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1、人教版高中数学选修2-3学案 全册Administrator1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1） 学习目标 1.通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；2. 了解分类、分步的特征，合理分类、分步； 3. 体会计数的基本原则：不重复，不遗漏.课前预习1、预习目标准确理解两个原理，弄清它们的区别;会用两个原理解决一些简单问题。2、预习内容分类计数原理：完成一件事, 有n类方式, 在第一类方式,中有m1种不同的方法,在第二类方式,中有m2种不同的方法，在第n类方式,中有mn种不同的方法. 那么完成这件事共有 N= 种不同的方法.分步计数原理：完成一件事,需要分成n个 ，做第1
2、步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法。3、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容预习自测1 从高二（1）班的50名学生中挑选1名同学担任学校元旦晚会主持人，有多少种不同挑选结果？2一次会议共3人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？二、新课导学 学习探究探究任务一：分类计数原理问题1：P2思考题1分析：给座位编号的方法可分_类方法?第一类方法用 ，有_ 种方法;第二类方法用 ，有_ 种方法; 能编出不同的号码有_ 种方法.新知：分类
3、计数原理加法原理：如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有种方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同的方法.试试：一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .反思：使用分类计数原理的条件是什么？分类加法原理可以推广到两类以上的方法吗？ 探究任务二：分步计数原理问题2：P3思考题2分析：每一个编号都是由 个部分组成，第一部分是 ，有_种编法，第二部分是 ，有 种编法；要完成一个编号，必须完成上面两部分，每一部分就是一个步骤，所以，不同的号码一共有 个.新知：分步计数原理乘法
4、原理：完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有种不同的方法，完成第2步有种不同的方法，那么，完成这件工作共有种不同方法。试试：P4例2反思：使用乘法原理的条件是什么？分步乘法原理可以推广到两部以上的问题吗？ 典型例题例1 P2例1变式：在上题中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法原理，得到这名同学可能的专业选择共有种.这种算法对吗？小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.例2 P5例3变式：要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同
5、的选法？ 小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事. 课堂练习P6练习三、总结提升 学习小结1. 什么是分类加法原理？加法原理使用的条件是什么？2. 什么是分步乘法原理？乘法原理使用的条件是什么？ 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一个商店销售某种型号的电视机，其中本地产品有4种，外地产品有7种，要买1台这种型号的电视机，有 种不同的选法.2. 某班有男生30人，女生20人，
6、现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有 种不同选法.3. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有 种不同的选法.课后作业 1.P12习题1.1 1，2，3，4，52.乘积展开后，共有 项.(选做)3. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数号码.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（2） 学习目标 1. 能根据具体问题的特征，选择运用分类计数原理、分步计数原理；2. 能综合运用两个原理解决一些简单的实际问题；3. 会用列举法解一些简单问题，并体会两个原理的作用. 学习过程 一、课前准备（预习教材P6 P10，找出
7、疑惑之处）复习：什么是分类计数原理？什么是分步计数原理？它们在使用时的主要区别是什么？ 预习自测：现有高二年级某班三个组学生24人，其中第一、二、三组各7人、8人、9人，他们自愿组成数学兴趣小组. 选其中1人为负责人，有多少种不同的选法？ 每组选1名组长，有多少种不同的选法？ 二、新课导学 学习探究探究任务一：两个原理的应用 问题：P6例题5新知：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前进行仔细分析，正确选择是分类还是分步.分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用加法原理求和；分步要做到“步骤完整”，完成所有步骤，恰好完成任务. 试试：积展开后共有多少项？ 反
