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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流反对称矩阵 5【精品文档】第 21 页编号 2010011316 毕 业 论 文(设 计)( 2013 届本科) 论文题目: 反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的关系学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 班 级: 2010级本科3班 作者姓名: 牟新伟 指导教师: 杨明霞 职称: 讲师 完成日期: 2014 年 4 月 8 日 反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的关系 牟新伟 (陇东学院数学与统计学院 甘肃庆阳 745000)摘要：高等代数是数学与应用数学，信息与计算科学本科专业最重要的基础课程之一，是数学各专业报考研究生的必考课程之一，也是学习后
2、继课程如近世代数、离散数学、数论等的基础。而矩阵在理论领域中处于核心地位，在应用领域中固然也有着很重要的作用，其应用是非常广泛的，我们在日常生活中无意识的应用着矩阵，像旅程时间表、学校用的课表，以及其他与行列有关的图表；在科技飞速发达的今天，矩阵在其他学科中也有着重要的作用，如物理学、生态学、社会学、计算机编程等，在经济领域和交通部门都有着重要的用途；本文首先给出三种矩阵的定义和一些性质及相应的理论证明，此项研究的结论是在满足某些条件的情况下来研究讨论三种矩阵或任意两种矩阵之间的关系。关键词：反对称矩阵；正交矩阵；对角形矩阵；矩阵对角化。一 引言 在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高
3、等数学的很多分支研究问题的工具。反对称矩阵、正交矩阵和对角矩阵都是重要的实方阵，由于它们的一些特殊的性质，使得它们在不同的领域都有着广泛的作用，同时也推动了其他学科的发展。二：反对称矩阵、正交矩阵、对角矩阵的定义及性质2.1.反对称矩阵的定义及性质定义2.1：设A是一个n阶方阵，如果AT=-A,则称A为反对称矩阵。性质：2.2反对称矩阵的转置矩阵是反对称矩阵。 2.3反对称矩阵的积、差、数乘都是反对称矩阵。 2.4若反对称矩阵A可逆，则A-1也反对称。 2.5若奇数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*对称；若偶数阶反对称矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*反对称。证明：设A为n阶可逆的反对称矩阵(
4、n2)，则(A*)T=(AT)*=(-A)*=(-1)n-1A*，若n为奇数，则(A*)T=A*，若n为偶数，则(A*)T=-A*。 2.6若矩阵A反对称，则它的合同矩阵也反对称1。证明：设矩阵A反对称，B与A合同，则存在可逆矩阵P，使B=PTAP，故BT=(PTAP)T=PTATP=PT(-A)P=-PTAP=-B。 2.7若A、B为对称矩阵，则AB+BA为对称矩阵；AB-BA为反对称矩阵。 2.8设，若A*为反对称矩阵，则A-1为反对称矩阵；AT为反对称矩阵。证明：设，则A-1=，若A*为反对称矩阵，则(A-1)T=()T=-=-A-1。 设，则A*可逆，由AA*=A*A=E,则A=(A*
