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1、_函数的概念、表示法与定义域一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。相同函数的判断方法：定义域相同；对应法则一样 (两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：定义法（拼凑）： 换元法： 待定系数法： 赋值法： （2）函数定义域的求法：，则g（x）； 则f（x）；，则f（x）； 如：，则；含参问题的定义域要分类讨论；对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。三.
2、练习题:1. 已知集合M1,2,3,m，映射是从M到N的一个函数，则的值为(B) A2 B3 C4 D52下列对应关系是集合上的函数是有 2 （1），对应关系“对集合中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应”；（2），对应关系：；（3）三角形，对应关系“对中三角形求面积与集合Q中元素对应”3.给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ）A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个 xxxx1211122211112222yyyy3OOOO4.若函数的定义域是，则函数的定义域是（B ）A B C D5.下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A BC D 6.设函数则的值
3、为（ A ）ABCD7.（1）函数的定义域.答：)；（2）若函数的定义域为R，则_(答：)；（3）函数的定义域是，则函数的定义域是(答：)； （4）若函数的定义域为，则的定义域为_（答：）； （5）若函数的定义域为，则函数的定义域为_（答：1,5）8求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；解：（1）（配方法），的值域为。改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为。函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为。（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为。（法二）分离变量法：
4、，函数的值域为。9.（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。(5)已知函数y=x+x与y=g（x）关于点（-2，3）对称，求g（x）的解析式解：（1），（或）。（2）令（），则，。（3）设，则，。（4） ，把中的换成，得 ，得，。10. （1）设函数，则使得的自变量的取值范围是_（答：）；（2）已知，则不等式的解集是_（答：）11.（1）设函数（2）设函数f（x），则满足f（x）=的x值为 。解：（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换， = =（2）当x（，1，值域应为，当x（1，）时值域应为（0，），y，y（0，），此时x
5、（1，），log81x，x813。12. 对于抛物线线上的每一个点，点都满足，则的取值范围B 巩固练习:13.函数f(x)= +lg(3x+1)的定义域是 （ C ）A.（-,-） B.（-,） C.（-，1） D.（-,+）14.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)等于（C ）A.2 B.3 C.6 D.915.已知函数(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且()=16, (1)=8,则(x)= 3x+16.若函数 则不等式的解集为_._.本题主要考查分段函数和简单绝对值不等
6、式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由. （2）由. 不等式的解集为，应填.17 .对于任意实数，定义 设函数，则函数的最大值是_1_ . 18.若函数的定义域、值域都是闭区间2，2b，则b的为 2 。19.（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);（2）函数f(x) (x(-1,1)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).解 （1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x2-x,而f(0)=1,f(x)=x2+x+1.
7、（2）以-x代x,依题意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x) 2f(x)-f(-x)=lg(1+x) 两式联立消去f(-x)得3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),f(x)=lg(1+x-x2-x3)(-1x1).20.已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x. （1）求g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)f(x)-|x-1|.解 （1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y), 则 即点Q（x0,y0）在函数y=f(x)的图象上-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故g(x)=-x2+2x.(2)由g(x)可得
8、：2x2-|x-1|0.当x1时，2x2-x+10,此时不等式无解.当x1时，2x2+x-10,-1x因此，原不等式的解集为.21.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S.(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程(y0),解得y=2(0xr).S=(2x+2r)2=2(x+r),其定义域为x|0xr.（2）记f(x)=4(x
9、+r)2(r2-x2),0xr,则=8(x+r)2(r-2x).令=0,得x=r.因为当0x时，0;当xr时, 0，所以f（r）是f(x)的最大值.因此，当x=r时，S也取得最大值，最大值为.即梯形面积S的最大值为22.已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函数的值域为0，+)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解 (1）函数的值域为0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.（2）对一切xR，函数值均非负,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(
10、a+)2+(a).二次函数f(a)在上单调递减，f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，f(a)的值域为.23.已知二次函数f(x）的二次项系数为a,且不等式f(x)-2x的解集为（1，3）.（1）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围.解 （1）f（x）+2x0的解集为（1，3），则可令f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0,因而有f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a, 由方程f(x)+6a=0,得ax2-(2+4a)x+9a=0, 因为方程有两个相等的根，=-（2+4a）2-4a9a=0，即5a2-4a-1=0,解得a=1或a=-.由于a0,舍去a=1.将a=-代入式，得f(x)的解析式为f(x)=- x2-x-.（2）由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a,及a0，可得f(x)的最大值为-由解得a-2-或-2+a0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(-,-2-)(-2+,0)._