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1、如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流从2019年高考数学题型分析-探究如何提高考生的解题能力【精品文档】第 73 页从 2019年高考数学题型分析探究如何提高考生的解题能力 贵州大学 周国利教授 一、18、19年的高考数学全国试卷更加强调了知识的基础性、综合性、突出数学学科的特色、突出应用性和创新性，仍然坚持能力立意的命题原则，着重考查考生的理性思维能力、考查数学的核心素养，考查综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力，逐步体现数学的科学价值、应用价值和理性价值，激发学生学习数学的热情。整个试卷加强了对考生的图形的直观想象、识别能力、处理能力、数形结合能力的考查，其广泛运用于高考试题的
2、各种类型，每年试题中有1014个题都与图形有关。二、以后几年高考数学命题变化趋势：（1）高考数学命题难度微小变化，卷三2018年文、理科试卷选择题有8个题、填空题有1个，解答证明题有4个半（解析几何理科多求公差）题90分左右相同，2019年文、理科试卷选择题有8个题、填空题有2个，解答证明题有近5个（立体几何、解析几何、函数都有一半以上相同）题105分以上相同，逐步尝试文、理不分科，对2020年高考文、理不分科的省市文科学生要适度增加数学难度，其水平可参考18、19年全国卷的数学试题；（2）命题是以考查学生掌握知识及体现学生能力的立意原则，突出应用性和创新性，19年的全国卷文、理科试卷总体似乎
3、偏难，但仔细研究分析，三角函数、立体几何、导数应用、解析几何、极坐标题难度并不太大，但较新颖，题目结合我国的经济发展、社会实践、数学文化，铺垫了大量的情景问题，如高铁运行、探测器软着陆、药品检验、残留物测定、印章结构、篮球决赛、乒乓球比赛等，老师要着重教会学生从题设描述的已知条件中，捕捉对解题有用的数据、图形、等式或不等式，结合知识点，理清解题思路，寻找关健突破口，加强运算及化简能力，考生成绩较差，说明学生解题的能力有待提高；（3）命题立足教材、基于教材、回归教材，有部分题可直接源于教材，教材的结论、习题的结果、平时解题积累的知识，可直接用于考试；（4）命题结合数学核心素养的培养，基本不出偏题
4、、怪题和难度太大的题，19年全国高考题题型有所变化，并不太难；（5）题量暂时不变，仍然为12+4+6题型模式，共22题，但分值可能有所微调，如卷二第16题关于金石文化的印记问题填空有二问，分别是2分（利用对称性可数出面数26个）和3分（将立体图形作一截面，在平面几何中一边长为1的正方形内求正八边形的边长，），适当增加多选题、开放性题及半开放性题，18、19年试卷已有所体现；（6）难题一般仍然在20、21题，但不一定是解几、函数，有可能是其他类型，18年已有所尝试，卷二20题为立体几何，卷一20题为概率统计，19年17题为统计、18题为三角、20题为函数、21题为解几，22题极坐标题较新颖、23
5、不等式证明较难（卷一、卷二的22、23题简单）。三、2019年部分全国卷题参考解答*1、19年一卷理科15题：甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制。根据前期成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主，设甲队的主客场取胜的概率分别为0.6和0.5，且各场比赛相互独立，则甲队4比1获胜的概率是。解：该题有应用背景，考查学生分析问题及解决问题的能力，计算看似简单，但有技巧。甲队4比1获胜的情形为：负胜胜胜胜，胜负胜胜胜，胜胜负胜胜，胜胜胜负胜故甲队4比1获胜的概率是对于概率统计题，请老师和同学们关注卷三的2013年理科19题，2017年理科18题及卷一的2018年理科20题，2019年理科21题等
6、，这些题都与经济发展的供给侧结构性改革和数学的科学价值有关。19年一卷理科21题：为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行了动物实验，实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药物进行对比试验，对于两只白鼠随机选取一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的实验得出结果后，再安排下一轮实验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈的则甲药得1分，乙药得-1分，同理另一种情形乙药得1分，甲药得-1分，若都治愈或都未治愈则两种药均得0分，甲、乙两种新药治愈
7、率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为，（1）求的分布列；（2）若甲、乙两种新药在试验开始时都赋于4分，表甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效的概率，其中，假设，证明：为等比数列，且求，并根据的值解释这种试验方案的合理性。解：（1）取值为、，其分布列为：（2）当，时，故，即，因，所以是首项为，公比为4的等比数列，由，得，表最终甲药更有效的概率，由结果可以看出，甲治愈率为0.5，乙治愈率为0.8，认为甲药更有效的概率为非常小，说明检验方法合理。2、函数在函数的零点个数为 （19年文科）解：，选。*3、设函数，已知在上有且仅有5个零点，下述四个结论：、在上有且仅有3个极大值点、在上有且仅有
8、2个极小值点、在上单调递增、的取值范围是上单调递增其中所有正确结论的编号是该题是一多选题，也是难度较大，考生得分较低的题，解题思路是要对正弦函数的周期、零点、极大值、极小值、单调性及图形非常熟悉，综合性强。解：作的草图，对，的周期为，在上有且仅有4个零点，不合题意，故，取成立，的周期为，当时，的取得一个极大值，成立，对，的周期为，在上有且仅有6个零点，又不合题意，故，当，有且仅有5个零点，又有三个极大值点和三个极小值点，成立，不成立，选。（卷一的文、理科第4题著名的断臂维纳斯关于人体的黄金分割点问题，其解答相当难。由，设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为、，人身高为，则，解得。) *4、的内角所对边
9、分别为，已知(1)求，(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围。（19年文、理科）该题第一问是常规解法，第二问有些新颖但并不难，解题思路是用面积公式、两次使用正弦定理及极限思想求参数的取值范围从而得面积的取值范围，考生知识的迁移能力太差，分数应有更大的提升空间。解：（1）由题设及正弦定理得：因，所以：由，可得：故，又， 得， 因此；（2）的面积为：又由正弦定理得：由于为锐角三角形，故，又，所以，得：因此面积的取值范围是：。*法二：数形结合的极限方法图解法由（1），为锐角三角形，故，又，所以，令，得一直角边分别为，的直角三角形，其面积为，令，得一直角边分别的直角三角形，其面积为，因此面积的取值
10、范围是：。5、已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（2019年理科）解：设公比为，因，故，由，则，选。6、记为等差数列的前项和，若，则。（2019年理科）解：设为公差，由，则，故。7、记为等差数列的前项和，若，则。（2019年文科）解：设为公差，由，则，故。*8、点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则，且直线，是相交直线，且直线，是相交直线，且直线，是异面直线，且直线，是异面直线该题要用的知识点较多，计算量较大，考生得分低。（19年文、理科）解：设，是的中点，连，则，且，得，又作，交于，再连，则，故四点共面，知，是相交直线，选。*9、学生到工厂劳动实践，利用打印
11、技术制作模型为长方体挖去四棱锥后得到的几何体，其中是长方体的中心，分别是所在棱的中点，打印所用原材料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为。（文、理科16题）解：，*10、由矩形，和菱形组成的平面图形中，。将其沿，折起使得与重合，（1）证明：折叠图中的四点共圆，且平面平面，（文、理科）（2）求折叠图中四边形的面积，（文科）（3）求折叠图中二面角的大小。（理科）该题是由平面图形折叠成立体图形，有些创新，但难度不大， 2019年全国卷一、卷二立体几何题相比卷三还要简单些，老师和同学们可参考。解：（1）由已知得，故，得确定一个平面，从而四点共圆，由已知得，故平面，又因为平面，所以平面平面
12、，（2）取的中点，连结，因为，平面，故平面，所以，又由已知四边形是菱形，且，得，故平面，因此，在，故，所以四边形的面积为4。（3）作，垂足为，因为平面，平面平面，所以平面，由已知，菱形的边长为2，解得，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间坐标系，则，取平面的法向量为，平面的法向量为，所以，因此二面角的大小为。立体几何题可参考卷三2017年理科19题，卷二2018年理科20题。11、已知曲线在点处的切线方程为，则 （19年文、理科）解：，切线方程为，对比，选。*12、设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则： （19年文、理科）该题的解答关健是利用1及指数函数、对数函数的性质、偶函数及函数的
13、单调性，考生得分很低。解：由于，在单调递减，则。又，由题设在单调递增， 故，选*19年二卷文、理科14题：已知是定义域为的奇函数，且当时，若，则。 该题的解答关健是利用指数函数、对数函数的计算，根据已知区间函数值及函数的奇偶性转换到未知区间的函数值，可求参数。解：因，所以，由奇函数则：，故，得。*13、已知函数，（1）讨论的单调性（19年文、理科）（2）当，时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围（文科）（3）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出的所有值，若不存在，说明理由。（理科）该题的第一问是常规解法，由于题设为三次函数，且三次方的系数大于零，若有两个驻点（单调区间
14、的分界点、可能的极值点），则单调区间必为增减增，第二问判定最大小值求参数的值也较常规，关健是要分区间讨论，既是重点、又是难点。解：（1），令，得，或，(两个驻点要讨论大小)、若，则当时，在，单调递增；当时，在单调递减，、若，在单调递增，、若，则当时，在，单调递增；当时，在单调递减。（2）当，时，由（1）知在单调递减，在单调递增，所以在区间的最大值为或，即，最小值为，所以，当时，单调递减，的取值范围是，当时，单调递增，的取值范围是， 综上：的取值范围是。（3）满足题设条件的存在。、当时，由（1）知，在单调递增，所以在区间的最小值为，最大值为，此时满足题设条件当且仅当，即，、当时，由（1）知，在单
15、调递减，所以在区间的最大值为，最小值为，此时满足题设条件当且仅当，即，、当时，由（1）知，在先减后增，所以在区间的最大值为或为，最小值为，若，则，矛盾，若，则或或，矛盾，综上：当且仅当，或，时，在区间的最小值为且最大值为。14、19年三卷理科10题双曲线：的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，则的面积为 解：该题考查双曲线的基本性质、渐近线及斜率、面积公式、数学运算，是高频考试题型。由，则一条渐近线为，故斜率，为等腰三 角形，其高为，选。从该题的出题、评卷中可思考及联想出双曲线的性质、渐近线及三角形的面积、数学运算的核心素养，要教学生完成体验过程。2019年二卷文、理科第8题若抛物线的焦
16、点是椭圆的一个焦点，则 解：该题考查抛物线及椭圆的基本性质。由题意抛物线的焦点为，对椭圆，由题意，解得：，选。*2019年二卷文、理科第11题双曲线：的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于，两点，若，则的离心率为 解：该题考查双曲线的基本性质、其关健是 求双曲线的离心率是高频考试题型。由题意及，知是以为直径的圆的直径，设是该圆的圆心，则，为等腰直角三角形，即：，故，选。*2019年一卷理科第16题已知双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，则的离心率为解：该题考查双曲线的基本性质、渐近线、向量、数量积及离心率、数学运算量较大，是高频考试题型。由已知设，则，因
17、，故，所以，即，又设，由，则，解得，故，的离心率。15、19年三卷文科10题已知是双曲线：的一个焦点，点在上，为坐标原点，则的面积为 解：该题考查双曲线的基本性质、面积公式、数学运算，是高频考试题型。由， ，设则，解得边上的高为，选。从该题的出题、评卷中可思考及联想出双曲线的性质、渐近线及三角形的面积、数学运算的核心素养，要教学生完成体验过程。*16、19年三卷文、理科15题设、为椭圆：的两个焦点，是上的一点且在第一象限，若为等腰三角形，则的坐标为。解：该题考查椭圆的基本性质、二次用距离公式、数学运算的技巧，也是高频考试题型。由，设，则由已知得，解得，则的坐标为。注：贵阳一中康后娟老师在“五个
18、一”征文活动中投稿对该题给出了用余弦定理、勾股定理、等面积法、相似三角形、椭圆第二定义、参数方程及圆与椭圆联立七种解法，每一种解法都有解法引导、教学研讨、学习后记及分析总结，值得推荐。*17、2019年文、理科21题已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程（文科），求四边形的面积（理科）。解：解题的思路是先从抛物线的两条切线的斜率破题，过定点是将含参数项的未知数令为零，另一个未知数得常数即可；第二问是将直线方程与抛物线方程联立得一个二次方程并用韦达定理及圆与直线相切的垂直关系定出参数的值和点到
19、直线的距离，即可得圆的方程及四边形的面积。卷二的21题（也是圆锥曲线题）更难，计算量大，仅供老师参考。（1）设，则，由于，所以切线的斜率为，故，即，又设，同理可得，故直线的方程为，所以直线过定点；（2）由上得的直线方程为，联立 得，故，设为线段的中点，则，由于，而，与向量平行，所以，解得或， 对于文科题：当时，所求圆的方程为当时，所求圆的方程为对于理科题：设，分别为点，到直线的距离，则，四边形的面积当时，当时，所以四边形的面积为或。注：全国卷一理科第19题是解析几何的抛物线，在已知条件下求一直线方程及两点间的距离，难度适中，可作练习。全国卷二理科第21题是解析几何的求动点轨迹为椭圆及证明一个三
20、角形为直角三角形。第一问不难，但第二问运算量较大。*2019年二卷21题文科：已知函数，证明（1）存在唯一极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。解：该题的第一问是求的唯一零点，再判断的单调性得唯一极值点，第二问是求出分别在及的零点，且互为倒数，有难度。（1）的定义域为，由单调递增，单调递减，故单调递增，（或）又，故存在唯一的，使得，又当时，单调递减，当时，单调递增，因此存在唯一的极值点；（2）由（1）知，又，所以在内存在唯一的根，由，得，又，故是在的唯一根，综上所述：有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数。*2019年二卷20题理科：已知函数，（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个
21、零点；（2）设是的一个零点，证明在的切线也是的切线。解：该题第一问是由的单调性分别在两个区间利用零点定理得到两个零点，第二问构思较新，技巧性较高，有一定难度。（1）的定义域为，故在上单调递增，又，所以在上有唯一零点，即又，故在上有唯一零点，综上在有且仅有两个零点；（2）曲线在切线的斜率为，因，故在曲线上，曲线在切线的斜率为，由题设，即，故直线的斜率为所以曲线在切线是曲线的切线。19年一卷文科10题双曲线：的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为 解：该题考查双曲线的基本性质、渐近线及斜率、诱导公式、离心率、数学运算，是高频考试题型。由，则，选。*18、如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲
22、线是弧，曲线是弧，曲线是弧。（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点在点上，且，求的极坐标。该题与往年的题型不同，是典型的数形结合题，从图形中得出代数式，题目新颖，但难度不大，考生得分较低，参数方程及极坐标题全省平均分为文科1.46分（69217人选）、理科3.15分（163505人选）。解：（1）由题设可得，弧，所在圆的直角坐标方程和极坐标方程分别为，即；，即；，即；所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程分别为，（2）设，由题设及（1）知若，则，解得，若，则，解得或，若，则，解得，综上：点的坐标为或或或。*2019年全国卷一第22题在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为
23、参数，极坐标系中，直线的极坐标方程为（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值。该题的关健是将曲线消去参数化为直角坐标方程，由于直接消去参数不容易，是曲线可考虑平方可否消去参数，第二问再将曲线化为另一类参数方程，用点到直线的距离公式可求得最小值。解：（1）由，可得，故，所以的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，（2）的参数方程为，为参数，且，上的点到的距离为：当时，。19、设，且。（1）求的最小值，（2）若成立，证明：或。该题是不等式选讲高考中不等式最难的考题，不但要灵活运用基本不等式，且计算量太大，考生难于解答，说明其能力有待提高。解：（1）由题设可得， 故有：得，等式成立的充
24、要条件是：，解得：，故其最小值为；（2）由于：，故有：得，等式成立的充要条件是：，解得：，故其最小值为，由题设知，解得或。四、结合多年评卷分析给老师几点建议如何提高考生解题的能力：1、老师不懂激励，怎么带好学生！数学之美，在于把复杂的问题简单化。老师之美，不单是把难题解得通俗易懂、自身的学术造诣较高，教书堪称优秀，更重要的是激发学生学习数学的热情、提高学生学习数学的兴趣！教会学生思考解题的思路、体验解题的过程、准确的表达题目的要求，学生学得完美，即提高考生解题的综合能力，真正做到教、学合一！2、加强基础知识的教学、强化基本能力（特别是数学核心素养的数学运算及数学直观想象能力）的训练，尤其加强读
25、懂题目、对题目已知条件的理解、破题能力、解题的关健思路训练。3、预测命题趋势，重视数学核心素养逻辑推理能力的培养和训练，一定要善于总结成功的经验、失败的教训和注重应变能力的培养。4、新课改试卷难度不大，考生应依纲扣本，高三年级老师组织学生复习和冲刺要突出最基本概念、基本方法、基本规侓、所有的知识点和运算、化简、表述能力、迁移能力、看图能力，避免偏差。5、学校要加强纪侓性和对学生的人性化管理。老师要着重培养学生认真仔细审题，要教会学生分析思考解题的思路，会用知识点解题，教会学生亲身体验解题的全过程以加强学生的运算化简能力、总结经验教训及教会学生准确的表达以提高其情商和创新能力。5、号召考生一定要
