y）|x y1 0，且0 x2，若AB，求实数m 的取值范围答案： m 1迁移应用一、选择题1函数 y ax 在 0，1上的最大值和最小值的和为3，则 a
31、 等于（）ABC 2D4 答案： C 2已知 f（x）的定义域是R，则实数a 的取值范围是（）A （，）B 0， ）C （0， ）D （，）答案： B 3现有一组数据如下表所示：t 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 其中能最接近地表达这些数据规律的函数是（）Avlog2tB vlog0.5t C v0.5t20.5Dv
32、2t2 答案： C 4已知函数f（x） x2bxc 对于任意实数x，都有 f（1x） f（ x） ，则下面不等式成立的是（）Af（2） f（ 0） f（ 2）B f（ 2） f（2） f（0）C f（0） f（ 2） f（2）Df（ 2） f（0） f（2）答案： B 5函数 f（x） xax1（a0） ，则下列结论中错误的是（）A函数 f（x）的最小值为2 B函数 f（x）在（ 0， ）上递减C函数 f（x）在，）上递增D函数 f（x）不存在反函数答案： D 6设函数y和 y的值域分别是A 和 B，则（）AABBA 真包含 B C A 真包含于 BDABR 答案： B 7函数 f（x）（xa
33、）3，且它的图象关于点（1，0）成中心对称， 则 a 等于（）A2B1 C 0D 1 答案： D 8函数 f（x）满足 f（xa） f（bx） ，则函数f（x） （）A关于直线xa 对称B关于直线xb 对称C关于直线x（ ab）对称D关于直线x（ |a b| ）对称答案： C 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 二、填空题9若 xx3，则 _答案：10已知 f（x）则 f（f（） ） _答案：11定义在R 上的函数f（x）满足f（ x） f（ x） 2，f（） f（） f（）,f（） _答案： 7 三、解答题12设 f（x） lg（1）判断函数的单调性并加以证明；（2）解关于x 的不等式fx（x） 答案： （ 1）f（x）在（ 1， 1）上单调递减证明略；（2）x| x 0，或 x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -