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1、4.3 4.3 公公 式式 法法1. 多项式的分解因式的概念：多项式的分解因式的概念： 把一个多项式化为把一个多项式化为 的形式，的形式，叫做把这个多项式分解因式叫做把这个多项式分解因式.2. 公因式公因式的含义、的含义、提公因式法提公因式法分解因式；分解因式；3. 分解因式与整式乘法是分解因式与整式乘法是互逆互逆的恒等变形的恒等变形;几个整式的积几个整式的积(a+b)(a-b)= .(ab)2= .22a -b22a2abb（1）观察多项式）观察多项式 x2-25 和和 9x2-y2，它们有什么共同特征？它们有什么共同特征？（2）尝试将它们分别写成两个因式）尝试将它们分别写成两个因式的乘积的
2、乘积.多项式多项式x2- -25和和9x2- -y2都可以写成两个式子的都可以写成两个式子的平方差的形式：平方差的形式：x2- -25=x2- -52， 9x2- -y2 =(3x)2- -y2把乘法公式把乘法公式(a+b)(a- -b)=a2- -b2反过来，就得到反过来，就得到a2- -b2=(a+b)(a- -b)，于是有：，于是有：x2- -25=x2- -52=(x+5)(x-5)；9x2- -y2 =(3x)2- -y2=(3x+y)(3x- -y).22()()ababab 22()()ababab (整式乘法整式乘法)(分解因式分解因式)下列哪些式子可以利用下列哪些式子可以利用
3、平方差公式分解因式？平方差公式分解因式？ (1) 9x2- -4y2(2) 16x2- -y2(3) - -16x2+y2(4) 16x2+y2(5) - -y2- -x2可以可以可以可以可以可以不可以不可以不可以不可以解：解：9x2- -4y2=(3x)2- -(2y)2=(3x+2y) (3x- - 2y)22ab ()()abab 例：例：分解因式：分解因式： 9x2- -4y2例例1 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1）25- -16x2解：解：25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x).（2）2194ab 解：解：22211119(3 )()(3)(3)42
4、22abababab22例：例：分解因式：分解因式：(m+n)2- -9解：解：(m+n)2 - -922()3m n 22ab (3)(3)mnmn() ()abab 例例2 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：（1）9(m+n)2- -(m- -n)2（2）2x3-8x解解：（：（1）9(m+n)2- -(m- -n)2=3(m+n)2-(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)注意：每个注意：每个因式要分解因式要分解到不能再分到不能再分解为止解为止.例例2 把下
5、列各式分解因式：把下列各式分解因式：解：（解：（2）2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2)注意：当多项式注意：当多项式的各项含有公因的各项含有公因式时，通常先提式时，通常先提出这个公因式，出这个公因式，然后再进一步分然后再进一步分解因式解因式.例例2 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(1) x+y=(x+y)(x+y)( )(2) x- -y=(x+y)(x- -y)( ) (3) - -x+y=(- -x+y)(- -x- -y)( ) (4) - -x - -y =- -(x+y)(x- -y)( ) 1. 判断正误判断正误(1) a2b2-
6、-m2 (2) (x+y+z)2- -(x- -y- -z)2(3) x2- -(a+b- -c)2 (4) - -16x4+81y4 2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：答案：答案： (1) (ab+m)(ab-m)(2) 4x(y+z) (3) (x+a+b-c)(x-a-b+c) (4) (9y2+4x2)(3y+2x)(3y-3x) 把乘法公式把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a- -b)2=a2- -2ab+b2反过来，就得到反过来，就得到a2+2ab+b2 = (a+b)2a2- -2ab+b2 = (a- -b)2形如形如a2+2ab+b2或或a2-2ab+b
7、2的式子的式子称为称为完全平方式完全平方式.由分解因式与整式乘法的关系可由分解因式与整式乘法的关系可以看出以看出, ,如果把乘法公式反过来如果把乘法公式反过来, ,那么那么就可以把某些多项式分解因式就可以把某些多项式分解因式, ,这种这种分解因式的方法叫做分解因式的方法叫做运用公式法运用公式法. .判断下列各式是不是完全平判断下列各式是不是完全平方式，若不是，说一说怎样方式，若不是，说一说怎样将其变为完全平方式将其变为完全平方式. .(1) a2+4a+4 (2) x2+4x+4y2(3) x2- -6x- -9 (4) a2- -ab+b2 (5) (a+b)2+2(a+b) +1 !是是不
8、是不是不是不是 不是不是 是是完全平方式的完全平方式的特征：特征：两个数两个数（或式子）的（或式子）的平方和，加上平方和，加上或减去这两数或减去这两数（或式子）积（或式子）积的的2倍倍.例：分解因式：例：分解因式：a2+4a+4 解：解： a2+4a+4 =a2+2a2+22= (a + 2)2a2+2ab+b2= (a + b)2例例3 3 把下列完全平方式分解因式：把下列完全平方式分解因式： (1)x2+14x+49；(2) (m+n)2-6(m+n)+9.解：解：(1) x2+14x+49 =x2+27x+72=(x+7)2；(2) (m+n)2-6(m+n)+9= (m+n)2-2 (
9、m+n) 3+32=(m+n)-32 =(m+n-3)2例例4 4 把下列完全平方式分解因式：把下列完全平方式分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2； (2) x24y2+4xy.解：解：(1) 3ax2+6axy+3ay2 = 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2) x24y2+4xy= (x2+4y2- -4xy)= (x2- -4xy+4y2) = x2- -2x2y+(2y)2= - -(x- -2y)2.在进行分解因式时应注在进行分解因式时应注意的问题：意的问题：1.1.首先考虑多项式各项有没有公因式，如首先考虑多项式各项有没有公因式，如果有，先提公因式法，再考虑用公式法；果有，先提公因式法，再考虑用公式法；2.2.公式中的字母可以代表数，也可以代表公式中的字母可以代表数，也可以代表一个式子；分解因式时可以把式子看作一一个式子；分解因式时可以把式子看作一个整体；个整体；3.3.分解因式一定要分解到每个因式都不能分解因式一定要分解到每个因式都不能再分解为止再分解为止. .