《最新2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品资料2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径造桥选址问题.专题十一：最短路径造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是图3图3图3【方法指引】（1）如图，在直线上找M、N两点（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。方法：将点A向右平移个单位到A，作A关于直线的对称点A，连接AB交直线于点N，将点N向左平移个单位到M，点M、N即为所求，此时AM+MN+NB最小为AB 。（2）如图，之间距离为，在，分别找M、N两点，使得MN，
2、且AM+MN+NB最小。方法：将点A向下平移个单位到A，连接AB交直线于点N，将点N向上平移个单位到M，点M，N即为所求，AM+MN+NB的最小值为AB+。（3）如图，点P，Q在AOB内，分别在OA，OB上找点C，点D，使四边形PCDQ的周长最小.方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P，Q,连接PQ分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小本质为转化思想：（1）化同侧为异侧（对称变换），（2）平移定距离（平移变换），（3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形
3、、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。【例题精讲】类型一：两定点两动点形成最短路径型例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a， 0)，F(a1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由【分析】四边 ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A，连接AM，可得点E的位置，从而问题得解类型二：两定点一定角形成最短路径型例2如图，在POQ内部有两点M，N，MOPNOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取
4、一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AMAN与BMBN的大小关系来源:学科网ZXXK【分析】分别作M关于射线OP的对称点M,点N关于射线OQ的对称点N，连接NM，连接MN，即可得到答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E，F分别是BC，DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为 .2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=,连接CE，CF，则CEF周长的最小值为 3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将AE
5、O沿x轴向右平移得到AEO，连接AB，BE，则当AB+BE取最小值时，点E的坐标为 .4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在ABC中，ABC=90，AB=6，tanCAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为 .5如图，已知直线l1l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足ABl2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=6.如图，直线y5x5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数yax24xc的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的解析式为 ；(2)连
6、接BC，点N是线段BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数yax24xc图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标 7矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（O，3），直线y=x与与BC边相交于点D（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P，使四边形ABDP的周长最小，并求出最小值；8. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B
7、两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；(3)设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由10. 已知，如图，二次函数的图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称.（1）求A，B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BKAH交
8、直线l于K点，M，N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN，NM，MK，求HN+NM+MK和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2bxc经过点A(3,0)、B(0，3)、C(1，0)三点(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且纵坐标分别为m，m2，当四边形CBQP周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值 备用图答案：例1 .在四边形ABEF中，AB，EF为定值，求AEBF的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点如图6-2，将线段BF向左平移两个单位，得到线段ME如图6-3，作点
9、A关于x轴的对称点A，MA与x轴的交点E，满足AEME最小由AOEBHF，得解方程，得例2(1)图略，点A，B即为所求画法：作点M关于射线OP的对称点M；连接MN交OP于点A；作点N关于射线OQ的对称点N；连接NM交OQ于点B.(2)AMANBMBN.【专题过关】1.80.2. 3.（，1）. 418 .5 4作PEl1于E交l2于F，在PF上截取PC=8，连接QC交l2于B，作BAl1于A，此时PA+AB+BQ最短作QDPF于D在RtPQD中，D=90，PQ=4，PD=18，DQ=，AB=PC=8，ABPC，四边形ABCP是平行四边形，PA=BC，PA+BQ=CB+BQ=QC=46.(1)y
10、x24x5；(2)如图，图点B是二次函数的图象与x轴的交点，由二次函数的解析式为yx24x5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为ykxb，直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，解得，直线BC解析式为yx5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，n5)，D点的坐标为(n，n24n5)，则d|n24n5(n5)| .由题意可知：n24n5n5，dn24n5(n5)n25n(n)2，当n时，线段ND长度的最大值是；（3）点M(4，m)在抛物线yx24x5上，m5，M(4，5)抛物线yx24x5(x2)29，顶点坐标为H(2，9)，如图，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1
11、，则点H1的坐标为H1(2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，H1M1HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点图设直线H1M1的函数解析式为ymxn，直线H1M1过点H1(2，9)，M1(4，5)，解得，yx.当x0时，y，即点E坐标为(0，)；当y0时，x，即点F坐标为(，0) .故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)7（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）把y=3代入y=x中得，x=4，D（4，3）；（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x=4
12、，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得 解得 抛物线的解析式为y=x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的解析式为y=x+. 当x=3时，y=3+，即P（3，）四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+AE=3+2+=3+2+5=10.8. 如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3.(1)求抛物线的解
13、析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；(3)设G(4，5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，来源:学科网ZXXKC点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)将C、E点坐标代入抛物线解析式yx2bxc得：解得抛物线的解析式为：yx22x3；(2)由(1)得yx22x3，令y0，得x22x30.解得x11，x23.A(1，0)，B(3，0) .AO1，CO3，在RtAOC中，AC.COBO3，OBCO
14、CB45.FMBF1.ROMF，RAOMAF，AROAMF.，即.解得RO.CROCOR3,AR，来源:学科网ZXXKACR的周长为：ACCRAR；（3）如解图，取OF中点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy轴于点P，连接AP.图则当P在P处时，使APPHHG最小，A为OF中点，A坐标为(1，0) .设直线AG的解析式为ykxa，将点G(4，5)，A(1，0)分别代入,得解得直线AG的解析式为：yx.令x2，得y，点H的坐标为(2，) .符合题意的点P的坐标为(0，)9. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a0），解得x1=3，x2=1，B点在A点右侧，A点坐标为（3，
15、0），B点坐标为（1，0）证明：直线l：，当x=3时，0，点A在直线l上.（2）点H、B关于过A点的直线l：对称，AH=AB=4.过顶点H作HCAB交AB于C点，则AC=AB=2，HC2.顶点H(1，2)，代入二次函数解析式，解得a=-.二次函数解析式为；（3）直线AH的解析式为 .直线BK的解析式为，由 ，解得，即，则BK=4，点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB.过K作KDx轴于点D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于点E，则QM=MK，AEQK，根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，BKAH，BKQ=HEQ
16、=90.由勾股定理得，HN+NM+MK的最小值为8.(备用)9.(1)将A，B，C的坐标代入函数解析式，得，解得 抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，即顶点坐标为(1，4)；来源:学|科|网（2）如解图，将B点向下平移两个单位，得D点，连接AD交对称轴于点P，作BQPD交对称轴于Q点，PQBD，BQPD，四边形BDPQ是平行四边形.BQPD，PQBD2.BQPCPDAPAD.由勾股定理，得AD，BC.四边形CBQP周长的最小值为BCBQPQPCBCPQ(BQPC)BCPQAD222.设AD的解析式为ykxb，将A，D点坐标代入得， ，解得，直线AD的解析式为yx1.当x1时，y，即P(1，) .由|PQ|2，且Q点纵坐标大于P点纵坐标得Q(1，)，故当四边形CBQP周长最小时，点P的坐标为(1，)，点Q的坐标为(1，)，四边形CBQP周长的最小值是22.