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1、第2课时 圆锥的侧面积和全面积一、课前预习 (5分钟训练)1.圆锥的底面积为25，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为_ cm，高为_ cm，侧面积为_ cm2.2.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为_ cm2，锥角为_，高为_ cm.3.已知RtABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_ cm，面积为_ cm2.4.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为_. 图24-4-2-1 图24-4-2-2二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的
2、顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m2 B.6 m2 C.12 m2 D.12 m22.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )A.a B. a C.3a D.a3.用一张半径为9 cm、圆心角为120的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_ cm.4.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_(结果保留根式).5.一个圆锥的高为3
3、 cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30，母线长为4 cm，则它的侧面积为_ cm2(结果保留).2.如图24-4-2-3，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是_ m.(结果不取近似数) 图24-4-2-3 图24-4-2-43.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为_.(结果保留)4.在RtABC中，已知AB=6，AC=8，A=90.如果把
4、RtABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把RtABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1S2等于( )A.23 B.34 C.49 D.5125.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为_ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用表示).6.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )A.1 425 cm2 B.1 650 cm2 C.2 100 cm2 D.2 625 cm27.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截
5、面SAB的顶角为120(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；=1.414，=1.732，=2.236，以上数据供参考)参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆锥的底面积为25，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为_ cm，高为_ cm，侧面积为_ cm2.思路解析：圆的面积为S=r2，所以r=5(cm)；圆锥的高为=12(cm)；侧面积为1013=65(cm2).答案：5 12 652.圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为_ cm2，锥角为_，高为_ cm.思路解析：S侧面积=1010=50(cm2)；锥角为正三角形的
6、内角，高为正三角形的高.答案：50 60 53.已知RtABC的两直角边AC=5 cm，BC=12 cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为_ cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_ cm，面积为_ cm2.思路解析：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，母线长为13 cm.利用公式计算.答案：65 10 654.如图24-4-2-1，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为_.图24-4-2-1思路解析：圆锥的全面积为侧面积加底面积.答案：16二、课中强化(10分钟训练)1.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部
7、铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为( )A.6 m2 B.6 m2 C.12 m2 D.12 m2思路解析：侧面积=底面直径母线长=43=6(m2).答案：B2.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为( )A.a B. a C.3a D.a思路解析：展开图的弧长是a，故底面半径是，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.答案：D3.用一张半径为9 cm、圆心角为120的扇形纸片，做成一个圆锥形冰淇淋的侧面(不计接缝)，那么这个圆锥形冰淇淋的底面半径是_ cm.思路解析：扇形的弧长为 =6(cm)，所以圆锥底面圆的半径为=3(cm).答案：34.如图24-4-2-2，已知圆锥的母线
8、长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是_(结果保留根式).图24-4-2-2思路解析：如图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是 =90，连结AB，则AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=8.答案：85.一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图是半圆，求：(1)圆锥母线与底面半径的比；(2)锥角的大小；(3)圆锥的全面积.思路分析：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开扇形的弧长.锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积.解：如
9、图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r.(1)因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2r=l，则=2.(2)因=2，则有AB=2OB，BAO=30，所以BAC=60，即锥角为60.(3)因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2r2；又l=2r，h=3 cm，则r=3 cm，l=6 cm.所以S表=S侧S底=rlr2=3632=27(cm2).三、课后巩固(30分钟训练)1.已知圆锥的母线与高的夹角为30，母线长为4 cm，则它的侧面积为_ cm2(结果保留).思路解析：S圆锥侧=244=8.答案：82.如图24-4-2-3，有一圆锥形
10、粮堆，其主视图是边长为6 m的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是_ m.(结果不取近似数)图24-4-2-3思路解析：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB(如图).则扇形的圆心角为=180,因为P在AC的中点上，所以PAB=90.在RtPAB中，PA=3，AB=6，则PB=3.答案：33.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为_.(结果保留)思路解析：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3 cm，l=5 cm，S侧=rl=35=15(cm2).
11、答案：15 cm24.在RtABC中，已知AB=6，AC=8，A=90.如果把RtABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把RtABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1S2等于( )A.23 B.34 C.49 D.512思路解析：根据题意分别计算出S1和S2即得答案.在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图(扇形)的半径是斜边BC，弧长是以AB(或AC)为半径的圆的周长.A=90，AC=8，AB=6，BC=10.当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧S底=ABBCAB2=61036=96.当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧S底=8082=144
12、.S1S2=96144=23，故选A.答案:A5.如图24-4-2-4是小芳学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，则围成这个灯罩的铁皮的面积为_ cm2(不考虑接缝等因素，计算结果用表示).图24-4-2-4思路解析：由题意知：S侧面积=3020=300(cm2).答案：3006.制作一个底面直径为30 cm、高为40 cm的圆柱形无盖铁桶,所需铁皮至少为( )A.1 425 cm2 B.1 650 cm2 C.2 100 cm2 D.2 625 cm2思路解析:由题意知S铁皮=底面积+侧面积=152+40215=1595=1 425.答案:A7.在半径为27 m的广场中央，点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120(如图24-4-2-5)，求光源离地面的垂直高度SO.(精确到0.1 m；=1.414，=1.732，=2.236，以上数据供参考)图24-4-2-5思路分析：利用勾股定理和30的角所对的直角边等于斜边的一半解题.解：在SAB中，SA=SB，ASB=120.SOAB，O为AB的中点，且ASO=BSO=60，SAO=30.在RtASO中，OA=27 m，设SO=x，则AS=2x，272+x2=(2x)2.x=915.6(m).答：光源离地面的垂直高度SO为15.6 m.