8、思：在实际问题中，一个问题可能同时使用两个原理，有时还可能多次使用同一原理. 典型例题例1 P7例题6变式：P7例题7 小结：使用分步计数原理时，要注意各步中所有的可能情况，做到不重不漏.例2 P7例题8变式：随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容.交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 动手试试练1. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进
9、出商场的方式？练2. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）三、总结提升 学习小结1. 正确选择是分类还是分步的方法2. 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”. 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有 种不同的选法.2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，
10、12，16中任意一个数作分母，可以构成 个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合0，1，2，3，4，5内取值的不同点共有 个.5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是 . 课后作业 1.P13 1，22.设，则在直角坐标系中满足条件的点共有 个；3.在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=1，3，5，7, y轴上的截距在集合C=2，4，6，8内取值的不同直线共有 条. 4. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是 .（选做）5. 用1，2，3三个数字，可组成 个无重复
11、数字的自然数.（选做）6.甲乙丙3位同学选修课程，从3门课程中，甲选修2门，乙丙各选修1门，则不同的选修方案1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（3）-两个原理的应用学习目标能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分部乘法计数原理解决一些简单的实际问题要点自测1由数字2，3，4，5可组成_个三位数， _个五位数2商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有_种不同的选法要买上衣、裤子各一件，共有_种不同的选法3大小不等的两个正方体玩具，分别在各面上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的面标着的两个数字之积不小于20的情形有_种例题精选例1：将5封信投入3个邮筒，不
12、同的投法共有（ ）A 种B 种C 种D 种变式：1。将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有（ ）A种B 种C18种D36种2。有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军，冠军获得者共有-种可能例2：有5种不同的颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色（1） 共有多少种不同的涂色方法？1234（2） 若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？变式：把一个圆分成3个扇形，现用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种不同的涂法？例3：某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲乙丙三人
13、中产生，最后一棒只能只能从甲乙两人中产生，则不同的传递方案共有-种。变式：在由数字1，2，3，4，5，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145小于43521的数共有多少个？ 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差当堂检测：1. 一个书包内有7本不同的小说，另一个书包内有5本不同的教科书，从两个书包中任取一本书的取法有（ ）A. 7 B. 5 C. 12 D. 352. 在所有的两位数中个位数字比十位数字大的两位数有多少个？3. 用0，1，2，3，4排成可以重复的5位数，若中间的三位数字各不相同，首末两位数字相同，这样的5位数
14、共有（ ）个A. 480 B. 240 C. 96 D. 484.8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人一本有多少种不同的分法？5.3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种住宿方法？课后作业：1已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是（ ）A2B12C22D252集合A、B的并集AB = a1，a2，a3，当AB时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)共有多少个？3用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有
