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1、1.圆的定义（运动观点）l在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。l固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”rOA知识点一：圆的概念知识点一：圆的概念2.2.圆的定义（集合观点）圆的定义（集合观点）圆是圆是到定点的距离到定点的距离等于定长等于定长的的点的集合点的集合。（2 2）到定点的距离等于定长的点都在圆上。）到定点的距离等于定长的点都在圆上。注：（注：（1 1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）； 经过圆心经过圆心的弦（如图中的的弦（如
2、图中的ABAB）叫做）叫做直径直径COAB连接圆上任意连接圆上任意两点的线段两点的线段（如图（如图ACAC）叫做）叫做弦弦，知识点二：与圆有关的概念知识点二：与圆有关的概念弦弧圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧以以A A、B B为端点为端点的弧记作的弧记作 ，读作，读作“圆弧圆弧AB”AB”或或“弧弧ABAB”ABAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做都叫做半圆半圆COABOBACOAB劣弧与优弧劣弧与优弧小于半圆的弧（如图中的）叫做小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；劣弧；ACAC等圆
3、与等弧等圆与等弧半径相等半径相等的两个圆叫做的两个圆叫做等圆；等圆；在同圆在同圆或或等圆等圆中能够中能够完全重合的完全重合的弧弧叫做叫做等弧；等弧；圆心相同半径不相等圆心相同半径不相等的圆叫做的圆叫做同心圆；同心圆；注：注：（1 1）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。在）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。在同圆或等圆中所有的直径都相等，所有的半径都相等。同圆或等圆中所有的直径都相等，所有的半径都相等。（2 2）半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是优弧也）半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是优弧也不是劣弧。不是劣弧。（3 3）长度相等的弧不一定是等弧。）长度相等的弧不一定是等弧。（4
4、 4）由弦和弧组成的图形叫做弓形。）由弦和弧组成的图形叫做弓形。ABABAB大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ）叫做叫做优弧优弧. .ABCABC（例例1 1：如图，：如图，ABAB为为O O的直径，点的直径，点C C，D D在在O O上，已知上，已知BOCBOC7070，ADOCADOC，则，则AODAOD_度度 例例2 2 如图，如图，ABAB，ACAC为为O O的弦，连接的弦，连接COCO，BOBO并延长，分别并延长，分别交弦交弦ABAB，ACAC于点于点E E，F F，B BC.C.求证：求证：CECEBF.BF.例例3 3 如图所示，如图所
5、示，ABAB为为O O的直径，的直径，CDCD是是O O的弦，的弦，ABAB，CDCD的延长线交于的延长线交于E E点，已知点，已知ABAB2DE2DE，E E1818，求，求AOCAOC的的度数度数 例例4 4 如图，如图，ABAB、CDCD是是O O的直径，且的直径，且ABCDABCD，点，点P P、Q Q为弧为弧CBCB上的任上的任意两点，作意两点，作PECDPECD，PFABPFAB，QMCDQMCD，QNABQNAB，则线段，则线段EFEF、MNMN的大的大小关系为：小关系为：EF_ MN.(EF_ MN.(填填“”“”“”或或“”) )1.1.下面下面3 3个命题：半径相等的两个圆