26、分分必争，2019年理科一本线为470分， 469分的人数为545人，二本线为369分， 368分的人数为976人，文科一本线为542分， 541分的人数为225人，二本线为453分， 452分的人数为677人，可见一分之差难倒多少英雄好汉！ *2018年理科一本线为484分，该分数考生人数为575人，483分的人数为553人，二本线为379分，该分数考生人数为817人，378分的人数为942人，文科一本线为575分，该分数考生人数为210人，574分的人数为203人，二本线为477分，该分数考生人数为561人，476分的人数为572人，可见一分之差多么令人懊悔！ 6、建议考生做题不要太多，而
27、在精，不要搞题海战，而应分类按模型解题。每做一题时，首先要思考解题思路、可能涉及到的知识点及哪一类模型，体验解题过程，精确表达出来，同时可参考2015、2016、2017、2018、2019年全国卷考题，注意评卷的给分点，文科考生可参考理科数学的简单题，理科考生可参考文科数学的难题，教学生解答题后一定要善于分析总结并作好笔记，扬优改错，哪些知识应该补充完善，哪些是自己的盲点，学习固然要努力，但更要善于学习。7、高考是对考生综合能力的测试，是考聪明人的，我称之为智慧高考。每一个考生对自己要有一个准确的定位，每年的高考题（就算是2019年网上疯传的特难的全国各类考题，仔细研究难度也不是太大，但较新
28、颖）都有110分到120分可归类于基本简单和中等难度的考题，高中学生主要精力应放在基础数学，重点复习基本简单和中等难度的考题，经过老师的培养、学生的努力是可以争取及格的。考生做选择题及填空题时要充分发挥自己的智商，特值法、图解法、分析计算法、排除法、猜题法等各种方法都可以尝试。做解答及证明题时要充分发挥自己的情商和胆商，把自己懂得的知识表述清楚，尤其是可能的得分点与评卷老师沟通，抓住30%的基本简单题和50%的中等难度题分，20%的难度大的题尽力得部份分，即在考试中沉着冷静，每分必争，尽量争取数学成绩得高分。由于新课标高考数学试卷已实施了六年，新课标高考数学的基本知识点仍可参考2013-201
29、9年二、三卷的考点，要多积累掌握的知识点，如点到平面的距离公式其中是平面外的一点、是平面内的一点、是平面的法向量、换底面换高求立体的体积、解析几何中的点差法、通径点、对抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，代入抛物线得：，有，则 ： 其中是直线与轴交角，及 ，考生可求出直线与椭圆，与圆，与双曲线联立求解的一元二次方程，及利用参数方程的几何意义求距离等，椭圆的中点弦公式为，其中，中点为，为直线的斜率，双曲线的中点弦公式为，抛物线的中点弦公式为，由椭圆第二定义的焦半径公式对，导数应用题要本着先几何后代数即数形结合的方法来解题，第一问只要掌握基本知识，是可以得分的，第二问从来没有简单过，但也要尽
30、其所能得部份分，数学程度较好的同学可补充二阶导数、求极限，罗必达法则等大学选修课程，查缺补漏，要会总结成功的经验和失败的教训，做题一定要有所收获。注意以后考题会增加中外数学文化的内容。五、选择题分析考生要掌握解答选择题的一些常用方法，分析计算法、图解法（一般可用于三角函数类、平面几何、立体几何、解析几何、向量代数及线性规划）、特殊值法（可用于三角函数类、数列类、几何类、向量代数、不等式及比较大小等）、排除法（可用于计算量较大、题目概念性较强、题目较新颖的类型）、逆推法及猜测法等。要能够根据题目条件、备选项的特征，善于总结分析，灵活运用有关的技巧与方法，快速解答，以最节省的时间完成，这是提高解题
31、效果和正确性的有效途径。一般选择题平均一个题解答时间为3.75分,若超过4分钟就请猜测一下。 20002019共20年内：理科选择题中共出现次数如表总和53A58B67C50D2007年3A3B4C2D2008年2A4B4C2D2009年3A3B3C3D2010年2A4B4C2D2011年4A3B2C3D2012年4A2B3C3D2013年3A3B3C3D2014年3A2B3C4D2015年2A4B3C3D2016年4A3B3C2D2017年4A3B3C2D2018年2A4B4C2D2019年3A2B4C3D文科选择题中共出现次数如表总和48A59B69C52D2007年3A2B4C3D200
