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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流勾股定理典型练习题【精品文档】第 11 页勾股定理典型例题分析一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的
2、平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆2. 如图，以RtABC
3、的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S31），那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n21 D、7、在RtABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. C. D.以上都有可能8、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24B、36 C、48D、609、已知x、y为正数，且x2-4+（y2-3）2=0，如果以x、
4、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5B、25 C、7D、15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，是底边上的高，若，求 AD的长；ABC的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，172、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（） A、234 B、346 C、51213 D、4673、下面的三角形中：ABC中，C=AB；AB
5、C中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若ABC的三边长a,b
6、,c满足试判断ABC的形状。8、ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。例3：求（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2）已知三角形三边的比为1：2，则其最小角为 。考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）ABC、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 2、一架长2.5的梯子，
7、斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？60120140B60AC第5题图75、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距
8、离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？ 图18-15考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）A. B. C. D. 2、如图所示，已知ABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N
9、，若AC=4，MB=2MC，求AB的长3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。ABCEFD4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若ABF的面积为30，求折叠的AED的面积5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9，宽AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长7、如图2所示，将长方形A
10、BCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面积为_9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）A3.74 B3.75 C3.76 D3.772-511、如图1-3-11，
11、有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线
12、段EF的长。 13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中2、 最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为 2、已知ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边A
13、D为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积 2、如图2，已知，在ABC中，A = 45，AC = ，AB = +1，则边BC的长为 3、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5,宽为1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由4、将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，则h的取值范围 。5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知A
14、D=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD的表面上，求从顶点A到顶点C的最短距离2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形
15、的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线 考点十二、航海问题1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距_海里2、如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向
16、260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D32、如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形AB
17、CD的面积是 ( )A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （图1） （图2） （图3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）课后练习一、填空题（每题3分，共24分）1三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定2若ABC的三边a、b、c满足a2b2c2十33810a24b26c，则ABC的面积是（）A.338B.
18、24C.26D.303若等腰ABC的腰长AB2，顶角BAC120，以 BC为边的正方形面积为（） A.3 B.12 C. D.4ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为（）A.42 B.32 C.42 或32 D.37 或 33 5直角三角形三条边的比是345.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）A.15128 B. 152012 C. 121520 D.2015126在ABC中，C90，BC3，AC4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（）A.B. C. D.257如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在
19、斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm图1D16cm18cm图2BA8如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（取3）（）A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm二、填空题（每小题3分，共24分）9在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是10某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）北南A东第12题图 A、450a元B
20、、225a 元C、150a元 D、300a元ABEFDC第11题图15020m30m第10题图11已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm212已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里13.一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为.14在ABC中，C90，
21、BC60cm，CA80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CAABBC的路径再回到C点，需要分的时间15如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是16在ABC中，B90，两直角边AB7，BC24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是17.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋18.已知：在ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24
22、b+26c.试判断ABC的形状.19.如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？20.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.变式：如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.21如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC第21题图22.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的边长.23.如图，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，E、F是BC上的点，且EAF=45试探究间的关系，并说明理由.