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1、精品资料25.物体的动态平衡问题解题技巧.物体的动态平衡问题解题技巧湖北省恩施高中 陈恩谱一、总论1、动态平衡问题的产生三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，但物体仍然平衡，典型关键词缓慢转动、缓慢移动2、动态平衡问题的解法解析法、图解法解析法画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然后由角度变化分析判断力的变化规律；图解法画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。3、动态平衡问题的分类动态三角形、相似三角形、圆与三角形（
2、2类）、其他特殊类型二、例析1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定动态三角形【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1，球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中AFN1始终减小，FN2始终增大BFN1始终减小，FN2始终减小CFN1先增大后减小，FN2始终减小DFN1先增大后减小，FN2先减小后增大FN1FN2mg解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出FN1、FN2随夹角变化的函数，然后由函数讨论；【解析】小球受力如图，
3、由平衡条件，有联立，解得：，木板在顺时针放平过程中，角一直在增大，可知FN1、FN2都一直在减小。选B。解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”，不变的是小球重力和FN1的方向，然后按FN2方向变化规律转动FN2，即可看出结果。FN2mgFN1【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，FN1的方向始终水平向右，而FN2的方向逐渐变得竖直。则由右图可知FN1、FN2都一直在减小。【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为(01)。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方
4、向与水平地面的夹角为，如图所示，在从0逐渐增大到90的过程中，木箱的速度保持不变，则AF先减小后增大 BF一直增大CF一直减小 DF先增大后减小解法一：解析法画受力分析图，正交分解列方程，解出F随夹角变化的函数，然后由函数讨论；FNFmgFf【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有其中联立，解得：由数学知识可知，其中FNFmgFfF合当时，F最小，则从0逐渐增大到90的过程中，F先减小后增大。选A。解法二：图解法可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方向是确定的，然后按“动态三角形法”的思路分析。FF合mg【解析】小球受力如图，将支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合，由可知，。由平衡条件
5、可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F合的方向始终与竖直方向成角。则由右图可知，当从0逐渐增大到90的过程中，F先减小后增大。2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三角形的三边平行相似三角形【例2】半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳对小球的拉力的大小变化的情况是A、变大，变小B、变小，变大C、变小，先变小后变大D
6、、不变，变小解法一：解析法（略）FNmgFfOO解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。FNmgFf【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形相似。则有。其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，不变，变小。3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定圆与三角形【例
7、3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置O，这时两绳套AO，BO的夹角小于90，现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使角变小，那么要使结点仍在位置O，就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及角，则下列调整方法中可行的是BAO A、增大B的拉力，增大角 B、增大B的拉力，角不变 C、增大B的拉力，减小角 D、B的拉力大小不变，增大角解法一：解析法（略）FFBFA解法二：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”保持长度不变FA将FA绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，FB的一个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。FFBFA【
8、解析】如右图，由于两绳套AO、BO的夹角小于90，在力的三角形中，FA、FB的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、FB的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。由图可知，这个过程中FB一直增大，但角先减小，再增大。故选ABC。4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持不变圆与三角形（正弦定理）【例4】如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角=120不变，若把整个装置顺时针缓慢转过90，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1，CB绳的拉力FT2的大小变化情况是 A、FT1先变小后变大 B、FT1先变大后变小 C、FT2一直变小 D、FT2最终变为零解法一：
9、解析法1让整个装置顺时针转过一个角度，画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出FT1、FT2随变化的关系式，然后根据的变化求解。FT2mgFT1【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设AC绳与竖直方向夹角为，则由平衡条件，有联立，解得，从90逐渐减小为0，则由上式可知：FT1先变大后变小，FT2一直变小。mgFT1FT2FT2mgFT1解法二：解析法2画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1、FT2的夹角(180)保持不变，设另外两个夹角分别为、，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据、的变化规律得到FT1、FT2的变化规律。【解析】如