32、8年2A4B4C2D2009年2A3B4C3D2010年2A4B3C3D2011年2A3B4C3D2012年2A3B4C3D2013年2A3B4C3D2014年3A3B4C2D2015年3A3B3C3D2016年3A3B2C4D2017年4A3B3C2D2018年2A4B3C3D2019年2A3B4C3D一般每年考试选择题答案中每个选项至少出现二次，至多出现四次，相对比较平均，（B）（C）占比例较大，约占60，由于每年选择题中有8-9个题比较容易，在此基础上，对难题可猜测一下，一般可选择已解答的选项中出现较少而理论上分析又可能出现较多的选项，以上方法我们称为宏观分析，微观选择，有一定的效果。一
33、般计算量比较大的，有一定难度的，可用选项去验证条件或结论，选A的可能性较大；一般难度较大且内容新颖，平时未见过的题型，多个命题判断正确的，选B、D的可能性较大。下表是2005年到2019年理科选择题第10题到12题的正确答案理科1011122005年 2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年下表是2005年到2019年文科选择题第10题到12题的正确答案文科1011122005年 2006年2007年2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年201
34、7年2018年2019年*1、函数的最大值为解：解法一：，选。解法二：选。该方法的关健是将化成一个余弦函数。解法三：由观察法知当时，正余弦都取最大值。，选。2、已知双曲线：的离心率为，则点到的渐近线的距离为 (18年文科)解：该题考查双曲线的离心率、渐近线及点到直线的距离、数学运算的核心素养，是高频考试题型。由，则，故，的渐近线为，点到的渐近线的距离为，选。从该题的出题、评卷中可思考及联想出双曲线的性质、离心率、渐近线及点到直线的距离、数学运算的核心素养，要教学生完成体验及表达过程。3、直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是解：该题考查直线与轴，轴的交点坐标，圆心坐标、点到直
35、线的距离及三角形面积，作图等数学抽象的核心素养。(18年文、理科)，圆的圆心为，到直线的距离为，为等腰直角三角形，圆的半径为，作直角三角形草图，故，选。从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想各类三角形的构成、三角形的内心、外心、重心、垂心，各类三角形（锐角、钝角、等腰、直角、等边三角形等）的性质，如三角形的角平分线性质、重心性质、中位线性质、三角形面积公式的几种表示法，在一定条件下三角形最大面积、最长周长的求法等等，可教学生去思考及联想各类四边形（平行四边形、梯形、等腰梯形、直角梯形、菱形、矩形、正方形等）的性质，教会学生去体验和表达解题过程。*3、设、为双曲线：的左、右焦点，是坐标原点，过
36、作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为解：该题考查双曲线的离心率、渐近线及点到直线的距离、余弦定理、数学建模的核心素养。(18年理科)（1）的渐近线为，斜率为；（2）是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，得一直角三角形，则，；（3）作直角三角形及另一三角形草图，在内，令，则由余弦定理：（建数模型），由（4）解得，的离心率，选。注：若将延长至，使，四边形的对角线互相平分是一平行四边形，由，及得及。从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出求椭圆、双曲线的离心率是高频考点，关健是利用已知条件给出的关系，本题在数形结合两个三角形内讨论，一个是直角三角形，利用了正切函数和余弦函数，另一个
37、三角形利用了余弦定理并建立数学模型，是一个好题！要教会学生去体验和表达完整的解题过程。4、2018全国卷二文科11题：已知、为椭圆：的左、右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为 解：作一椭圆，因，由，有，解得：，选。5、2018年二卷12题理科：设、为椭：的左、右焦点，为的左端点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，若，则的离心率为 解：，的直线方程为，由，有，代入得，解得，选。6、2018全国卷一文科11题：已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则 解：，因，则，故，选。7、2018全国卷一理科11题：已知双曲线：，是坐标原点，是的右焦点，过的直线与的两条渐近