6、是等圆；长度相等的弧是个命题：半径相等的两个圆是等圆；长度相等的弧是等弧；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真等弧；一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧其中真命题的个数为命题的个数为( () ) A A0 0个个 B B1 1个个 C C2 2个个 D D3 3个个2 2如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB为为O O的直径，的直径，B B6060，BODBOD100100，则，则C C的度数为的度数为( () ) A A5050 B B6060 C C7070 D D80803 3下列四边形：平行四边形；菱形；矩形；正方形其下列四边形：平行四边形；菱形；矩形；正方形其
7、中四个顶点在同一个圆上的有中四个顶点在同一个圆上的有( () ) A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个4 4点点P P到圆上各点的最大距离为到圆上各点的最大距离为10 cm10 cm，最小距离为，最小距离为8 cm8 cm，则此圆，则此圆的半径为的半径为( () ) A A9 cm B9 cm B1 cm C1 cm C9 cm9 cm或或1 cm D1 cm D无法确定无法确定5 5已知已知A A，B B是半径为是半径为6 cm6 cm的圆上的两个不同的的圆上的两个不同的点，则弦长点，则弦长ABAB的取值范围是的取值范围是_cm._cm.6 6已知，如图，已
8、知，如图，OAOA，OBOB为为O O的半径，的半径，C C，D D分别为分别为OAOA，OBOB的中点求证：的中点求证：ADADBC.BC.知识点三：圆的性质圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。OBCDAE 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。应用：应用：直径直径CDCD弦弦ABAB于点于点E EAE=BEAC=BCAD=BD且且AE=BEAE=BE直径直径CDCD与非直径的弦与非直径的弦ABAB交
9、于点交于点E,E,CDABCDABAC=BCAD=BD应用：应用：弦心距（圆心到弦的距离）弦心距（圆心到弦的距离）d，半径，半径r，弦长，弦长a，这三者之间的关系这三者之间的关系2222adrOABE在圆中，解决有关弦的问题时，常在圆中，解决有关弦的问题时，常常要作常要作“弦心距弦心距”作为辅助线。作为辅助线。弦弦心距离、半径、弦长心距离、半径、弦长构成构成直角三角直角三角形形，便将问题转化为直角三角形的，便将问题转化为直角三角形的问题。问题。例例1 1：( (黔东南中考黔东南中考) )如图，已知如图，已知O O的直径的直径CDCD垂直于弦垂直于弦ABAB，垂足为，垂足为点点E E，ACDAC
10、D22.522.5，若，若CDCD6 cm6 cm，则，则ABAB的长为的长为( () ) A A4 cm B4 cm B3 cm C3 cm C2 cm D2 cm D2 cm2 cm623例例2 (2 (南宁中考南宁中考) )在直径为在直径为200 cm200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图若油面的宽截面如图若油面的宽ABAB160 cm160 cm，则油的最大深度为，则油的最大深度为( () ) A A40 cm B40 cm B60 cm C60 cm C80 cm D80 cm D100 cm100 cm例例3 (3 (茂名中考茂名中考) )
11、如图，小丽荡秋千，秋千链子的长如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OAOA为为2.52.5米，米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离ABAB为为3 3米，则秋千摆米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差( (即即CD)CD)为为_米米 1.(1.(舟山中考舟山中考) )如图，如图，O O的直径的直径CDCD垂直弦垂直弦ABAB于点于点E E，且，且CECE2 2，DEDE8 8，则则ABAB的长为的长为( () ) A A2 B2 B4 C4 C6 D6 D8 82 2如图，已知如图，已知O O的半径为
12、的半径为4 4，OCOC垂直弦垂直弦ABAB于点于点C C，AOBAOB120120，则弦则弦ABAB的长为的长为_3 3如图，在如图，在O O中，中，ABAB、ACAC是互相垂直的两条弦，是互相垂直的两条弦，ODABODAB于点于点D D，OEACOEAC于点于点E E，且，且ABAB8 cm8 cm，ACAC6 cm6 cm，那么，那么O O的半径的半径OAOA长为长为_4 4如图，如图，ABAB是是O O的弦，的弦，ABAB长为长为8 8，P P是是O O上一个动点上一个动点( (不与不与A A，B B重重合合) )，过点，过点O O作作OCAPOCAP于点于点C C，ODPBODPB于