10、图，由正弦定理有整个装置顺时针缓慢转动90过程的中角和mg保持不变，角从30增大，角从90减小，易知FT1先变大后变小，FT2一直变小。mgFT1FT2解法三：图解法画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角(180)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按FT1、FT2的方向变化规律滑动，即可看出结果。【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的FT2为直径的圆周，易知FT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2一直变小。答案为：BCDACMNBG5、其他类
11、型【例5】如图所示用钢筋弯成的支架，水平虚线MN的上端是半圆形，MN的下端笔直竖立一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物G现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从C点处沿支架缓慢地向最高点B靠近（C点与A点等高），则绳中拉力A先变大后不变B先不变后变大C先不变后变小D保持不变解法一：解析法分两个阶段画受力分析图，绳端在CN段、NB段，在CN段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同，但这个夹角逐渐增大，由方程易看出结果。（解析略）FT=GF1F2FT=GF1F2解法二：图解法画滑轮受力分析图，构
12、建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是一个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的变化规律。【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个等腰三角形。由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选C。三、练习1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力FN的变化情况是（ ）AF增大，FN减小BF增大，FN增大CF减小，FN减小DF减小，FN增大mgF
13、NFNmgFF【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形，其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而FN的方向逐渐变得水平。则由上图可知F、FN都一直在增大。 故B正确2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（ ）ABC绳中的拉力FT越来越大BBC绳中的拉力FT越来越小CAC杆中的支撑力FN越来越大DAC杆中的支撑力FN越来越小FT1=GFNFTFT1=G【解析】C点受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首
14、尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现，这三个力与的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形相似。则有。其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，不变，变小。B正确3、质量为M、倾角为的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）FmgsinFfA小木块受到斜面的最大摩擦力为B小木块受到斜面的最大摩擦力为F-mgsinC斜面体受到地面的最大摩擦力为FD斜面体受到地面的最大摩擦力为FcosmgsinFf【解析
15、】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的分量mgsin始终不变，其与F和Ff构成一个封闭的三角形，当F方向变化时可知当F与mgsin方向相反时Ff最大，其值为F+mgsin。对于C，D选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力F水平向左时摩擦力最大值为F。故C正确。4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球，O为圆心对圆弧面的压力最小的是mgFN1FN2mgFN1FN2Aa球 Bb球 Cc球 Dd球【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同，FN1方向始终指向圆心，FN2方向始终垂直于FN1，这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，从a位置到d位
16、置FN1与竖直方向夹角在变小，做出里的动态三角形，易得a球对圆弧面的压力最小。A正确。5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（ ）AF不变，F1变小 BF不变，F1变大 CF变小，F1变小 DF变大，F1变大GF1F1GF1F1 【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，
17、从图中可以得到则绳中张力F1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力F始终为零。选A。6、如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为m的物体被水平力F推着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，且tan ，求力F的取值范围。FNmgFfF合FFF合mg【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力Ff和弹力FN合成为一个力F合，则F合的方向允许在FN两侧最大偏角为的范围内，其中。将这三个力按顺序首尾相接，形成如图所示三角形，图中虚线即为F合的方向允许的变化范围。由图可知：即：mgFF合ma+FNmgFF合ma7、如图所示，在倾角为的固定粗糙斜面上，一个质量为m的物体在拉力F的作用下沿斜面向上做匀加速直线运
18、动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为，为使物体加速度大小为a，试求力F的最小值及其对应的方向。FFaF合Ffmg【解析】物体受力如图，将支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合，由可知，。将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中mg、ma不变，F合的方向不变。当F取不同方向时，F的大小也不同，当F与F合垂直时，F取最小值。由几何关系，得：，解得：8、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30，g取10 m/s2。则的最大值是A rad/s B rad/sC1.0 rad/s D5 rad/s【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力Ff和重力沿圆盘向下的分力mgsin30的合力即向心力ma。将这两个力按顺序首尾相接，与它们的合力ma形成闭合三角形，其中mgsin30保持不变、ma大小不变，静摩擦力。mgsin30Ffmamgsin30Ffma由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为，解得。故选C。