5、)-1，则A=(A*)-1T=(A*)T-1=(-A*)-1=-A。 2.9设A为反对称实矩阵，则属于不互为相反特征值的特征向量必正交2。证明：设1、2是反对称实矩阵的两个不互为相反数的特征值，、是分别属于1、2的特征向量，因此，A=1，A2=22,在A1=11两端分别取其转置，得1TAT=-1TA=11T，在-1TA=11T两端分别右乘2，得-1TA2=11T2=-21T2，因此(1+2)1T2=0，又1+20，故1T2=0。 2.10奇数阶反对称矩阵的行列式为0.证明：设A为n阶反对称矩阵(n为奇数)，则AT=-A，所以，又，所以，所以。 2.11设B为n阶实矩阵，则B为反对称矩阵的充要条
6、件为对任意n维列向量X，均有XTBX=0。证明：必要性：因为B为反对称矩阵，所以XTBX=XT(-BT)X=-(XTBX)T=-XTBX,所以XTBX=0。 充分性：令B=，取X=,其中表示第i个分量是1，其余分量为0的n元列向量，则=，所以，从而B为反对称矩阵。 2.12设A是n阶反对称矩阵，且A中有一个r阶主子式，但所有含Mr的r+1阶与r+2阶主子式均为0，则r(A)=r3。证明：不妨设Mr位于A的左上角，记Mr加A中第i行与第j列元素所成的加边行列式为，其中，考虑以下r+2阶主子矩阵，其中，因为是含Mr的一个r+2阶主子式，所以，所以，从而C*的二阶子式，即，又和是含Mr的r+1阶主子
7、式，从而，所以，又反对称矩阵的任意主子式矩阵仍为反对称矩阵且Mr0，所以r为偶数，从而C为偶数阶反对称矩阵，由性质4）知C*为反对称矩阵，所以，因而有所以r(A)=R。 2.13设A为n阶实可逆矩阵，b为n元实列向量，则秩。证明：是n+1阶反对称矩阵，因为n+1为奇数，所以，又因为，又因为，所以。例：证明：欧式空间的线性变换T为反对称变换，即，的充要条件是T在的标准正交基下的矩阵为反对称矩阵。 证：设的一个标准正交基为，线性变换T在该基下的矩阵为，即T()=()A，则有必要性：设T是反对称变换，则有，即，故充分性：设，则对任意的有,因为是标准正交基，所以=，故T是反对称变换。2.2正交矩阵的定
8、义及性质 定义2.14：设A是实n阶矩阵，AT是A的转置，若ATA=AAT=E，则称A是正交矩阵，其中E是单位矩阵。注：有时也可定义为满足条件A-1=AT的是正交矩阵。 性质2.15：1）设A为正交矩阵，对A的任一行（列）乘以-1或任两行（列）互换，所得矩阵仍为正交矩阵。证明：设A=（.），其中.是A的单位正交向量组，显然以及也都是A的单位正交向量组，所以由定义知结论成立。补充此处定义：若n阶实矩阵A的n个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称A为正交矩阵。 2）设A为正交矩阵，则且A可逆，其逆也是正交矩阵。例1：已知,求。解：因为AAT=I,所以A是正交矩阵，A-1=AT,所以。且。 3）设
9、A为正交矩阵，则AT、A*也是正交矩阵。 4）设A、B为正交矩阵，则AB为正交矩阵。 5）若A为正交矩阵，为A的特征值，则为AT的特征值4。证明：因为A为正交矩阵，所以ATA=E，设为A的一个特征值，为对应的特征向量，则有A=,两边同时乘以AT，有ATA=AT,也即=AT,即AT=，由此知是AT的特征值。注：因为，所以AT的特征方程与A的特征方程相同，也即A与AT有相同的特征值，因此与总是成对出现。下面介绍一定理：对称正交矩阵A=nn的行列式，其中，为A的特征值。证明：由前面性质得对称正交矩阵的特征值只有1或-1，设A的n个特征值中有k个-1，则剩下的就是n-k个1，则有,所以，又，这就是所谓
10、的迹定理，是计算对称正交矩阵的简单易行的方法。例2：判断下列矩阵是否为正交矩阵。(1) 其中是实数；(2);解：(1)因为，所以A是正交矩阵。(2) 因为,所以B是正交矩阵。例3：求正交矩阵A，以为其首行。解:先求正交于的非零向量=，则有或x+2y+2z=0，显然=是其中一个解，把单位化，即得A的第二个行向量。再求同时正交于与的非零向量=，则有,即，令z=-1，求得=，再单位化得A的第三个行向量从而得2.3对角矩阵 定义2.16：如果数域F上对n阶矩阵A存在一个可逆矩阵P使得P-1AP为对角形矩阵，则称矩阵A在数域F上可对角化，当A可对角化时，我们说将A对角化，即指求可逆矩阵P使P-1AP为对