15、多少种不同的取法？4集合A=a,b,c,d,e,集合B=1,2,3,问A到B的不同映射f共有多少个?B到A的不同映射g共有多少个? 5.用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数的偶数？数字不重复的三位数的奇数？ （2）可以组成多少个小于1200的自然数？（选做）6. 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？1.2.1. 排列（1）学习目标1. 了解排列、排列数概念的来源；2. 了解排列数公式的推导，并能推导排列数公式，会做无附加条件的排列问题；3. 能熟练准确进行排列数
16、的计算课前预习仔细阅读课本P14P17相关内容，思考下面问题：问题1：从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题2：由数字1、2、3、4可以组成多少个没有重复数字的两位数？ 这两个问题从字面上看是没有任何关系的，但我们在计算方法数时，计算公式又是一致的，这里面到底有什么联系？你还能不能提出类似的问题，这此问题可不可以淡化实际背景（不再考虑四个人，2项活动或是4个数字等），这两个问题可进一步抽象成为与问题实际背景无关的一类数学问题，如果我们将一个实际问题中所考察的对象给一个名称（数学中叫元素，这个名称与构成集合对象
17、是同名的），那么这两个貌似无关问题就可以归结为一个问题，即 。结论： 排列的定义概念形成1、元素： 。2、排列：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的 排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面： 按一定的 排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：元素 ，元素的排列 也相同预习自测（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长；（3）从10名学生中选2名学生干部；上述问题中哪个是排列问题？为什么？ 新课导学新知1 排列数课前预习中的两个问题可抽象为：从4个不同
18、元素中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？在实际计数中，我们经常会遇到这样的问题：从若干个不同元素（比如个）中，任取部分（比如（）个）元素的所有排列的个数，叫做个元素中取出元素的排列数，在数学中用符号 表示思考：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 试试(1) 从4个不同元素a，b, c，d中任取2个的排列数是 (2) 从n个不同元素中取出2个元素的排列数是 (3) 从n个不同元素中取出3个元素的排列数 (4) 从n个不同元素中取出m（）个元素的排列数是 新知2 排列数公式 阅读课本P，想一想，的值是多少？更一般的呢？推导排列数公式使用的是 原理。排列数公式： 排
19、列数公式的特征是： ，你是怎么记忆的？新知3 全排列特别地，从n个不同元素中全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，用公式表示为 ，记 如果使用阶乘这一记号，排列数公式可有另一种形式 规定 0! =1 .想一想为什么？思考：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？从形式上看，第二个公式的结构明显比第一外公式要简单，是不是在排列数的计算中，用第二个比较方便呢？ 典型例题例1计算：; ; .变式：计算下列各式： ; ; .例2. 求证： 分析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。反思：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？将抽象的排列数还原为
20、实际问题，把枯燥的公式还原为有趣的实例，构造一个计数问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，也是一种证明的方法哦！并且对公式的记忆有很大的帮助。例3. 课本P18 例2例4. 课本P18 例3分析：注意排列公式应用的条件，排列数公式只能用在从n个不同元素中取出m个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用。课堂练习P20练习3、5、6概括总结1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式.3. 是排列的特征4.两个排列数公式的用途：乘积形式多用于 ，阶乘形式多用于 。你认为本节课的主要内容是_学习评价你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
21、当堂检测：1计算： ;2. 计算： ；3已知，那么 ；45人站成一排照相，共有 种不同的站法；5从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到 个不同的三位数.课后作业P27习题A组1，3，4，51.2.1. 排列（2）学习目标1掌握排列数公式；2. 使用排列数公式解决一些简单的应用问题（包括元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法等）.课前预习复习1：什么叫排列？排列的定义包括两个方面分别是 和 ；两个排列相同的条件是 相同， 也相同复习2：排列数公式： （）全排列数： .复习3 从5个不同元素中任取2个元素的排列数是 ，全部取出的排列数是 探究：用0到9这10个数字，可以
