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1、精品资料2003北京高考数学真题与答案.2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合等于（A） （B） （C） （D）（2）设，则（A）y3y1y2（B）y2y1y3（C）y1y2y3（D）y1y3y2（3）“”是“”的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（4）已知，是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （A）若mn，m，则n（B）若m，=n，则mn（C）若m，m，则（D）若m，则（5）极坐标方程表示的曲线
2、是（A）圆（B）椭圆（C）抛物线（D）双曲线（6）若且的最小值是（A）2（B）3（C）4（D）5（7）如果圆台的母线与底面成60角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A）（B）（C）（D）（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（A）24种（B）18种（C）12种（D）6种（9）若数列的通项公式是，则 等于（A）（B）（C）（D）（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 , 其中i=1，2，k，
3、且j=1，2，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数中， 是偶函数.（12）以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 （13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满
4、分13分）已知函数 （）求的最小正周期； （）若，求的最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列是等差数列，且 （）求数列的通项公式； （）令求数列前n项和的公式.（17）（本小题满分15分） 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC. （）求证：直线BC1/平面AB1D； （）求二面角B1ADB的大小； （）求三棱锥C1ABB1的体积.（18）（本小题满分15分） 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（ （）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； （）直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求
5、证：； （）对于（）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）（19）（本小题满分14分） 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图） （）若希望点P到三镇距离的平方和为最小， 点P应位于何处？ （）若希望点P到三镇的最远距离为最小， 点P应位于何处？（20）（本小题满分14分） 设是定义在区间上的函数，且满足条件： （i） （ii）对任意的 （）证明：对任意的 （）证明：对任意的
6、（）在区间1，1上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得 若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.（1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.（11） （12） （13） （14）三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）满分13（）解析：因为所以的最小正周期（）解析：因为所以 当时，取得最大值；
7、当时，取得最小值1. 所以在上的最大值为1，最小值为（16）满分13分. （）解析：设数列公差为，则 又所以（）解：令则由得 当时，式减去式，得 所以当时, 综上可得当时, 当时，（17） 满分15分. （）证明：CD/C1B1，又BD=BC=B1C1， 四边形BDB1C1是平行四边形， BC1/DB1.又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，直线BC1/平面AB1D.（）解析：过B作BEAD于E，连结EB1，B1B平面ABD，B1EAD ，B1EB是二面角B1ADB的平面角，BD=BC=AB，E是AD的中点， 在RtB1BE中，B1EB=60。即二面角B1ADB的大小为60 （）解法一：过
8、A作AFBC于F，B1B平面ABC，平面ABC平面BB1C1C，AF平面BB1C1C，且AF= 即三棱锥C1ABB1的体积为 解法二：在三棱柱ABCA1B1C1中， 即三棱锥C1ABB1的体积为（18）满分15分. （）解析：椭圆方程为焦点坐标为 离心率（）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得整理得根据韦达定理，得 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，由，得所以结论成立.（）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线， 得解得， 由D、Q、G共线，同理可得 变形得 即 所以（19）.满分14分. （）解析：由题设可知，记设P的坐标为（0，），则P至三镇距离的平方和为
9、所以，当时，函数取得最小值. 答:点P的坐标是（）解法一：P至三镇的最远距离为 由解得记于是 当即时，在上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中 解法二:P至三镇的最远距离为 由解得 记于是 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值. 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为（0，0），其中解法三：因为在ABC中，AB=AC=所以ABC的外心M在射线AO上，其坐标为， 且AM=BM=CM.
10、当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，若（如图1），则点M在线段AO上，这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小. 若(如图2),则点M在线段AO外,这时P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A， 且P1COC，P2AOC，所以点P与BC边中点O重合时，P到三镇的最远距离最小为.答：当时，点P的位置在ABC的外心；当时，点P的位置在原点O.（20）满分14分.（）证明：由题设条件可知，当时，有即（）证法一：对任意的当不妨设则所以，综上可知，对任意的都有证法二：由（）可得，当 所以，当因此，对任意的当时，当时，有且所以综上可知，对任意的都有（）答：满足所述条件的函数不存在. 理由如下，假设存在函数满足条件，则由 得 又所以 又因为为奇数，所以由条件得 与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.