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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流人教版七年级数学下册第一章有理数【精品文档】第 25 页T同步有理数的相关概念同步知识梳理（大脑放电影） 知识点一：有理数的概念及分类 (1) 有理数的概念：凡能写成形式的数，都是有理数。一般来说，无限循环小数及有限小数均可表现为分数形式，因此有理数一般包括整数，分数（包括无限循环小数及有限小数）。【注意】p值为3.14159，是无限不循环小数，因此不是有理数。(2)有理数的分类: 【注意】0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数。知识点二：数轴数轴的三要素：原点方向 单位长度直线上任取一点表示数0，该点叫原点；通常规定直线上从原点
2、向右（或上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向。选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点依次表示1,2,3数轴上的点到原点的距离相等的点有两个。知识点三：相反数相反数：一、 只有符号不同的两个数叫互为相反数；【注意】0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.一般的地，a与-a互为相反数。知识点四：绝对值一、 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。一、 正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；一、 互为相反数的两个数的绝对它本身值相等。一、 绝对值可表示为： ；【绝对值的问题经
3、常分类讨论】；【注意】绝对值的非负性 （1）因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即，如，故绝对值最小的数是0。 （2）非负数的重要性：非负数有最小值，是0；若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，即若，则；有限个非负数之和仍是非负数。知识点四：有理数比较大小方法归纳（1）数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 在数轴上表示有理数，从左到右的顺序就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数比较有理数。（2）代数比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数绝对值大的反而小。 例如：-5-6-7
4、（3）商值比较法：设两个正数，若，则；若，则；若，则 此外，还有倒数比较法、中间值比较法、平方比较法、换元比较法等。 （异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值。）同步题型分析（热个身先） 题型一：正数与负数1.如果电梯上升5层记为+5那么电梯下降2层应记为（ ） A.+2B.2C.+5D.5【答案】B 【解析】【解答】解：电梯上升5层记为+5，电梯下降2层应记为：2故答案为：B【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的量，故电梯上升5层记为+5，电梯下降2层应记为：2。2.在下列各数：（+2），32 ， ， ，-（-1）2001 ， -|-3|中，负数的个数
5、是（ ）个 A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】【解答】(+2)=2是负数，32=9，是负数，是正数，是负数，(1)2001=1是正数，|3|=3，是负数，所以,负数有(+2),32, ，|3|共4个.故答案为：C.【分析】将含有多重符号的先化简，将含有乘方运算的根据乘方的意义也化简，再根据负数一定带有负号即可一一判断。3.下列说法正确的是（ ） A.一个数前面加上“”号，这个数就是负数B.零既是正数也是负数C.若a是正数，则a不一定是负数D.零既不是正数也不是负数【答案】D 【解析】【解答】解：A、负数是小于0的数，在负数和0的前面加上“”号，所得的数是非负数，故A不符合题意；B、0
6、既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故B不符合题意；C、若a是正数，则a0，a0，所以a一定是负数，故C不符合题意；D、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点，故D符合题意故答案为：D【分析】负数就是小于0的数，一个数前面加上“”号，也可以表示求这个数的相反数，如在负数和0的前面加上“”号，所得的数是非负数；0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；若a是正数，a表示的是a的相反数，一定是负数，根据性质意义判断即可。4.在知识抢答赛中,如果+10表示加10分,那么扣20分表示_ 【答案】-20分 【解析】【解答】解：+10表示加10分，加与扣是相反的，扣20分，表示为-20分
7、.故答案为：-20分.【分析】用正负数表示具有相反意义的量：加分与扣分是相反的，加分记作“+”，那么扣分记作“-”.5.如果水位升高2m时，水位的变化记为+2m，那么水位下降3m时，水位的变化情况应记为_ 【答案】3m 【解析】【解答】解： 水位升高2m时，水位的变化记为+2m， 水位下降3m，水位的变化记为-3m.故答案是：-3m.【分析】根据正数与负数可以表示具有相反意义的量，即可得出答案。6.将下列各数5； ；2010；-0.02；6.5；0；-2填入相应的括号里正数集合_；负数集合_ 【答案】5；2010；6.5；-0.02；-2 【解析】【解答】解：正数集合5；2010；6.5；负数