22、组成多少个没有重复数字的三位数？对于这样的问题，由于数0和三位数的首位的特殊性，就不能直接用排列数解决了。如果在需排列的元素中的某些元素有特殊要求，或是某个位置有特殊要求，此时可先考虑此元素或此位置的排列方法，再考虑其它元素的排列办法叫元素分析法或位置分析法。本题用元素分析法就是，0不能在百位，是特殊元素，可先排0，再排其它元素，因此三位数中可以有0也可无0，所以分为有0，无0两类计算：（1）有0，则0可在个位或十位,共有 种排法；（2）无0，则有 种方法。若用位置分析法，因百位不可为0，可先确定百位，那么个位、十位就没有要求了，再排其它位，方法数就是： 元素分析法与位置分析法是处理附加条件的
23、排列问题的基本分析方法。预习自测1用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） A24个 B30个 C40个 D60个2用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A8B24C48D1203. 个位数与十位数之和为奇数的两位数有 （ ） A40个 B45个 C50个 D55个 新课导学探究任务：进一步解决特殊排列问题的基本方法例1. 6名男生和2名女生排成一排， （1）若2名女生必排首位或末位，有多少种不同的排法？（2）若2名女生既不在首位也不在末位，有多少种不同的排法？小结 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元
24、素，然后再考虑一般对象的安置问题，常用方法如下：（1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理（2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理（3）当问题的反面简单明了时，可采用间接法，从“对立事件”出发用减法元素分析法与位置分析法是分析排列问题的基本方法，但在一些排列问题时，我们必须掌握一定的解题技巧，下面来研究两种常见的相邻排列和分离排列问题的处理方法。例2 6名男生和2名女生排成一排， （1）若2名女生排在一起，有多少种不同的排法？（2）若2名女生不相邻，有多少种不同的排法？变式：4男4女排成一排，（1）同性者相邻，有多少种不同的站法？（2）同性者不能相邻，有多少种不同的站法？小结
25、：（1）若要求某些元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。（2）若要求某些元素分分离，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上例3 用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.（1）没有重复数字的四位偶数？（2）比1325大的没有重复数字四位数？变式：用0，1，2，3，4，5，6七个数字，（1）能组成多少个没有重复数字的四位奇数？（2）能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？ 动手试试练1.从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在
26、不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？ 练2. 在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？ 学习小结1. 正确选择是分类还是分步的方法，分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整.2.正确分清是否为排列问题满足两个条件：从不同元素中取出元素，然后排顺序. 知识拓展有4位男学生3位女学生排队拍照，根据下列要求，各有多少种不同的排列结果？（1）7个人排成一排，4个男学生必须连在一起；（2）7个人排成一排，其中甲、乙两人之间必须间隔2人.学习评价你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 当堂检测：1用0到9这10个数字，可以组成没有重复
27、数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D6482有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ） A种 B种 C种 D种3现有4个男生和2个女生排成一排，两端不能排女生，共有 种不同的方法.4甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） A12种 B18种 C24种 D96种5在高一、高二级进行的演讲比赛中，两个年级各派3名代表，年级间轮流发言，那么不同的发言顺序共有（ ）A36种 B72种 C108种 D720种课后作业1.一个学生有20本不同的书.所有这些书能够以多少种
28、不同的方式排在一个单层的书架上？ 1.2.2. 组合（1）学习目标1. 理解组合、组合数的概念；2. 清楚排列与组合的区别与联系，可推导组合数计算公式，会做无附加条件的组合问题.3. 能准确简便进行组合数的计算课前预习仔细阅读课本P21P23相关内容，思考下面问题1排列定义中对元素有什么要求? 2下面两个问题中的区别是，其中 是排列问题。 （1）从甲，乙，丙3名同学中选出2人去参加一项活动，求不同的选法种数。 （2）从甲，乙，丙3名同学中选出2人担任正副班长，求不同的选法种数。 思考：这两个问题区别是什么？联系又是什么？能不能把问题（1）转化为问题（2）处理？3.思考：组合的定义是什么？与排列