38、线的交点分别为，若为直角三角形，则解：，故，渐近线的斜率为，由为直角三角形，联立求解，有，又联立求解，有，则，选。8、设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为(18年文、理科)解：该题考查三角形面积公式、三角形外接圆半径，勾股弦定理，三棱锥体积最大值的直观的核心素养。设等边三角形的边长为，故，等边三角形外接圆半径作图得，三棱锥的高为，三棱锥体积最大值为，选。9、2018年全国二卷文科9题：在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为解：作草图正方体，令边长，平移到，由，则，选.10、2018年全国二卷理科9题：在长方体中，则异面直线与所成角的余弦
39、值为解：作草图建立直角坐标系，令，则，选.11、设，则解：该题考查对数的换底公式、对数函数的图象、性质及逻辑推理的数学核心素养。(18年理科)由，则，又，得，故有：因，故，且，即，选。12、2018年全国二卷理科10题：若在是减函数，则的最大值是解：，作草图得或要使，仅需，故的最大值是，选。13、2018年全国二卷文科10题：若在是减函数，则的最大值是解：，作草图得注：当，即，或要使，仅需，故的最大值是，选。*14、2018年二卷理科11题文科12题：已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则解：由已知得，且关于为对称，故，奇数周期为4，得故。选。15、2018年全国一卷文科10题：在长方体中，
40、 与平面所成角为，则该长方体的体积为解：作草图知，该长方体的体积为，选.16、已知椭圆：，的左、右顶点分别为、，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为：解：本题的关健是圆的半径恰为圆心到直线的距离。由题意得圆的方程为，圆心为，到直线的距离，得，则的离心率为，选。17、已知双曲线：，以的右顶点为圆心、为半径作圆，圆与的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为：解：本题的关健是作草图得为等边三角形，的一条渐近线方程及圆心到直线的距离公式。作草图由得为等边三角形，因，的一条渐近线方程为，圆心到直线的距离，则，选。*18、设函数有唯一零点，则 解：本题的关健是方程为一超越方程，不易求解，观察前半部分
41、，令，得：，则，选。方法二：由，等式成立的充分必要条件为，即，得：，则，选。*19、在矩形中，动点在以点为圆心且与相切的圆上。若，则的最大值为 解：方法一：本法的关健是用向量、圆的参数方程及点到直线的距离或辅助角公式得的最大值。1、 作矩形，设动点：2、由，得，3、连，作，交于，由，及三角形等面积法得，4、由圆心，得圆的普通方程为5、，圆心到直线的距离*，的最大值为3， 或5、圆的参数方程为 ，6、， 的最大值为3，选。 *方法二：本法的关健是用解析几何的方法并拓展。1、连，设在上，且为以点为圆心且与相切的切点，2、3、的直线方程为，代，即，4、过点作的平行线，交圆于，的直线方程为，代，得，5
42、、连，交圆于，得，为最大值。*20、在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是：解：本题的关健是利用底面三角形内切圆的半径与直三棱柱高的一半比较大小得到球的半径。由已知直三棱柱的底面为一个直角三角形，斜边，设直角三角形的内切圆半径为，则由直角三角形的面积，设球的半径为，则，故，。*21、已知为坐标原点，是椭圆：，的左焦点，、分别为的左，右顶点，为上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为：解：本题的关健是作图后利用两组相似三角形得出椭圆的长半轴与焦距间的关系，由得，又由得，故，选。22、已知是双曲线的左、右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则
43、的离心率为 解：本题的关健是给出点的坐标，代入双曲线方程，解出双曲线的关系。作双曲线的草图，得边长为、顶角为、底角为的等腰三角形，得的横坐标为，的纵坐标为，代入双曲线方程，则，选。23、设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是解法一：本题的关健是构造一个三次函数由是奇函数，则，且，可设，当时，要求，可构造，由三次多项式图形的特点，图形增减区间为减、增、减，又由已知得成立的的取值范围是，选。或，是极小值点，是极大值点，又，由图形可得，解法2，由，构造一个函数，则，单调下降，当时，又，故当时，即当时，选。*24、的内角的对边分别为，已知：， 则 (国考)解：本题要用正弦定理，三角形面积公式及半特殊角的值.由正弦定理 ， ， ，选。注 。25、设抛物线的焦点为，直线过且斜角为与交于两点，是坐标原点，则的面积为 解：由，则由，答案：选。或设交点，则，得，则由，答案：选。26、直三棱柱中，分别是的中点，则与所成角的余弦值为：；解：作直三棱柱图找两条异面直线所成的角，取的中点为，连，因，则为与所成角，设，则，（注为等腰三角形，底边一半为），选。方法二：向量解法, 取，则：，选。六、高