8、集合；-0.02；-2【分析】正数大于0，负数小于0，0既不是正数，也不是负数，根据定义即可判断。题型二：有理数及其分类1.下列各数中：+5、-2.5、 、2、 、-（-7）、0、-|+3|负有理数有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B 【解析】【解答】解：+5=5；-（-7）=7；-|+3|=-3；负有理数为：-2.5；-；-|+3|；共3个.2.下面说法正确的有 ( ) A.正整数、负整数统称为整数B.零是整数，但不是正数，也不是负数C.分数包括正分数、负分数和零D.有理数不是正数就是负数【答案】B 【解析】【解答】解：A、由于整数包括正整数、负整数和0，故A说法错误；
9、B、由于有理数分为正数、负数和0，故B选项说法正确，D选项说法错误；C、由于分数包括正分数和负分数，故C不符合题意.3.下列语句正确的个数是（ ）整数和分数统称为有理数；任何有理数都有相反数；任何有理数都有倒数；任何有理数的绝对值都是非负数A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 4.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为5，则第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第2017次输出的结果为( )A.1B.2C.4D.8【答案】A 【解析】【解答】解：开始输入5，是奇数，第一次输出5+3=8；第二次运算：8是偶数， ，输出4；第三运算：4是偶数， ，输出2；第四次运算：2是偶数， ，输
10、出1；第五次运算：1是奇数，1+3=4，输出4；第五次与第二次输出结果相同，从而可知从第二次开始，每三次一个循环，（2017-1）3=673，第2017的输出结果与第四的输出结果相同，都为1.5.下列说法中， 的相反数的绝对值是 ；最大的负数是 ；一个有理数的平方一定是正数； ， ， 的倒数是本身其中正确的是（ ） A.个B.个C.个D.个【答案】A 【解析】【解答】当a为负数时，其相反数的绝对值是-a，故错误；没有最大的负数，故错误；0的平方还是0，0是非正非负的数，故错误；0没有倒数，故错误；以上4个描述均错误，6.在有理数中，有（ ）. A.最大的数B.最小的数C.绝对值最大的数D.绝对
11、值最小的数【答案】D 【解析】【解答】根据有理数包括正数、0、负数，可知没有最大的，也没有最小的，而一个数的绝对值为非负数，因此有绝对值最小的数，是0.7.下列说法正确的是（ ） A.a一定是负数B.一定是正数C.一定不是负数D. 一定是负数【答案】C 【解析】【解答】当a0时，-a0，|a|0，-|a|0；当a=0时，-a=0，|a|=0，-|a|=0；当a0时，-a0，|a|0，-|a|0综上所述：-a可以是正数、0、负数；|a|可以是正数、0；-|a|可以是负数、0课堂达标检测（你都掌握了没有呢） 1.有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九
12、个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是_，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_种【答案】2；6 【解析】【解答】根据题意知，x0）秒。（1）写出数轴上点B表示的数 _，点P表示的数_（用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ （3）若M为AP的中点，N为PB的中点点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； （4）若点D是数轴上一点，
13、点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由 【答案】（1）-6；8-5t（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）则AC=5x，BC=3x，AC-BC=AB5x-3x=14解得：x=7，点P运动7秒时，在点C处追上点Q（3）解：没有变化分两种情况：当点P在点A、B两点之间运动时：MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7当点P运动到点B的左侧时：MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小
14、值为14 C专题数轴相反数绝对值知识典例（ 画竹必先成竹于胸！） 题型一：数轴1.下面所画数轴正确的是（ ） A.B.C.D.【答案】B 【解析】【解答】解: A.没有单位长度,不符合题意;B.符合题意;C.没有原点,不符合题意;D.没有正方向,不符合题意.2.数轴上一点 表示的有理数为 ，若将 点向右平移 个单位长度后， 点表示的有理数应为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】【解答】2+3=1故A点表示的有理数应为13.如图，数轴上点A、B、C分别表示有理数a 、b、c ， 若a 、b、c三个数的乘积为正数，这三个数的和与其中一个数相等，则b_0. 【答案】 【解析】【解答】解：a
15、、b、c三个数的乘积为正数，a,b,c三个数都是正数或其中两个是负数，又这三个数的和与其中一个数相等，这三个数只能是一个正数，两个为负数，abc,只能a,b是负数，c是正数，即a0,b0,c0.4.点A，B在数轴上，以AB为边作正方形，该正方形的面积是49若点A对应的数是2，则点B对应的数是_【答案】5 【解析】【解答】解：正方形的面积为49,正方形的边长AB=7点A对应的数是2点B对应的数是：-2+7=55.如图，在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为_【答案】-6 【解析】【解答】解：点A表示的数为1，点B表示的数为4，AB=|-1-4|=
