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1、_积分上限的函数的性质及其应用数学教育专业学生：祝胜前指导教师：张云摘要：变限积分函数分为变上限和变下限积分函数两种，变下限积分函数可以转化为变上限积分函数。积分上限函数加强了微分和积分之间的联系，是定积分基本公式的理论基础。变限积分函数的性质主要由被积分函数的性质、积分上（下）限的结构来决定。我们对它进行初等性质及分析性质的研究，可深入了解其特性，并广泛用于解决一些微积分的问题。关键词：积分上限函数，变限积分函数，导数，单调性，奇偶性 Abstract: The variation range integral function divides into changes the upper
2、limit and changes the lower integral function two kinds, changes the lower integral function to be possible to transform for changes the upper integral function. The integral upper limit function strengthened between the differential and the integral relation, is the definite integral fundamental fo
3、rmula rationale.The variation range integral function nature mainly by the structure which by in the integral function nature, the integral (next) is limited decided. We carry on the primary nature and the Analysis nature archery target research to it, but thoroughly understood its characteristic, a
4、nd widely uses in solving some fluxionary calculus problems.Keyword: Integral upper limit function, variation range integral function, derivative, monotony, odevity0 问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系：设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔上t的一个连续函数，且，求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为。另一方面这段路程可表示为 。，。对于积分上限函数我们有： 设函数在区间上连续,并且设为上的一点,考察定
5、积分。（1）由于在上连续,则在部分区间上仍连续,所以 存在。（2）定积分与积分变量的符号无关,所以上积分可写为 。（3）如果上限在区间上任意变动,则对于每一个取定的 值,定积分有一个对应值,所以它在上定义了一个函数,记作。 （），称为积分上限函数。1 变限积分函数的概念与基本性质定义1 设在上连续， 为上任一点，则称积函数的积分上限函数定义为，（），其中t为积分变量。从几何上看，这个积分上限函数表示区间上曲边梯形的面积。由积分上限函数定义可知上限函数有以下初等性质：性质1.1 若函数在上连续，则当（或）时，积分上限函数在区间上是单调增加（或单调减少）的函数。 证： =，于是知若在上，则。从而在
6、上严格单调递增；若在上，则。即在上严格单调递减。故知此时在上严格单调。（注：由在上单调，不能推得在上单调。如 在上单调递减，但在上却不具有单调性。性质1.2 若函数在上连续，则积分上限函数在区间上是有界函数。证：因为在上有界，于是知存在，使得，因此，有这表明在上有界。性质1.3 若函数在上连续，则积分上限函数在区间上可导、连续且可积。可导性：如果在区间上连续,则积分上限函数=在上具有导数,并且它的导数是（）。证：若,当上限x获得增量时,则(如图所示)在处的函数值为： 由此得函数的增量： 应用积分中值定理,即有等式=(在x与之间)，上式两端各除以,有。因为在上连续,而时,必有,所以 ,从而有 。
7、即在点x处可导,且 。若取 a或 b,则以上 分别改为 与 ,就得 与 ,证毕。连续性：设函数在上可积，则在上连续。证：因为在上可积，所以在上有界，故存在常数使得，于是知，有：。从而当时，必有，这表明在点处连续。据的任意性便知为上的连续函数。可积性：设在上可积，则也在上可积。 证：因为在上可积，所以又连续性知必在上连续，从而在上必可积。性质1.4 若函数是以T为周期的连续函数，则积分上限函数可以表示为周期是T的周期函数与线性函数之和。周期性：设为上的以T为周期的连续函数，且，则仍为以T为周期的周期函数。证: 先证明若为上的以T为周期的连续函数，则对仍何实数a，有。事实上，对最后一个积分。若令，
