高考数学一轮复习：正态分布.doc

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1、_2019年高考数学一轮复习：正态分布正态分布9_1正态曲线的性质(1)正态曲线的定义函数，(x)，x(，)，其中实数和(0)为参数，我们称，(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线简称_(2)正态曲线的性质：曲线位于x轴_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在x处达到峰值_；曲线与x轴之间的面积为_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿x轴平移，如图甲所示当一定时，曲线的形状由确定，越_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示2正态分布的定义与简单计算(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机

2、变量X满足P(aXb)_，则称随机变量X服从正态分布，记作_(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率P(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3，3)之内而在此区间以外取值的概率只有0.002 6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(，2)的随机变量X只取(3，3)之间的值，并简称之为3原则自查自纠1(1)正态曲线(2)上方x1小大2(1)，(x)dxXN(，2) (2015湖北)设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P

3、(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解：由正态密度曲线的性质可知，XN(1，)，YN(2，)的密度曲线分别关于直线x1，x2对称，因此结合所给图象可得12，所以P(Y2)P(Y1)，A错误；又XN(1，)的密度曲线较YN(2，)的密度曲线“瘦高”，所以01P(X1)，B错误；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt)，C正确，D错误，故选C. (2017惠州二调)已知随机变量服从正态分布N(1，1)，若P(3)0.977，则P(13)()A0.683 B0.853 C0.954 D0.977解：因为已知随机变量服从

4、正态分布N(1，1)，所以正态曲线关于直线x1对称，又P(3)10.9770.023，所以P(13)1P(3)12P(3)10.0460.954.故选C. (2015湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A2 386 B2 718 C3 413 D4 772附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.解：P(0X1)P(1X2)_解：P(2)0.3.故填0.3. (2016青岛模拟)某班有50名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布N(110，102)，已知P(100110

5、)0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_人解：数学成绩的正态曲线关于直线x110对称，因为P(100110)0.34.所以P(120)P(100)(10.342)0.16. 数学成绩在120分以上的人数为0.16508.故填8.类型一正态分布的概念与性质已知三个正态分布密度函数i(x) (xR，i1，2，3)的图象如图所示，则()A123，123B123，123C123，123D123，123解：由正态曲线关于直线x对称，知123；的大小决定曲线的形状，越大，总体分布越分散，曲线越矮胖；越小，总体分布越集中，曲线越瘦高，则123.实际上，由1(1)2(2)3(3)，则 ，即123.

6、故选D.【点拨】正态曲线的性质(详见“考点梳理”)大都可由，(x)的解析式推知如一定，当x且x增大时，(x)2减小增大增大，(x)在x左侧单调递增其他类似可得某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是()A甲学科总体的方差最小B丙学科总体的均值最小C乙学科总体的方差最小D甲、乙、丙的总体的均值不相同解：由图象可知三个图象的对称轴相同，即三学科的均值相同，甲学科成绩的正态分布图象最瘦高，说明甲学科成绩最集中，方差最小故选A.类型二正态分布的计算问题(2017石家庄模拟)设XN(1，2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P(X3)0.022 8，

7、那么向正方形OABC中随机投掷20 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为()附：随机变量服从正态分布N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4.A12 076 B13 174 C14 056 D7 539解：由题意得，P(X1)P(X 3)0.022 8，所以P(1X3)10.022 820.954 4，因为P(22)0.954 4，所以121，故1，所以P(0X1)P(0X2)0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为20 000(10.341 3)13 174，故选B.【点拨】正态分布计算的关键是在充分利用正态曲线的对称性；随机模拟的关键是计算面积(长度、体

8、积)设XN(1，22)，试求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)解：因为XN(1，22)，所以1，2.(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0.682 6.(2)因为P(3X5)P(3X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)因为P(X5)P(X3)，所以P(X5)1P(3X5)1P(14X14)1P(2X2)(10.954 4)0.022 8.类型三正态分布的实际应用(2017全国卷)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16

9、个零件，并测量其尺寸(单位：cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(，2)(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查试说明上述监控生产过程方法的合理性；下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.9

10、5经计算得x()i9.97，s0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i1，2，16.用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3，3)之外的数据，用剩下的数据估计和(精确到0.01)附：若随机变量Z服从正态分布N(，2)，则P(3Z3)0.997 4，0.997 4160.959 2，0.09.解：(1)抽取一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率为0.002 6，故XB(16，0.002 6)，因此P(X1)1P(X0)10.997 4160.040 8，X的数学期望为

11、E(X)160.002 60.041 6.(2)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3，3)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的由x()9.97，s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(3，3)之外，因此需对当天的生产过程进行检查剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为(169.979.22)10

12、.02，因此的估计值为10.02.160.2122169.9721 591.134.剔除(3，3)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为(1 591.1349.2221510.022)0.008，因此的估计值为0.09.【点拨】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴X；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x()

13、和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数x()，2近似为样本方差s2.利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数利用的结果，求E(X)附：12.2.若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2Z2)0.954 4.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x()和样本方差s2分别为x()1700.021800.091900.222000.332100.242200

