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1、_空间向量及其运算知识点1、向量共线、共面的判定. 1、共线: 对空间任意两个向量a, b(b0), ab的充要条件是_. 2、共面: 如果两个向量a, b(不共线), 那么向量p与向量a, b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x, y), 使_. 答案: pxayb.3、不共面: 如果三个向量a, b, c不共面, 那么对空间任一向量p, 存在有序实数组x, y, z, 使得p_, 把a, b, c叫做空间的一个基底. 知识点2、向量运算律 两向量的数量积已知两个非零向量a, b, 则_叫做向量a, b的数量积, 记作_, 即_.数量积的坐标运算, 若a(a1, a2, a3), b(b
2、1, b2, b3), 则ab_. 空间向量数量积的运算律结合律: (a)b_; 交换律: ab_; 分配律: a(bc)_. 模、夹角和距离公式设a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), 则|a|_, cosa, b_ .若A(a1, b1, c1), B(a2, b2, c2), 则|_.题型一直线的方程形式(1) 空间向量: 在空间中, 具有_和_的量叫做空间向量. (2) 相等向量: 方向_且模_的向量. (3) 共线向量定理1. 若a(2x,1,3), b(1, 2y,9), 且ab, 则()A. x1, y1 B. x, y C. x, y D. x, y解: 选
3、C, ab, , x, y.2. (2016青岛月考)如图所示, 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中, M为AC与BD的交点, 若a, b, c, 则下列向量中与相等的向量是()A. abc B.abc C.abc D. abc解: 选A, ac(ab)abc.3. (2016广州调研)在平行六面体ABCDABCD中, 已知BADAABAAD60, AB3, AD4, AA5, 则|_.解: , |2222222324252234cos 60245cos 60235cos 6097, |.4. 有下列4个命题: 若pxayb, 则p与a、b共面; 若p与a、b共面, 则pxayb; 若xy
4、, 则P、M、A、B共面; 若P、M、A、B共面, 则xy.其中真命题的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 选B, 正确. 中若a、b共线, p与a不共线, 则pxayb就不成立. 正确. 中若M、A、B共线, 点P不在此直线上, 则xy不正确. 5. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17)这四个点_(填共面或不共面). 5. 共面, 解: (3,4,5), (1,2,2), (9,14,16), 设xy, 即(9,14,16)(3xy,4x2y,5x2y). , 从而A、B、C、D四点共面. 题型二空间基向量的应用6、已知空间四
5、边形OABC中, M为BC的中点, N为AC的中点, P为OA的中点, Q为OB的中点, 若ABOC, 求证: PMQN.设a, b, c. ()(bc), ()(ac), a(bc)(bca), b(ac)(acb). c(ab)c(ab)c2(ab)2(|2|2)|, 0. 即, 故PMQN.7、如图, 在正四面体ABCD中, E、F分别为棱AD、BC的中点, 则异面直线AF和CE所成角的余弦值为_. 设, , 为空间一组基底, 则, ().222222.又|, |2. cos, .异面直线AF与CE所成角的余弦值为.8、(2016合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交
6、于AB, EBC90, 点M、N分别在BD、AE上, 且ANDM.(1) 求证: MN平面EBC; (2) 求MN长度的最小值. 解: 如图所示, 建立坐标系后, 要证MN平行于平面EBC, 只要证的横坐标为0即可. (1) 证明如图所示, 以、为单位正交基底建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0), D(1,1,0), E(0,0,1), B(0,0,0), 设, 则(1,1,0)(0, 1,0)(1,0,1)(0, 1, ). 00, 则A(2,0,0), B(2,2,0), P(0,0, y), E,(0,0, y), . cos, .解得y2, E(1,1,1). B组专项能力提升题组
7、9. 如图所示, 已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体, 点E在AA1上, 点F在CC1上, 且AEFC11.(1) 求证: E、B、F、D1四点共面; (2) 若点G在BC上, BG, 点M在BB1上, GMBF, 垂足为H, 求证: EM平面BCC1B1.证明: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系, 则(3,0,1), (0,3,2), (3,3,3). 所以. 故、共面. 又它们有公共点B, E、B、F、D1四点共面. (6分)(2) 设M(0,0, z), 则. 而(0,3,2), 由题设, 得3z20, 得z1. M(0,0,1), E(3,0,1), (3,0,0).
8、又(0,0,3), (0,3,0), 0, 0, 从而MEBB1, MEBC.又BB1BCB, ME平面BCC1B1.10、如图所示, 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB, AF1, M是线段EF的中点. 求证: (1) AM平面BDE; (2) AM面BDF.证: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设ACBDN, 连接NE. 则点N、E的坐标分别为、(0,0,1). .又点A、M的坐标分别为(, , 0)、, .且NE与AM不共线. NEAM. 又NE平面BDE, AM平面BDE, AM平面BDE.(2) 由(1)得, , D(, 0,0), F(, , 1),
9、B(0, , 0), (0, , 1), (, 0,1). 0, 0., , 即AMDF, AMBF. 又DFBFF, AM平面BDF.11、(2009福建)如图, 四边形ABCD是边长为1的正方形, MD平面ABCD, NB平面ABCD, 且MDNB1, E为BC的中点. (1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2) 在线段AN上是否存在点S, 使得ES平面AMN？若存在, 求线段AS的长；若不存在, 请说明理由. 解(1) 如图所示, 以点D为坐标原点, 建立空间直角坐标系Dxyz.依题意, 得D(0,0,0), A(1,0,0), M(0,0,1), C(0,1,0), B(1,1
10、,0), N(1,1,1), E., (1,0,1). cos, , 异面直线NE与AM所成角的余弦值为.(2) 假设在线段AN上存在点S, 使得ES平面AMN.(0,1,1), 可设(0, , ), 又, . 由ES平面AMN, 得即故, 此时, |.经检验, 当AS时, ES平面AMN. 故线段AN上存在点S, 使得ES平面AMN, 此时AS.12. (2011汕头月考) 如图所示, 已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a, 点M、N分别是AB、CD的中点. (1) 求证: MNAB, MNCD；(2) 求MN的长；(3) 求异面直线AN与CM所成角的余弦值. (1) 证明设p,
11、 q, r.由题意可知: |p|q|r|a, 且p、q、r三向量两两夹角均为60.()(qrp), (2分)(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.MNAB，又rq, (qrp)(rq)(qrq2r2qrprpq)(a2cos 60a2a2a2cos 60a2cos 60a2cos 60)0, MNCD.(2) 解由(1)可知(qrp), |22(qrp)2q2r2p22(qrpqrp)2a2.|a, MN的长为a.(9分)(3) 解设向量与的夹角为.()(qr), qp, (qr).(12分)又|a, |cos 即aacos .cos , 向量与的夹角的余弦值为, 从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.7_