11、角形矩阵。1. 下面介绍几个矩阵可对角化的充要条件：1） A可对角化当且仅当A有n个线性无关的特征向量。2） A可对角化当且仅当A的特征子空间的维数之和为n5。3） A可对角化当且仅当A的初等因子是一次的。4） A可对角化当且仅当A的最小多项式无重根。另外还有一些矩阵对角化的充分条件：1） 如果A有n个不同的特征根，则A可对角化。2） 如果A为实对称矩阵，则A可对角化。三几种特殊矩阵的对角化的方法 3.1 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵一定可对角化，可以按照合同关系利用二次型的配方法，按照相似关系利用特征值、特征向量将其对角化。一般给出的方法简述为：求特征值，求对应的特征向量，将特征向量标准正
12、交化，写出T及T-1AT=。 3.2 对合矩阵一定可对角化6 设A为对合矩阵，则A2=E,设为A的特征值，为属于的特征向量，又，得，由，对特征值1，齐次线性方程组(E-A)X=0有n-r(E-A)=r(E+A)个特征向量，对特征值-1，齐次线性方程组(-E-A)X=0有n-r(E+A)=r(E-A)个特征向量，又因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以A有r(E+A)+r(E-A)=n个无关的特征向量，从而A可对角化。 3.3 幂等矩阵一定可对角化设A为幂等矩阵，则A2=A。幂等矩阵对角化的讨论与对合矩阵对角化的讨论类似，但幂等矩阵的特征值只有1和0，同样可以对角化。3.4 非零的幂等矩阵一
13、定不可对角化设A为非零的幂等矩阵，则Am=0且,易知A的特征值全为0，若A可对角化，则存在可逆矩阵T使T-1AT=0,所以A=T0T-1=0与矛盾，所以幂等矩阵若可对角化则一定是零矩阵。例1：判定可否对角化，若可，则将其对角化。解法一：(一般教材中方法)由，知A的特征值为4,6，-1，-1。解齐次线性方程组(4E-A)X=0得一基础解系，解齐次线性方程组(6E-A)X=0得一基础解系，解齐次线性方程组(-E-A)X=0得一基础解系于是可知A可对角化，且取,则。解法二：由知A可对角化，且取,则例2：判定矩阵可否对角化，若可以求可逆矩阵T使T-1AT为对角矩阵。解法一：因为，所以特征值为-4和2(
14、二重)。解齐次线性方程组(-4E-A)X=0,得一基础解系为,解齐次线性方程组(2E-A)X=0,得一基础解系为，特征值2的代数重数等于其几何重数，所以A可对角化，取,则。解法二：因为,故A的特征值是-4和2(二重)。由得是A属于-4的特征向量。由得是A属于2的特征向量。于是取,则 。 解法三：由上知-4和2是A的全部不同的特征值，容易验证(A+4E)(A-2E)=0，所以A可对角化，由定理可知2是二重根，A的属于2的特征向量是矩阵A+4E列向量组的前2列；A的属于-4的特征向量是矩阵A-2E列向量组的前1列，由此可得出可逆矩阵为：例3：设,求。解：由=得A的特征值对于特征值解方程组(A-I)
15、x=0,由,得，即对应的特征向量,对于特征值，解方程组(A+2I)x=0,由，得，即，对应的特征向量。令,。四 反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的关系首先了解一下矩阵之间的关系：一、 等价：A可通过初等矩阵化为B,即存在可逆矩阵P,Q，使PAQ=B；二、相似：A,B为n阶方阵，存在可逆矩阵P使得P-1AP=B；三、合同：A,B为n阶方阵，存在可逆矩阵P使得PTAP=B。正交矩阵能够使实对称矩阵和对角矩阵相似又合同。通过对以上三种矩阵的定义、性质的讨论，可以知道每一种矩阵所必须具备的条件，但是这三种矩阵彼此间也存在着密切的联系。 定理4.1 设A、B都是正交矩阵，ATB+E是反对称矩阵，则A+B是