16、5,C是点B关于点A的对称点，AC=AB=5点A表示的数为1点C表示的数为：-5+（-1）=-66.在数轴上，点A，B，C表示的数分别是6，10，12点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动 （1）运动前线段AB的长度为_； （2）当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？ （3）试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB= ？若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由 【答案】（1）16（2）设当运动时间为x秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有6+3t=11+t，解得t= 故当运动时间为 秒长时，点A和线段BC的中点重合（3
17、）存在，理由如下：设运动时间为y秒，当点A在点B的左侧时，依题意有(10+y)(3y6)=2，解得y=7，6+37=15；当点A在线段BC上时，依题意有（3y-6）-（10+y）= 解得y= 综上所述，符合条件的点A表示的数为15或19 7.在数轴上表示下列数（ 要准确画出来），并用“”把这些数连接起来(4)，|3.5|， ，0，(2.5)，1 【答案】解：如图，|3.5|0 1 (2.5) (4) 题型二：有理数的大小比较1.有理数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）A.-aa1B.a-a1C.1-aaD.a1-3.6【答案】D 【解析】【解答】解：A、正数大于负
18、数，故A错误不符合题意；B、，B错误不符合题意；C、正数大于负数，C错误不符合题意；D、-3.5-（-3.6）=-3.5+3.6=0.10，-3.5-3.63.已知a、b是有理数，满足a0b，ab0，则把a、a、b、b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A.baabB.baabC.ababD.abba【答案】B 【解析】【解答】ab0，a-b，b-a，a0b，-aa，-ba-ab4.观察图中的数轴，用字母a，b，c 依次表示点A，B，C对应的数，则 ， ， 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【解答】解：，c1，5.若a、b、c、d四个数满足 ，则a、b、c、d四
19、个数的大小关系为（ ） A.acbdB.bdacC.dbacD.cabd【答案】D 【解析】【解答】解：令 四个分式的分母为1，则有a=2001，b=2000，c=2003，d=2002，则cabd6.在数轴上表示-3，4的两个点之间的距离是_个单位长度，这两个数之间的有理数有_个；这两个数之间的整数有_个. 【答案】7；无数；6 【解析】【解答】解：-3与4的距离为 ；-3与4之间的有理数有无数个；在-3与4之间的整数有：-2，-1,0，1,2,3，共有6个.故答案为：7；无数；6.7.若 0a”连接） 【答案】【解析】【解答】解： 0a11，a-aa，0a-a8.已知a,b的和，a,b的积
20、及b的相反数均为负，则a,b,-a,a+b,b-a的大小关系是_（用“”把它们连接起来） 【答案】aa+bb-ab-a 【解析】【解答】解：ab0，a,b异号，b的相反数为负数，b为正数，a为负数，a+b0，a+b0，c+b0， a-c+(-a-b)+(c+b)=a-c-a-b+c+b=07.绝对值小于10的所有整数的和为 _，积为 _. 【答案】0；0 【解析】【解答】解：绝对值小于10的所有整数为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，和=-9-8-7-6-5-4-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=0，积=-9（-8
21、）（-7）（-6）（-5）（-4）（-3）（-2）（-1）0123456789=0，8.如果m是最大的负整数，n是绝对值最小的有理数，那么代数式2017m+2018n的值为_ 【答案】【解析】【解答】最大的负整数是 绝对值最小的有理数是0，故答案为： 9.同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索： （1）|4+6|=_；|24|=_； （2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立； （3）若数轴上表示数
22、a的点位于4与6之间，求|a+4|+|a6|的值； （4）当a=_时，|a1|+|a+5|+|a4|的值最小，最小值是_； （5）当a=_时，|a1|+|a+2|+|a3|+|a+4|+|a5|+|a+2n|+|a(2n+1)|的值最小，最小值是_. 【答案】（1）2；6（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2x1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.（3）解：数轴上表示数a的点位于4与6之间，a+40，a60，|a+4|+|a6|=a+4-a+6=10;（4）1；9（5）1；4n+1 【解析】【解答
23、】（1）|4+6|=|2|=2，|24|=|-6|=6；（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a1|+|a+5|+|a4|的值最小，当a=1的时候，|a1|+|a+5|+|a4|=|11|+|1+5|+|14|=9；(5)此题可以理解为数轴上一点到1，-2,3，-4-2n,(2n+1)的距离和最小，根据两点之间线段最短，故当a=1的时候，|a1|+|a+2|+|a3|+|a+4|+|a5|+|a+2n|+|a(2n+1)|的值最小，最小值是2n+2n+1=4n+1.10. 对于任意有理数a， （1）求|a+1|+5的最小值； （2）求4-|a|的最大值 【答案】（1）解：|a+1|0，|a+1|+55，|a+1|+5的最小值为5.（2）解：|a|0，-|a|0，4-|a|4，4-|a|的最大值为4. 11.如果1x2，求代数式 的值 【答案】解：1x2，|x-2|0，|x-1|0，|x|0，原式=-+，=-1+1+1，