8、则有。代入上式得：。现在。于是知仍为以T为周期的周期函数。（注意：由为周期函数，不能推得仍为周期函数。如是以为周期的周期函数，而就不是周期函数。性质1.5 若函数在上连续，则积分上限函数。（i）当为奇函数时，为偶函数；（ii）当为偶函数时，不一定为奇函数 ，为奇函数的充要条件是。证:（i）若为奇函数，则。所以故知为偶函数。（ii） 若为偶函数，则。而，所以。于是为奇函数的充要条件是。推论：设，则（i）当为奇函数时，为偶函数。 （ii）当为偶函数时，为奇函数。2 变限积分函数求导定理定理 2.1 如果函数在上连续，则积分上限函数是被积函数的一个原函数，即有，或。例2.1 已知，求。 分析：本题被
9、积函数比较简单，可以先按照牛顿莱布尼茨公式求出的表达式，再进行求导运算；也可以直接按照定理2.1 ，用自变量直接替换被积函数式中的积分变量t写出导数结果。解法1：，故 。解法2：直接按照定理2.1写出结果得。定理 2.2 如果函数在上连续，则积分下限函数可导，且其导数为，或。例2.2 已知 ，求。解法1：，故 。解法2：按照定理2.2，用自变量直接替换被积函数式中的积分变量t ，并在被积函数前面加上一个负号，从而写出导数结果：。定理 2.3 如果函数连续，且可导，则变限积分函可导，且其导数为。证明：设为的一个原函数，即，则按照牛顿莱布尼茨公式可以求得：，从而按照复合函数求导法则可以求出的导数：
10、由定理2.3的证明过程可以看出，定理2.1与定理2.2是定理2.3的特例。例2.3 已知，求。解：该例（与定理2.3相比）中，相当于（=），相当于，相当于被积函数，于是由定理2.3可得： 。利用定理2.3求变限积分函数的导数时，要求被积函数仅仅是关于积分变量t的函数，若被积函数中不仅含有积分变量t，而且含有自变量x时，则不能直接利用定理2.3求导，需要作恒等变形，化简为定理2.3要求的类型，再应用定理2.3求出结果。3 被积函数为复杂函数的变限积分函数的导数。 这里复杂被积函数仅以被积函数是包含自变量与积分变量的函数复合体来进行研究。3.1 被积函数是自变量与积分变量可分离型的变限积分函数的导
11、数。定理 3.1.1 若被积函数满足可积条件且可以表示为，则变限积分函数的导数为： 例3.1 设，求。分析：该变限积分函数的被积函数是含有自变量与积分变量的复杂函数，但被积函数可以很容易分解为。该题的求解可以分为积分和求导两个阶段，由于在进行积分运算过程中是积分变量，把可以看作常数，则也可以看作常数，因而在进行积分运算时可以提到积分符号的前面去，然后把看作变量，对进行求导运算，按照函数乘积导数公式求出结果。解：由于所以 例3.2 已知，求。 分析：该题不能像例3.1那样直接把复杂被积函数表示为的形式，但是可以通过变量替换，把原复杂被积函数转化为关于自变量与新积分变量的可分离变量函数。解：令，则
12、，当从0变到时从变到， （利用积分公式可求出积分后的结果）3.2 被积函数仍然是变限积分函数型的变限积分函数的导数。定理 3.2.1 设变限积分函数的被积函数满足可积条件且可以表示为，则变限积分函数的导数为：定理3.2.1与定理2.3的实质原理是一样的，在定理3.2.1中只不过被积函数是用变限积分函数定义的函数类型罢了。例3.3 设求及。解：令则，当从变化到时，则从变化到。因而（这里y为积分变量）。所以 。在这里，若被积函数不满足所给出的求变限积分函数导数的5个定理的条件，则还可通过恒等变形使被积函数满足定理条件，然后利用定理求出结果。4 积分上限函数的一些应用4.1积分上限函数在证明等式中的
13、应用例4.1 设函数在(0，1)内连续，证明：。证明：令 ，则， 4.2积分上限函数在证明不等式中的应用例4.2 设函数在0，1内连续，在（0，1）内可导，且，证明：。证明：令 ，则有，。由于，故 ，从而。再令 ，则，由 及得，故。又，所以，则。例4.3（Schwarz不等式）若和在a，b内连续，则 。证：令，则 ，。4.3积分上限函数在计算累次积分中的应用例4.4 求值：解：令，则它是积分上限的函数。因为在上连续，则在上可导。且有存 。4.4积分上限函数在证明微分中值定理中的应用例4.5 （Lagrange中值定理）如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导,那么在区间内至少存在一点,使存在。证
14、明：把中的换成，得：，积分得：。令，显然，且在上连续，在开区间内可导，即满足罗尔定理条件，则至少存在一点，则至少存在一点成立。4.5积分上限函数在证明积分中值定理中的应用例4.6（积分中值定理）则存在使。证明：作，则在内连续，在内可导，且，由罗尔定理，存在，使，从而，因为不变号，所以。参考文献1 孙书安，曹殿立.高等数学M.北京：气象出版社，1998。2 阎彦宗关于积分上限函数分析性质的讨论J许昌学院学报，2003。3 胡传孝.高等数学的问题、方法与结构M.武汉：武汉大学出版社，1997。4 G.Klambauer.Mathematical Analysis.Marcel Dekker,Inc.1975。5 梅顺治，刘富贵.高等数学方法与应用M.北京：科学出版社，2002。6 赵连成.积分上限函数的研究J.内蒙古民族师范学报（自然科学版），1999，（2）：113-116。7 同济大学应用数学系.高等数学M.北京：高等教育出版社，2002。致谢：本论文的完成，首先要感谢张云指导教师的辛勤指导与精心批阅，同时也感谢在论文写作期间同学的支持与帮助，在此我表示深深的谢意！ - 13 -_