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1、第一章第一章 习题习题 1、对二维正六方晶格，若其对边之间的距离为 。 （1）写出正格子基矢 和倒格子基矢 的表示式； （2）证明其倒格子也是正六方格子；2、对面心立方晶格，在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指数为 ， 求在原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数；3、硅半导体是金刚石结构，设其晶格常数为 （1）画出（1,1,0）面二维格子的原胞，并写出其基矢； （2）画出（1,1,0）面二维格子的第一、第二布里渊区；12,aa12,b ba()hkla 4、求面心立方晶格的最大面密度的晶面族，并写出最大面密度表达式； 5、证明立方晶系晶面族 的面间距； 6、画二维正方格子第一、二、三布里渊区，
2、写出对应的布里渊区界面方程； 7、底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢； 8、简述非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征和性质 9、画出体心立方和面心立方（100）、（110）和（111）面上的格点分布图 10、对一定的布拉维格子， 的选择不是唯一的，对应的 也不 是唯一的。因而有人说一个布拉维格子可以对应几个倒格子，对吗？复式 格子的倒格子也是复式格子吗？hkl123,aaa123,b bb 11、描述同一晶面时，米勒指数和晶面指数一定相同吗？ 12、怎样判断晶体对称性的高低？讨论对称性有什么意义？ 13、六角网状二维格子是不是布拉维格子？如果是，写出其基矢；如果不是，请挑选合适的格点组
3、成基元，使基元的中心构成布拉维格子。 14、填写下表的中的数据晶体结构晶体结构scbccfcc金刚石金刚石配位数晶胞中的原子数密堆积时的刚性原子球半径（晶格常数为 ）致密度=刚性原子球体积/晶胞体积a 习题：1、3、5、6、7、9、10、11、12、13、14、1a2ajaiaajaiaa232232212123333()022222001dijkaaaaaaaaij 取单位矢量取单位矢量 垂直于垂直于 , ,原胞体积，原胞体积，kji、ka3aij1.1 1.1 对二维正六方晶格，若其对边之间的距离为对二维正六方晶格，若其对边之间的距离为 。 （1 1）写出正格子基矢）写出正格子基矢 和倒格
4、子基矢和倒格子基矢 的表示式；的表示式； （2 2）证明其倒格子也是正六方格子；）证明其倒格子也是正六方格子；12,aa12,b ba倒格子原胞基矢，倒格子原胞基矢，1232223dbaaijaa2312223dbaaijaa 所以，倒格子也是正六方格子。所以，倒格子也是正六方格子。正六边形的对称操作：正六边形的对称操作：绕中心转动：绕中心转动： 1 1、 1 1个；个； 2 2、 1 1个；个； 3 3、 4 4个（个（6060度、度、120120度、度、240240度、度、300300度）；度）；绕对边中心的联线转绕对边中心的联线转180180度，共度，共3 3条；条；绕对顶点联线转绕对顶
5、点联线转180180度，共度，共3 3条；条；以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共以上每个对称操作加上中心反演仍然为对称操作，共2424个对称操作个对称操作C2C3C晶胞基矢：晶胞基矢：cbakacj abi aa,cba3a1a2a与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：与晶胞坐标系对应的倒格子基矢：kacjabiaa2,2,2321aaa)(21kjaa)(22kiaa)(23jiaa原胞基矢原胞基矢与原胞坐标系对应的倒格子与原胞坐标系对应的倒格子( (体心立方体心立方) )基矢：基矢：)()(2)()(2)()(2321cbakjiabcbakjiabcbakjiab1.21.2 面心立