13、点于点D D，则，则CDCD的长为的长为_5 5( (黔东南中考黔东南中考) )如图，如图，ADAD是是O O的直径，弦的直径，弦BCADBCAD于于E E，ABABBCBC1212，则，则OCOC_6 6( (邵阳中考邵阳中考) )如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度的跨度ABAB3 m3 m，弓形的高，弓形的高EFEF1 m1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所弧求出所弧ABAB在圆在圆O O的半径的半径r.r.7 7( (佛山中考佛山中考) )如图，如图，O O的直径为的直径为10 cm10 cm，弦
14、，弦ABAB8 cm8 cm，P P是弦是弦ABAB上上的一个动点，求的一个动点，求OPOP的长度范围的长度范围综合题综合题8 8( (湖州中考湖州中考) )已知在以点已知在以点O O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ABAB交交小圆于点小圆于点C C，D(D(如图所示如图所示) )(1)(1)求证：求证：ACACBDBD；(2)(2)若大圆的半径若大圆的半径R R1010，小圆的半径，小圆的半径r r8 8，且圆心，且圆心O O到直线到直线ABAB的距的距离为离为6 6，求，求ACAC的长的长 圆心角圆心角 所对所对的弧为的弧为 AB，A AO OB BOAB所对的
15、弦为所对的弦为AB；1. 1.圆心角：圆心角：2.2.圆心角与弧的关系：圆心角与弧的关系：圆心角的圆心角的度数度数和它所和它所对的弧的对的弧的度数相等度数相等。OABAB顶点顶点在在圆心圆心的角的角, ,叫叫圆心角圆心角，如，如 AOBAOB定理：定理：在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心相等的圆心角角所对的所对的弧弧相等，所对的相等，所对的弦弦相等，相等，所对的弦的所对的弦的弦心距弦心距相等。相等。3.3.弧、弦、圆心角与弦心距之弧、弦、圆心角与弦心距之间的关系：间的关系：OABCABC 推论：在同圆或等圆推论：在同圆或等圆中中，如果两个圆心角、，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两两条
16、弧、两条弦或两条弦的弦心距中条弦的弦心距中有一有一组量相等组量相等，那么它们，那么它们所对应的所对应的其余各组量其余各组量都分别相等都分别相等。例例1 1：如图，如图，A A，B B，C C，D D是是O O上的四点，且上的四点，且ADADBCBC，则，则ABAB与与CDCD的大小关系为的大小关系为( () ) A AABABCD BCD BABABCDCD C CABABCD DCD D不能确定不能确定例例2 2如图，已知如图，已知A A，B B，C C，D D是是O O上的点，上的点，1 12 2，则下列结论中正确的有则下列结论中正确的有( () ) ； ；ACACBDBD；BODBODA
17、OC.AOC. A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个CDCD= =ABABACAC= =BDBD例例3 3 如图，如图，ABAB，DEDE是是O O的直径，点的直径，点C C是是O O上的一点，上的一点，且且 ，求证：，求证：BEBECE.CE.CECE= =ADAD1.1.如图，在如图，在O O中，已知弦中，已知弦ABABDEDE，OCABOCAB，OFDEOFDE，垂足分别为垂足分别为C C，F F，则下列说法中正确的个数为，则下列说法中正确的个数为( () ) DOEDOEAOBAOB；ABABDEDE；OFOFOCOC；ACACEF.EF. A A1
18、1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个2.2.如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，E E是是OAOA的中点，的中点，F F是是OBOB的中点，的中点，MEABMEAB于点于点E E，NFABNFAB于点于点F.F.下列结论：下列结论：AMAMMNMNNBNB；MEMENFNF；AEAEBFBF；MEME2AE.2AE.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_3.3.如图所示，如图所示，O O1 1和和O O2 2为两个等圆，为两个等圆，O O1 1AOAO2 2D D，O O1 1O O2 2与与ADAD相交于点相交于点E E，ADAD与与O O1 1