29、与什么区别？怎么判断一个问题是排列还是组合？试试：试写出集合的所有含有2个元素的子集，这是排列还是组合问题？预习自测判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？反思：组合与元素的顺序 关，两个相同的组合需要 个条件，是 ；排列与组合有何关系？ 新课导学探究任务一组合数的概念：类比排列数的定义，可以得到组合数的定义从个 元素中取出个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示探究任务二 组合数公式一个自然的想法，组合数的计算能不能化为我们学过的排列数来
30、计算。先回到课前预习（2）从甲，乙，丙3名同学中选出2人担任正副班长，求不同的选法种数。对这个排列问题我们可以不妨用分步计数乘法原理来做。第一步：先从三人中选两人出来，不安排职务，有种方法；第二步：再将选出来的两个人安排正副班长职务，有种方法，那么有种方法所以，即一般地： 规定：1 典型例题例1：计算：（1） （2）； （3）反思：观察（1）（2）的结果，你会得到什么结论？能不能构造一个事件解释？这个结论对你在今后进行组合数的计算时有什么帮助？练习：课本P25第5、6题例2.课本P23例6.例3. 课本P24例7练习：P25练习3、4题小结：排列不仅与元素有关，而且与元素的排列顺序有关，组合只
31、与元素有关，与顺序无关，要正确区分排列与组合. 学习小结1. 正确理解组合和组合数的概念2.组合数公式：或者：你认为本节课的主要内容是_学习评价你完成本节学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差当堂检测：1. 若8名学生每2人互通一次电话，共通 次电话2. 设集合，已知，且中含有3个元素，则集合有 个.3. 计算：= .4. 组合数C（nr1，n、rZ）恒等于（ ） AC B(n+1)(r+1)C Cnr C DC5. 写出从中每次取3个元素且包含字母，不包含字母的所有组合 课后作业课本P27习题1.2 第2，9，10，11题1.2.2 组合（2）学习目标1了解组合
32、数的一个性质并能利用其进行组合数计算；2. 进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的有限制条件的组合应用问题；3了解解决相同元素的分配问题（名额分配）的隔板法。课前预习阅读课本P25P26探究前的内容。复习1：从 个 元素中取出 个元素 一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从 个 元素中取出 个元素的 组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号 表示.复习2： 组合数公式： 思考：高二（1）班有60名同学， 从中选出8名同学组成班级篮球队有多少种选法？ 从中选出52名同学不参加班级篮球队有多少种选法？ 上面两个问题有何关系？组合数的性质1：一般地，从n个不
33、同元素中取出个元素后，剩下个元素因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：预习自测1. 计算：= 2. 平面内有10个点，任意3点不在一条直线上，这10个点可以构成 个三角形。3. 学校开设了6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有 种选法，若要求每个学生至少从中选学3门，共有 种选法 新课导学探究任务1：有限制条件的组合应用问题例1.课本P24例8概念辨析：对于本例的（3），有同学说除了课本所给的两种方法外，还可以这样思考，为保证一定有次品，先
34、从两件次品中选取一件有种方法，再从剩下99件产品的选出两件，有，共有种方式，这样做对吗？由此我们在解决排列组合问题中选取元素时要注意什么？变式：已知集合，求（1）含有5个元素的A的子集个数（2）含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的A的子集个数。例2：平面内有10个点，恰好有4个点在一条直线上，其余的任意3点都不在一条直线上，这10个点可以构成多少个三角形？分析：按元素分析的思想，将4个在一条直线上的点作为特殊元素优先考虑，那么可以将10个点分成两类：第一类是共线的4个点，第二类是其余不共线的六个点。那么要能构成三角形可以从第一类取2个点，第二类取1个点；或是从第一类取1个点，第二类取2个点；
35、或是从第二类取3个点。当然，另一个角度就是从对立面考虑，想一下，任取三个点不能构成三角形的情形有多少种？探究任务2：相同元素的分配问题例3. 某校高二年级有6个班级，现要从中选出8人组成高二年级篮球队参加县高中年级篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加，这8个名额有多少种不同的分配方案？ 分析：名额分配问题，名额之间没有区别，第一种想法就是先每个班分1个，那么还剩下2个名额，这两个名额可以全部给1个班，有 种方法，也可以给两个班，每班1人有 ，故分配方案有 种另一方面，由于名额之间没有区别，可以把它们视作是排成一排的8个相同的小球，要把这8个小球分开成6段，且每段至少一个小球，为达到这个目的，我
36、们把这8个球拉开，每两个球之间空出一个位置，两端不留位置，共7个位置，现在要把这7个位置中放入5个隔板，则每一种放法把这8个球都能分成6段，得到的结果对应于一种分配方案，故有种放法，这样的方法叫隔板法。 如果例3中，将选出8人改为选出9人，其余条件不变，你再用上面的两种方法再做一次，体会隔板法处理相同元素的分配问题的优势。变式1. 将10个相同的小球放入4个盒子，每盒不空，有有 不同的方法。变式2. 10个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，要求每个盒子里的球数不少于该盒子的编号数，问有 不同的方法 学习小结1. 公式的组合意义及适用范围；2. 组合问题同类元素的选取一般要一次选够，不要追加元素，