6、方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为面心立方晶格在晶胞基矢坐标系中，某一晶面族的密勒指为 ，求在，求在原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。原胞基矢坐标系中，该晶面族的晶面指数。()hkl与晶面族与晶面族 垂直的倒格矢：垂直的倒格矢：32121)(2121332211321hhhhklGpbhbhbhpbkhbhlblkc lbkahG得到得到: :)(hlk)(21)(21)(21211332bbcbbbbba 是是 的最大公约数。的最大公约数。 khhllk,p已知晶面密勒指数已知晶面密勒指数 ，可得到原胞坐标系下的晶面指数：，可得到原胞坐标系下的晶面指数：khhllkphhh1
7、)(321)(hlk1.3 硅半导体是金刚石结构，设其晶格常数为硅半导体是金刚石结构，设其晶格常数为 （1）画出（）画出（1,1,0）面二维格子的原胞，并写出其基矢；）面二维格子的原胞，并写出其基矢； （2）画出（）画出（1,1,0）面二维格子的第一、第二布里渊区；）面二维格子的第一、第二布里渊区；aaa21a2a解、解、 金刚石结构（金刚石结构（110110）面上格点分布，选择原胞如图所示，）面上格点分布，选择原胞如图所示， i aa221j aa222122000022aakjikaak，原胞矢：原胞矢：原胞体积：原胞体积：根据定义，（根据定义，（110110）面二维晶格的倒格子基矢）面二
8、维晶格的倒格子基矢, ,jaj akaakbiakj aakab22222222222212221倒格矢倒格矢, , 2, 1, 0,2221212211hhjhihabhbhGh得到布里渊界面方程得到布里渊界面方程, ,222122212222221hhakhkhaGGkyxhh22212122hhakhkhyx得到第一、第二布里渊界面方程得到第一、第二布里渊界面方程, ,akhhakhhakkhhakhhkhhyxyxyx2,2,022,0,232, 1, 1, 1,022,0, 12121212121在倒格子空间画出第一、第二布里渊区示意图在倒格子空间画出第一、第二布里渊区示意图, ,x
9、kyka/a/2a/3a/2a2/3a/223a1a2a面心立方晶胞与元胞面心立方晶胞与元胞 cba原胞基矢，原胞基矢，12322aaaa)(21kjaa)(22kiaa)(23jiaa1.4 1.4 求面心立方晶格最大面密度晶面族，写出最大面密度表达式；求面心立方晶格最大面密度晶面族，写出最大面密度表达式；倒格子原胞基矢，倒格子原胞基矢，12bijka22bijka32bijka倒格矢，倒格矢，1122331231231232hGh bh bh bhhhihhhjhhhka),3,2, 1,0,(321hhhcba1b2b3b4a晶面族晶面族 的面间距，的面间距，)(321hhh222123
10、1231232hadGhhhhhhhhh314a上式中等效晶面指数上式中等效晶面指数1,0,01,0,0晶面族、（晶面族、（1,1,1)1,1,1)、(-1,-1,-1)(-1,-1,-1)晶晶面对应的面间距最大，面间距，面对应的面间距最大，面间距， 3ad 最大面密度，最大面密度，324433adaa格点体密度，格点体密度，(111)2aa2a格点面密度，格点面密度，(111)1/61/6属于该等边三角形属于该等边三角形1/21/2属于该等边三角形属于该等边三角形等边三角形面积，等边三角形面积，021322sin6022Saaa2243Sahklcab晶胞基矢晶胞基矢kacjabiaa,倒格
11、子基矢倒格子基矢222,ai bj ckaaa222hklGhikjlkaaa倒格矢倒格矢2222hklhkladGhkl(,0,1,2,3,)h k l 立方晶系晶面族立方晶系晶面族 的面间距，的面间距， 1.5 1.5 求立方晶系晶面族求立方晶系晶面族 的面间距；的面间距；hkl 1.6 1.6 画出二维正方格子的第画出二维正方格子的第1 1、2 2、3 3布里渊区及对应的布里渊区界面方程；布里渊区及对应的布里渊区界面方程； 晶格基矢晶格基矢123,aai aaj ak1a2a倒格子基矢倒格子基矢12322baaia21322baaja1b2b倒格矢倒格矢jahiahG2221倒格子空间任
12、意矢量倒格子空间任意矢量jkikkyx代入布里渊区界面方程，代入布里渊区界面方程，221GGk222121hhakhkhyx），（ 21021hh界面方程：界面方程：akakakakyyxx,akxxkakxakyakyyk离原点最近的个倒格点离原点最近的个倒格点)1,0(),1,0(),0, 1(),0, 1(21212121hhhhhhhh第第1布里渊区：布里渊区：原点原点离原点次近邻有个倒格点离原点次近邻有个倒格点)1, 1(),1, 1(),1, 1(),1, 1(21212121hhhhhhhh界面方程：界面方程：akkakkakkakkyxyxyxyx2222与第与第1布里渊区界面
