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1、精品资料一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案).一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb(a0)的形式.当a0时，解集为 ；当a0时，解集为 .2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为_不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的_.(3)一元二次不等式的解：函数与不等式000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2
2、)有两相等实根x1x2无实根ax2bxc0(a0)的解集Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx23.分式不等式解法(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f(x)g(x)0； 0 f(x)g(x)0；0 0 ()已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB()A.2，1 B.1，2)C.1，1 D.1，2)解：Ax|x3或x1，Bx|2x2，ABx|2x12，1.故选A. 设f(x)x2bx1且f(1)f(3)，则f(x)0的解集为()A.x|xR B.x|x1，xRC.x|x1 D.x|x1解：f(1)1
3、b12b，f(3)93b1103b，由f(1)f(3)，得2b103b，解出b2，代入原函数，f(x)0即x22x10，x的取值范围是x1.故选B. 已知2，则x的取值范围是()A.2x0或0x B.x2C.x2 D.x解：当x0时，x；当x0时，x2.所以x的取值范围是x，故选D. 不等式0的解集是 .解：不等式0等价于(12x)(x1)0，也就是(x1)0，所以1x.故填. ()若一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_.解：显然k0.若k0，则只须(2x2x)max，解得k；若k0，则只须(2x2x)min，解得k(3，0).故k的取值范围是(3，0).故填(3
4、，0).类型一一元一次不等式的解法已知关于x的不等式(ab)x2a3b0的解集为，求关于x的不等式(a3b)xb2a0的解集.解：由(ab)x3b2a的解集为，得ab0，且，从而a2b，则ab3b0，即b0，将a2b代入(a3b)xb2a0，得bx3b0，x3，故所求解集为(，3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为axb(a0)的形式.挖掘隐含条件ab0且是解本题的关键.解关于x的不等式：(m24)xm2.解：(1)当m240即m2或m2时，当m2时，原不等式的解集为，不符合当m2时，原不等式的解集为R,符合(2)当m240即m2或m2时，x.(3)当m240即2m2时，x.类型二一元二
5、次不等式的解法解下列不等式：(1)x27x120; (2)x22x30；(3)x22x10; (4)x22x20.解：(1)x|x3或x4.(2)x|3x1.(3).(4)因为0，可得原不等式的解集为R.()已知函数f(x) 则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()A.x|1x1 B.x|x1C.x|x1 D.x|1x1解：由题意得不等式x(x1)f(x1)1等价于 或 解不等式组得x1；解不等式组得1x1.故原不等式的解集是x|x1.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2bxc0的解集是x|5x1，求实数b，c的值.解：不等式x2bxc0的解集是x|5x1
6、，x15，x21是x2bxc0的两个实数根，由韦达定理知已知不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集.解：不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，a0，且2和3是方程ax2bxc0的两根，由根与系数的关系得即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0).即6x25x10，所求不等式的解集为.类型四含有参数的一元二次不等式解关于x的不等式：mx2(m1)x10.解：(1)m0时，不等式为(x1)0，得x10，不等式的解集为x|x1；(2)当m0时，不等式为m(x1)0.当m0，不等式为(x1)0，1，不等式的解集为.当m0，不等式为(x1)0.()若1即m1
7、时，不等式的解集为；()若1即0m1时，不等式的解集为；()若1即m1时，不等式的解集为.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m0与m0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m0与m0进行讨论；第三层次：与1大小的不确定性，对m1、m1与m1进行讨论.解关于x的不等式ax222xax(aR).解：不等式整理为ax2(a2)x20，当a0时，解集为(，1.当a0时，ax2(a2)x20的两根为1，所以当a0时，解集为(，1；当2a0时，解集为；当a2时，解集为x|x1；当a2时，解集为.类型五分式不等式
8、的解法(1)解不等式1.解：1 10 0 0.0 得xx或x2.(2)不等式0的解集是 .解：00(x2)(x2)(x1)0，数轴标根得x|2x1或x2，故填x|2x1或x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零.用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为0(注意：一定要保证x的最高次幂的项的系数为正数).(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根.(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左
9、下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根,“奇穿偶不穿”来记忆.(5)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“”号，写解集时要考虑分母不能为零.(1)若集合Ax|12x13，B，则AB()A.x|1x0 B.x|0x1C.x|0x2 D.x|0x1解：易知Ax|1x1，B集合就是不等式组 的解集，求出B，所以ABx|0x1.故选B.(2)不等式0的解集为()A. B.C.1，) D.1，)解：0得x 1.故选A.类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题(1)若不等式x2ax10对于一切
10、x成立，则a的最小值为()A.0 B.2 C. D.3解：不等式可化为axx21，由于x，a.f(x)在上是减函数，.a.(2)已知对于任意的a1，1，函数f(x)x2(a4)x42a的值总大于0，则x的取值范围是()A.1x3 B.x1或x3C.1x2 D.x1或x2解：记g(a)(x2)ax24x4，a1，1，依题意，只须x1或x3，故选B.点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于x的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围.对于满足|a|2的所有实数a，求使不等式x2ax12xa成立的x的取
11、值范围.解：原不等式转化为(x1)ax22x10，设f(a)(x1)ax22x1，则f(a)在2，2上恒大于0，故有： 即 解得x1或x3.类型七二次方程根的讨论若方程2ax2x10在(0，1)内有且仅有一解，则a的取值范围是()A.a1C.1a1 D.0a1解法一：令f(x)2ax2x1，则f(0)f(1)0，即1(2a2)0，解得a1.解法二：当a0时，x1，不合题意，故排除C，D；当a2时，方程可化为4x2x10，而1160，无实根，故a2不适合，排除A.故选B.1.不等式0的解集是()A.(，1)(1，2 B.1，2C.(，1)2，) D.(1，2解：00，且x1，即x(1，2，故选D
12、.2.关于x的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是()A.m0 B.0m2C.m D.m0解：由不等式的解集形式知m0.故选D.3.()已知一元二次不等式f(x)0的解集为()A.x|xlg2 B.x|1xlg2 D.x|xlg2解：可设f(x)a(x1)(a0可得(10x1)0，从而10x，解得x0在(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A.a4C.a12 D.a0对x(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是_.解：x(1，2)，x10.则x2kxk1(x1)(x1k)0，等价于x1k0，即kx1恒成立，由于2x13，所以只要k2即可.故填(，2.7.()已知函
13、数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是_.解：由题可得f(x)0对于xm，m1恒成立，即 解得m0.故填.8.若关于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求实数a的取值范围.解：x2axa3的解集不是空集x2axa30的判别式0，解得a6或a2.9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)2x的解集为(1，3).(1)若方程f(x)6a0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.解：(1)f(x)2x0的解集为(1，3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0.因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0得ax2(24a)x9a0.因为方程有两个相等的实根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，将a代入得f(x)的解析式f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa，及a0，可得f(x)的最大值为.由解得a2或2a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(，2)(2，0).10.解关于x的不等式：1(a0).解：(x2)(a1)x2a0，当a1时有(x2)0，若2，即0a1时，解集为x|2x；若2，即a0时，解集为；若2，即a0时，解集为x|x2.