19、和和O O2 2分别交于点分别交于点B B，C C，求证：，求证：ABABCD.CD.4.4.如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ACACCDCD，CODCOD6060. . (1) (1)AOCAOC是等边三角形吗？请说明理由；是等边三角形吗？请说明理由； (2)(2)求证：求证：OCBD.OCBD.5.5.如图所示，以如图所示，以ABCDABCD的顶点的顶点A A为圆心，为圆心，ABAB为半径作圆，交为半径作圆，交ADAD，BCBC于于E E，F F，延长，延长BABA交交A A于于G G，求证：，求证：CECEEF.EF.知识点六：圆周角知识点六：圆周角1. 1.圆周角：圆周角
20、：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫做圆周角?(5)?(4)?(3)?(2)?(1)?O?B?AOBAC2. 2.圆周角定理圆周角定理(1)(1)定理：定理：在在同圆同圆或或等圆等圆中，中，同弧同弧或或等弧等弧所对的所对的圆周角相等圆周角相等，都等，都等于这条弧所对的于这条弧所对的圆心角圆心角的的一半一半OCABOCABOCABAOBAOB和和ACBACB是是ABAB所对的圆心角和所对的圆心角和圆周角圆周角AOB=2ACBAOB=2ACB几何语言：几何语言：(2).(2).推论推论1:1:半圆半圆（或直径）所对的（或直径）所对的圆周角圆周角是是直角直角
21、; ; 9090的圆周角所对的的圆周角所对的弦弦是是直径直径知识点六：圆周角推论知识点六：圆周角推论在在O O中，中，ABAB是直径是直径 C=90C=90C=90C=90 AB AB是直径是直径推论推论2 2：同圆或等圆：同圆或等圆中，中，相等的圆周角相等的圆周角所对的所对的弧是弧是等弧；等弧；推论推论3：三角形三角形一边上的中线等于这边的一半一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形直角三角形在在ABCABC中，中，DC=DA=DBDC=DA=DBABCABC是直角三角形或是直角三角形或C=90C=90在在O O中，中，ACB=ACB=DEFAB=DFDEFAB
22、=DF推论推论4：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。组量也相等。例例1. (1. (娄底中考娄底中考) )如图，将直角三角板如图，将直角三角板6060角的顶点放在圆心角的顶点放在圆心O O上，斜边和一直角边分别与上，斜边和一直角边分别与O O相交于相交于A A、B B两点，两点，P P是优弧是优弧ABAB上上任意一点任意一点( (与与A A、B B不重合不重合) )，则，则APBAPB_例例2 (2
23、(云南中考云南中考) )如图，点如图，点A A、B B、C C是是O O上的点，上的点，OAOAABAB，则，则C C的的度数为度数为_ 例例3 (3 (朝阳中考朝阳中考) )如图是一个圆形人工湖的平面图，弦如图是一个圆形人工湖的平面图，弦ABAB是湖上的是湖上的一座桥，已知桥长一座桥，已知桥长100 m100 m，测得圆周角，测得圆周角ACBACB3030，则这个人工湖，则这个人工湖的直径为的直径为_m. _m. 例例4 4 如图，已知如图，已知A A，B B，C C，D D是是O O上的四个点，上的四个点，ABABBCBC，BDBD交交ACAC于点于点E E，连接，连接CDCD，AD.AD
24、.求证：求证：DBDB平分平分ADC.ADC.例例5. (5. (江西中考江西中考) )如图，如图，ABAB是半圆的直径，图是半圆的直径，图1 1中，点中，点C C在半圆外；在半圆外；图图2 2中，点中，点C C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图 (1)(1)在图在图1 1中，画出中，画出ABCABC的三条高的交点；的三条高的交点； (2)(2)在图在图2 2中，画出中，画出ABCABC中中ABAB边上的高边上的高例例6 6 如图，如图，C C经过原点，并与两坐标轴分别经过原点，并与两坐标轴分别交于交于A A，D D两点，已知两点，已知OBAOBA30