14、.082300.02200，s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331020.242020.083020.02150.(2)由(1)知，ZN(200，150)，从而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6.由知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知XB(100，0.682 6)，所以E(X)1000.682 668.26.1正态曲线的性质特点可用来求其数学期望和标准差：正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，据此结合图象可求；正态曲线在x处达到峰值，据此结合图象可求.2能熟练应用正态

15、曲线的对称性解题，并注意以下几点：(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等；(3)几个常用公式：P(Xa)1P(Xa)；P(X0，则P(X0)和N(2，)(20)的密度函数分别为1(x)和2(x)，其图象如图所示，则有()A12，12 B12C12，12，12解：f(x)e中x是对称轴，故12；越大，曲线越“矮胖”，越小曲线越“高瘦”，故12.故选A.2(2016郑州调研)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解：由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正态曲线关于x

16、2对称则P(0)P(4)0.2，所以P(0a1)，则实数a等于()A4 B5 C6 D7解：根据对称性有4，得a6.故选C.4(2016新余二模)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(2，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4A430 B215C2 718 D1 359解：因为2，1，所以P(4X0)0.954 4，P(5X1)0.997 4，所以阴影部分P(0X1)0.021 5，故落入阴影部分的点的个数约为10 0000.021 5215，故选B

17、.5(2016南昌模拟)在正态分布N中，正态总体在(，1)(1，)内取值的概率为()A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6解：因为0，所以P(X1)1P(1X1)1P(3X3)10.997 40.002 6.故选D.6给出下列函数(其中(，)，0)：f(x)e；f(x)e；f(x)e；f(x)e(x)2，则可以作为正态分布密度函数的个数有()A1 B2 C3D4解：对于，f(x)e.由于(，)，所以(，)，故它可以作为正态分布密度函数；对于，若1，则应为f(x)e.若，则应为f(x)e，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于，它就是当，0时的正态分布密度函数；

18、对于，它是当时的正态分布密度函数所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数故选C.7(2017广州模拟)按照国家规定，某种大米质量(单位：kg)必须服从正态分布N(10，2)，根据检测结果可知P(9.910.1)0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有2000名职工， 则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为_解：由题意得P(10.1)0.02，从而分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为0.02200040(人)，故填40.8某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作设三个电子元件的使用寿命

19、(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_解：由于三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，所以每个元件使用寿命超过1 000小时的概率P(X1 000).所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P.故填.9已知某种零件的尺寸(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在区间(0，80)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，且f(80).(1)求正态分布密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72mm88mm间的零件大约占总数的百分之几？解：(1)由于正态曲线在区间(0，80

20、)上是增函数，在区间(80，)上是减函数，所以正态曲线关于直线x80对称，且在x80处取得最大值因此得80，所以8.故正态分布密度函数的解析式是，(x)e.(2)由80，8，得80872，80888.所以零件尺寸位于区间(72，88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72mm88mm间的零件大约占总数的68.26%.10在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60，100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生分数线是多少？解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参

21、加竞赛，因为XN(60，100)，所以60，10.所以P(X90)1P(30X90)(10.997 4)0.001 3.又P(X90)，所以0.001 3.所以n10 000.(2)设受奖学生的分数线为x0.则P(Xx0)0.022 8.因为0.022 860.所以P(120x0Xx0)12P(Xx0)0.954 4.所以x0602080.故受奖学生的分数线是80分11(2017四川广元三诊)质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分

22、别为S，S，试比较S，S的大小(只要求写出答案)；(2)估计在甲、乙两种食用油中随机抽取1捅，恰有一桶的质量指标大于20的概率；(3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布N(，2)其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差S，设X表示从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的桶数，求X的数学期望注：同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得S211.95；若ZN(，2)，则P(Z)0.682 6，P(2ZS.(2)设事件A：在甲种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件B：在乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标不大于20，事件C：在

23、甲、乙两种食用油中随机抽取1桶，恰有一桶的质量指标不大于20，且另一桶大于20，则P(A)0.200.100.3，P(B)0.100.200.3，所以P(C)P(A()P(B)P(A)P(B()0.42，(3)计算得：x()26.5，由条件得ZN(26.5，142.75)，从而P(26.511.95Z26.511.95)0.682 6，所以从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标值位于(14.55，38.45)的概率是0.682 6，根据题意得XB(10，0.682 6)，所以E(X)100.682 66.826. 某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N

24、(168，16)现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组160，164)，第2组164，168)，第6组180，184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若N(，2)，则P()0.682 6，P(22)0.954 4，P(33)0.997 4.解：(1)由频率分布直方图可计算该校高三年级男生平均身高约为4168.72(cm)(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.020.020.01)40.2，人数为0.25010，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10.(3)因为P(1683416834)0.997 4，所以P(180)0.001 3，0001 3100 000130.所以全市约前130名的身高在180 cm及以上，这50人中180 cm及以上的有2人随机变量可取0，1，2，于是P(0)，P(1)，P(2).所以E()012.