13、围成的区域为第布里渊区界面围成的区域为第2布里渊区布里渊区第第2布里渊区：布里渊区：第第3布里渊区：布里渊区：离原点再次远有个倒格点离原点再次远有个倒格点)2,0(),2,0(),0,2(),0,2(21212121hhhhhhhh界面方程：界面方程：akakakakyyxx2,2,2,2与第与第1、2布里渊区界面围成区域为第布里渊区界面围成区域为第3布里渊区布里渊区底心格点与顶角格点周围情况完全相同，底心格点与顶角格点周围情况完全相同，构成简单立方布拉菲格子。构成简单立方布拉菲格子。 注意注意：立方晶系不存在底心立方点阵，因：立方晶系不存在底心立方点阵，因为它失去四条为它失去四条3 3次轴，
14、只保留一条次轴，只保留一条4 4次轴，成次轴，成为简单立方晶格。为简单立方晶格。晶胞：晶胞：abcakacj abi aa,3acab晶胞含个格点晶胞含个格点基矢基矢体积体积1.71.7 底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；底心立方是否是布拉菲格子？如果是，写出它的基矢；1.8 简述非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征和性质简述非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征和性质 多晶体多晶体 粒子在微米尺度内有序排粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积列形成晶粒，晶粒随机堆积固体固体 晶体晶体粒子在微米尺度粒子在微米尺度有序排列（长程有序排列（长程有序）有序） 准晶体准晶体粒子有序排列介于
15、晶体和非粒子有序排列介于晶体和非晶体之间。但没有平移对称晶体之间。但没有平移对称性、只具有性、只具有5 5重旋转对称性。重旋转对称性。 单晶体单晶体粒子在整个固体中严格周期性排粒子在整个固体中严格周期性排列，具有严格的平移对称性、具列，具有严格的平移对称性、具有有8 8种基本点对称操作性。种基本点对称操作性。 非晶体非晶体粒子在几个原子粒子在几个原子范围排列有序范围排列有序（短程有序）（短程有序）（1）非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征）非晶、单晶、多晶、准晶的结构特征（2）非晶、单晶、多晶、准晶的性质）非晶、单晶、多晶、准晶的性质 多晶体多晶体各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解
16、理性各项同性、具有固定熔点、没有固定的几何形状、没有解理性准晶体准晶体 单晶体单晶体自限性自限性-自发生长的晶体具有固定几何外形自发生长的晶体具有固定几何外形解理性解理性 -沿某些晶面方位容易劈裂的性质沿某些晶面方位容易劈裂的性质熔点固定熔点固定 -达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再达到某温度时开始熔化，继续加热，在晶体没有完全熔化之前，温度不再上升。上升。各向异性各向异性 - 晶体的性质与方向有关晶体的性质与方向有关对称性对称性 - 晶体性质在某些特定方向上完全相同晶体性质在某些特定方向上完全相同 非晶体非晶体没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性
17、没有固定熔点、没有固定几何形状、各项同性、没有解理性acb体心立方晶胞体心立方晶胞面心立方晶胞面心立方晶胞cba（100100）面格点分布）面格点分布（100100）面格点分布）面格点分布aaaa 1.9 画出体心立方和面心立方（画出体心立方和面心立方（100）、（）、（110）和（）和（111）面上的格点分布图）面上的格点分布图（111111）面格点分布）面格点分布（111111）面格点分布）面格点分布2a2a2a2a（110110）面格点分布）面格点分布a2aa2a（110110）面格点分布）面格点分布1.10 对一定的布拉维格子，对一定的布拉维格子， 的选择不是唯一的，对应的的选择不是唯