25、30，点，点A A的坐标的坐标为为(2(2，0)0)，则点，则点D D的坐标为的坐标为_1.1.( (台州中考台州中考) )下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是判断圆弧为半圆的是( () )2.(2.(牡丹江中考牡丹江中考) )如图，如图，ABDABD的三个顶点在的三个顶点在O O上，上，ABAB是直是直径，点径，点C C在在O O上，且上，且ABDABD5252，则，则BCDBCD等于等于( () ) A A3232 B B3838 C C5252 D D6666 3.(3.(湛江中考湛江中考) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，的
26、直径，AOCAOC110110，则，则D D( () ) A A2525 B B3535 C C5555 D D70704.(4.(贵阳中考贵阳中考) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点D D在在O O上，上，BODBOD130130，ACODACOD交交O O于点于点C C，连接连接BCBC，则，则B B_度度5.5.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABBCBC2 2，以，以ABAB为直径的为直径的O O分别分别交交BCBC，ACAC于点于点D D，E E，且点，且点D D为边为边BCBC的中点的中点(1)(1)求证：求证：ABCABC为等边三角形；为等边三角形；(
27、2)(2)求求DEDE的长的长 圆的内接四边形的圆的内接四边形的对角互补对角互补，并且，并且任意一个外角等于任意一个外角等于它的内对角它的内对角知识点七：圆内接多边形知识点七：圆内接多边形1. 1.圆内接多边形的定义：圆内接多边形的定义：如果一个多边形的如果一个多边形的所有顶点所有顶点都在都在同一个圆上同一个圆上，这，这个个多边形叫做圆内接多边形多边形叫做圆内接多边形，这个圆这个圆叫叫这个多边这个多边形的外接圆形的外接圆。2. 2.圆内接四边形：圆内接四边形： 如果如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边，这个四边形叫做形叫做圆内接四边形圆内接四边形，
28、这个圆叫做这个，这个圆叫做这个四边形的外接圆四边形的外接圆。定义：定义：性质：性质：几何语言表示：几何语言表示：四边形四边形ABCDABCD是是O O内接四边形内接四边形A+C=180A+C=180ADC+B=180ADC+B=180EDC=BEDC=B例例1 (1 (湘潭中考湘潭中考) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是是O O的内接四边形，的内接四边形，若若DABDAB6060，则，则BCDBCD的度数是的度数是( () ) A A6060 B B9090 C C100100 D D120120例例2 (2 (常德中考常德中考) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD为为O
29、O的内接四边形，的内接四边形，已知已知BODBOD100100，则，则BCDBCD的度数为的度数为( () ) A A5050 B B8080 C C100100 D D130 130 例例3 3 如图，四边形如图，四边形ABCDABCD内接于内接于O O，B B5050，ACDACD2525，BADBAD6565. .求证：求证： (1)AD(1)ADCDCD； (2)AB(2)AB是是O O的直径的直径1.1.如图，如图，ABAB为为O O的直径，点的直径，点C C，D D在在O O上，若上，若AODAOD3030，则，则BCDBCD的度数是的度数是_2.(2.(南京中考南京中考) )如图
30、，在如图，在O O的内接五边形的内接五边形ABCDEABCDE中，中，CADCAD3535，则，则B BE E_3.3.如图，如图，C C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A A与点与点B B，点，点A A的坐标为的坐标为(0(0，4)4)，M M是圆上一点，是圆上一点，BMOBMO120120. .求求C C的半径的半径 4.(4.(佛山中考佛山中考) )如图，如图，O O的内接四边形的内接四边形ABCDABCD两组对边的两组对边的延长线分别交于点延长线分别交于点E E、F.F. (1) (1)若若E EF F时，求证：时，求证：ADCADCABCABC
