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1、_江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次模拟考试数学试题第卷（共70分） 一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）1.设复数为虚数单位），若，则的值是 2.已知集合，则 3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁首歌曲中的首，则甲、乙首歌曲至少有首被播放的概率是 4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是 5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中大一年级抽取人，大二年级抽取人.若其他年级共有学生人，则该校学生总人数是 6.设等差数列的前项和为，若公差，则的值是 7.在锐角中，若的面积为，则的长是 8.在平面直角坐标系中，若双曲线经
2、过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率是 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为 10.若直线为曲线的一条切线，则实数的值是 11.若正实数满足，则的最小值是 12.如图，在直角梯形中，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是 13. 在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上一动点，则的最大值是 14.已知函数若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是 第卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.（1）求函数的解析式；（2）若角满足，求角值.16. 如图，在四
3、棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证：（1）平面；（2）平面.17. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且经过点. （1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的弦过点，且与轴不垂直.若为轴上的一点，求的值.18. 如图，半圆是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径的长为百米.为了保护景点，基地管理部门从道路上选取一点，修建参观线路,且,均与半圆相切，四边形是等腰梯形，设百米，记修建每百米参观线路的费用为万元，经测算. （1）用表示线段的长；（2）求修建参观线路的最低费用.19. 已知是公差为的等差数列， 是公比为的等比数列，正整数组.（1）若，求的值；（2）若数组中的三个数构
4、成公差大于的等差数列，且，求的最大值.（3）若，试写出满足条件的一个数组和对应的通项公式.(注：本小问不必写出解答过程)20. 已知函数），记的导函数为.（1） 证明：当时，在上的单调函数；（2）若在处取得极小值，求的取值范围；（3）设函数的定义域为，区间.若在上是单调函数，则称在上广义单调.试证明函数在上广义单调. 数学(附加题)21. 【选做题】 本题包括A、B、C、四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，已知为圆的一条弦，点为弧的中点，过点任作两条弦分别交于点.求证：.
5、B. 选修4-2：距阵与变换已知矩阵，点在对应的变换作用下得到点，求矩阵的特征值.C. 选修4-4：坐标系与参数方程在坐标系中，圆的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆的极坐标方程.D. 选修4-5：选修4-5：不等式选讲已知是正实数，且，求证：.【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，.（1）求二面角的余弦值；（2）设是棱上一点，是的中点，若与平面所成角的正弦值为，求线段的长.23. 已知函数，设为的导数，.（1）求；（2）猜想的表达式，并证明你的结论.江苏省南通、扬州、泰州2017届高三第三次
6、模拟考试数学试题参考答案一、填空题:1 2. 3. 4. 5. 6.7. 8. 9. 10. 11. 12：13. 14.二、解答题: 15. 解：(1)由条件，周期，即，所以，即.因为的图象经过点，所以.(2)由，得，即，即.因为或.16. 解：(1)因为分别为棱的中点，所以，又因为底面是矩形，所以.又平面平面，所以平面.(2)因为为的中点，所以.因为平面平面，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以.因为平面平面.17. 解：(1)由题意，知.又，所以椭圆的标准方程为.(2)设直线的方程为.若时，. 若时，的中点为，代入椭圆方程，整理得，所以，所以的垂直平分线方程为.因为，所以点为的垂直平分
7、线与轴的交点，所以，因为椭圆的左准线的方程为，离心率为，由，得，同理，所以，综上，得的值为.18. 解：设与半圆相切于点，则由四边形是等腰梯形知，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.(1)设圆切于，连结过点作，垂足为.因为，所以.由. (2) 设修建该参观线路的费用为万元. 当，由 ，则在上单调递减，所以当时，取得最小值为. 当时，所以，且当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值为. 由 知，取得最小值为.答：（1）的长为百米；（2）修建该参观线路的最低费用为万元.19. 解：(1)由条件，知，即，.(2)由，即，所以，同理可得，因为成等差数列，所以.记
8、，则有，故，即.记，则为奇函数，又公差大于，所以，即，当时，取最大值为.(3)满足题意的数组，此时通项公式为.例如：.20. 解：(1)当时，即，在上单调递增.(2). 当时，所以函数在上单调递增.若，则；若，则，所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以在处取得极小值，符合题意.当时，所以函数在上单调递减.若，则；若，则，所以的单调减区间是，单调增区间是，所以在处取得极大值，不符合题意. 当时，使得，即，但当时，即，所以函数在上单调递减，所以，即函数在单调递减，不符合题意.综上所述，的取值范围是.（3）记. 若，注意到，则，即， 当时，.所以，函数在上单调递增.若，当时，所以，函数在上单调递
9、减，综上所述，函数在区间上广义单调.数学(附加题)21. A. 解：连结，因为，又点为弧的中点，所以，又，所以，所以四点共圆.所以.B. 解：由题意，即，解得，所以矩阵.所以矩阵的特征多项式为 ，令，得，所以的特征值为和.C. 解：因为圆心在极轴上且过极点，所以设圆极坐标方程为，又因为点在圆上，所以，解得，所以圆极坐标方程为.D. 解：因为是正实数，且，同理， ， ，将式相加并整理，即得.22. 解：(1)以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，由，得且，取，得，所以是平面的一个法向量.因为平面，取平面的一个法向量，设二面角的大小为，所以，由图可知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.(2)由（1）知，则.设，则，易知平面是平面的一个法向量.设与平面所成的角为，所以，即，得或（舍）.所以,所以线段的长为.23. 解：（1）.（2）猜想.证明： 当时，由(1)知结论正确； 假设当时，结论正确，即有.当时，所以当时结论成立，由得，对一切结论正确. _