18、一的，对应的 也不也不 是唯一的。因而有人说一个布拉维格子可以对应几个倒格子，对吗？复式是唯一的。因而有人说一个布拉维格子可以对应几个倒格子，对吗？复式 格子的倒格子也是复式格子吗？格子的倒格子也是复式格子吗？123,aaa123,b bb答：对一定的布拉菲格子，原胞基矢的选择不是唯一的，所对应的倒格子基答：对一定的布拉菲格子，原胞基矢的选择不是唯一的，所对应的倒格子基矢因此也不是唯一的。但当原胞基矢一旦确定，所对应的倒格子基矢也唯一矢因此也不是唯一的。但当原胞基矢一旦确定，所对应的倒格子基矢也唯一确定，倒格子也唯一确定。因此，说一个布拉菲格子可以对应几个倒格子是确定，倒格子也唯一确定。因此，
19、说一个布拉菲格子可以对应几个倒格子是不正确的。不正确的。 复式格子的原胞基矢所对应的倒格子基矢所生成倒格子不是复式格子。复式格子的原胞基矢所对应的倒格子基矢所生成倒格子不是复式格子。1. 11 描述同一晶面时，密勒指数和晶面指数一定相同吗？描述同一晶面时，密勒指数和晶面指数一定相同吗？答：除简单立方晶格外，其它类型晶体结构的晶体，在描述同一晶面时，答：除简单立方晶格外，其它类型晶体结构的晶体，在描述同一晶面时，其密勒指数和晶面指数是不相同的。其密勒指数和晶面指数是不相同的。 1.12 怎样判断晶体对称性的高低？讨论对称性有什么意义？怎样判断晶体对称性的高低？讨论对称性有什么意义？答：一个体系具
20、有的对称性操作越多，该体系的对称性越高。反之越低。答：一个体系具有的对称性操作越多，该体系的对称性越高。反之越低。 通过对一个体系的对称性分析，可以确定该体系的晶体结构类型和结通过对一个体系的对称性分析，可以确定该体系的晶体结构类型和结构特殊性。从该晶体结构所属类型所具有的共同性质，从而断定该体系的构特殊性。从该晶体结构所属类型所具有的共同性质，从而断定该体系的一些重要性质。同时，从该体系的特殊对称性，可以进一步分析该体系所一些重要性质。同时，从该体系的特殊对称性，可以进一步分析该体系所具有的独特性质。是分析了解未知体系的一种重要途径。具有的独特性质。是分析了解未知体系的一种重要途径。 a六角
21、网状的顶点构成的二维格子，六角网状的顶点构成的二维格子，1.13 六角网状二维格子是不是布拉维格子？如果是，写出其基矢；如果六角网状二维格子是不是布拉维格子？如果是，写出其基矢；如果不是，请挑选合适的格点组成基元，使基元的中心构成布拉维格子。不是，请挑选合适的格点组成基元，使基元的中心构成布拉维格子。 解：是由红色代表的原子构成的二维菱形格子与黑色代表的原子构成解：是由红色代表的原子构成的二维菱形格子与黑色代表的原子构成的二维菱形格子沿正六边形边长方向相互移动一个边长长度套购而成的复的二维菱形格子沿正六边形边长方向相互移动一个边长长度套购而成的复式格子。其二维点阵和其元胞基矢如图所示：式格子。
22、其二维点阵和其元胞基矢如图所示：1a2a晶体结构晶体结构scbccfcc金刚石金刚石配位数68124晶胞中的原子数1248密堆积时的刚性原子球半径（晶格常数为 ）致密度=刚性原子球体积/晶胞体积a1.141.14 填写下表的中的数据填写下表的中的数据638283162ar 34a24a38a计算过程如下：计算过程如下： 硬球体积硬球体积3ad334rV（1 1）scsc2ar ，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：abc（2 2）体心立方（）体心立方（bcc)bcc)aaaar43412223adacb致密度致密度334326aa，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：致密度致密度33433438aa2（3
23、 3）面心立方）面心立方(fcc)(fcc)aaar424122cba3ad（）金刚石（）金刚石222113248raaaa3ad，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：致密度致密度33423428aa4，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：致密度致密度334338316aa8（）六方密堆积（）六方密堆积 BOOC1a六方轴六方轴 3a2aa引进直角坐标系引进直角坐标系OXYZOXYZ，其，其X X、Y Y、Z Z方向的单位矢量为方向的单位矢量为 ，OXYZkji、X X、Z Z轴分别与基矢轴分别与基矢 重合，重合， 表示为：表示为：21aa、100213cos120cos3022aaiaaiajaiaj ，aaa2121aa、kcCcacaad221232ar ac3832ad，晶胞中原子数：，晶胞中原子数：致密度致密度33423262aa2