16、正交矩阵，且此时(A+B)-1=A-1+B-1。证明：由于(A+B)T(A+B)=E+(ATB+BTA+E)=E+(ATB+E)+(BTA+E)，又 ATB+E为反对称矩阵，则(A+B)T(A+B)=E，即A+B是正交矩阵，从而(A+B)-1=(A+B)T=AT+BT=A-1+B-1。 定理4.2 设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，A、B可交换，A-B可逆，则(A+B)(A-B)-1及(A+B)-1(A-B) 均为正交矩阵7。证明：因为AB=BA，所以(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)，又(A-B)T=A+B，A-B可逆 ，所以A+B也可逆。因为= 所以为正交矩阵。同理可证也为正交矩阵。
17、定理4.3 设A为反对称矩阵，则及都是正交矩阵，且不以-1为其特征值。证明：因为实反对称矩阵的特征值只能为0或纯虚数，所以1不是A的特征值，所以,故可逆。由2）得及都是正交矩阵。记,则由E+B=+=知E+B可逆，而，即-1不是的特征值，同理可证-1不是的特征值。定理4.4 A是n阶实对称矩阵，如果T是实可逆矩阵，使T-1AT是对角形矩阵，则存在可逆矩阵R，使U=TR是正交矩阵，而且UTAU是对角形矩阵8。证明：不妨设A有两个不同的特征根和，它们的重数分别是r和s，r+s=n，则T-1AT=或AT=T，把T分块，令T=，则AB=B，AC=C，即B和C的任意列向量分别是A的属于特征根和的特征向量，
18、因为，所以BTC=0，CTB=0，由下面引理存在可逆矩阵P和Q使PTBTBP=Ir,QTCTCQ=Is,令，则RTTTTR=I，所以U=TR是正交矩阵，而UTAU=U-1AU=R-1T-1ATR=。注：引理4.5 设A是实矩阵，若秩A=r，则存在可逆矩阵P使PTATAP=I(单位矩阵)。证明：因为秩A=r，所以存在矩阵B使G=是n阶实可逆矩阵，从而GTG是正定矩阵，但GTG=，所以ATA是正定矩阵，ATA与I合同。例：设，则，通过解相应的齐次线性方程组求得使得,此时,于是=,最后一个矩阵的后4行作成正交矩阵U，使得。定理4.6任意n阶实对称矩阵A，都有n阶正交矩阵Q使得Q-1AQ=QTAQ为对
19、角形矩阵9。为给出证明先给出下面两个引理。引理4.7 实对称矩阵的特征值为实数。引理4.8 若任意n阶矩阵的特征值为实数，则有正交矩阵Q使得Q-1AQ=QTAQ为上三角矩阵10。证明：对n用数学归纳法。当n=1时，结论显然成立。设对n-1阶的矩阵结论成立，今证对n阶矩阵结论成立，令为A的一个实特征值，相应的特征向量为，且不妨设已单位化，把扩充为的标准正交基，作矩阵X=，P=，则P为正交矩阵，且有，于是，设，其中A1为n-1阶方程，从而，由归纳假设对于A1有n-1阶正交矩阵T，使得T-1A1T=TTA1T=At为上三角矩阵，今取，易知Q为正交矩阵，且有为上三角矩阵。此时给出5)的证明：因为A是实
20、对称矩阵，则有引理1知A的特征值均为实数，有引理2知存在正交矩阵Q使得为上三角矩阵，而A=AT,则有B=BT,但B又是上三角矩阵，即知BT为下三角矩阵，所以B必为对角形矩阵。结束语：本文从基础理论和实例分析方面讨论了反对称矩阵、正交矩阵与对角矩阵的一些基本性质和关系，并给出矩阵之间的三种关系；同时阐述了一些特殊矩阵可对角化的方法及步骤。在此还要感谢整个论文完成过程中指导教师杨明霞老师对我的支持和帮助，这才完成毕业论文。 参考文献1.张禾瑞，郝炳新.高等代数M.北京；高等教育出版社，19882.北京大学数学系.高等代数M.北京；高等教育出版社，19883.同济大学数学教研室，线性代数(第二版)M
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