31、； (2)(2)若若E EF F4242时，求时，求A A的度数；的度数；知识点八：点和圆的位置关系知识点八：点和圆的位置关系圆圆是到定点（圆心）的距离是到定点（圆心）的距离等于等于定长（半径）的点的集合。定长（半径）的点的集合。圆的内部圆的内部是到圆心的距离是到圆心的距离小于小于半径的点的集合。半径的点的集合。圆的外部圆的外部是到圆心的距离是到圆心的距离大于大于半径的点的集合。半径的点的集合。由此，由此，点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种：有三种：如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 dr利用利用d d与与r r的数量关系即可判断点和圆的数量关系即可判断
32、点和圆的位置关系到同时知道了点和圆的位的位置关系到同时知道了点和圆的位置关系，也能确定置关系，也能确定d d与与r r的数量关系。的数量关系。例例1 1：( (遵义中考模拟遵义中考模拟) )已知已知O O半径为半径为6 6，点，点P P在在O O内，则内，则OPOP长可能是长可能是( () ) A A5 B5 B6 C6 C7 D7 D8 8例例2 (2 (宁夏中考宁夏中考) )如图，将如图，将ABCABC放在每个小正方形的边长放在每个小正方形的边长为为1 1的网格中，点的网格中，点A A，B B，C C均落在格点上，用一个圆面去覆均落在格点上，用一个圆面去覆盖盖ABCABC，能够完全覆盖这个
33、三角形的最小圆面的半径是，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是_例例3 (3 (通辽中考通辽中考) )在数轴上，点在数轴上，点A A所表示的实数为所表示的实数为3 3，点，点B B所所表示的实数为表示的实数为a a，A A的半径为的半径为2 2，当点，当点B B在在A A内时，实数内时，实数a a的取值范围在数轴上表示正确的是的取值范围在数轴上表示正确的是( () )过过两两点可以作点可以作无数无数个圆，但这些圆的圆个圆，但这些圆的圆心都在这两点的心都在这两点的连线段的垂直平分线连线段的垂直平分线上上知识点九：圆的确定知识点九：圆的确定连结这三个点，得到一个三角形，连结这三个点，得到一个三
34、角形，这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的内接三角内接三角形形，这个圆叫做三角形的，这个圆叫做三角形的外接圆外接圆，圆心叫做，圆心叫做三角形的外心三角形的外心，三角三角形的外心就是三角形形的外心就是三角形三条边垂直平分线的交点，三条边垂直平分线的交点，它到三角形三个它到三角形三个顶点的距离相等，顶点的距离相等，锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.过过一一点可以画点可以画无数无数个圆个圆AAB2O1O3Ol过过不不在在同一直线上的三个点确定同一直线上的三个点确定一个圆一个圆例例1 1 如图，如图，ABCABC的外接圆圆心的坐标是的外
35、接圆圆心的坐标是_例例2 2 已知：如图已知：如图1 1，在，在ABCABC中，中，BABABCBC，D D是平面内不与是平面内不与A A，B B，C C重合的任意一点，重合的任意一点，ABCABCDBEDBE，BDBDBE.BE.(1)(1)求证：求证：ABDABDCBECBE； (2)(2)如图如图2 2，当点，当点D D是是ABCABC的外接圆圆心时，请判断四边的外接圆圆心时，请判断四边形形BECDBECD的形状，并证明你的结论的形状，并证明你的结论图图1 1图图2 20 0drdr1 1d=rd=r切点切点切线切线2 2drdr交点交点割线割线ldrld rOldr图形图形 直线与圆的
36、直线与圆的 位置关系位置关系 公共点的个数公共点的个数 圆心到直线的距离圆心到直线的距离d 与半径与半径 r 的关系的关系 公共点的名称公共点的名称 直线名称直线名称 . .A AC C B B. . .相离相离 相切相切 相交相交 知识点十一：直线与圆的位置关系知识点十一：直线与圆的位置关系例例1 (1 (白银中考白银中考) )已知已知O O的半径是的半径是6 cm6 cm，点，点O O到同一平面到同一平面内直线内直线l l的距离为的距离为5 cm5 cm，则直线，则直线l与与O O的位置关系是的位置关系是( () ) A A相交相交 B B相切相切 C C相离相离 D D无法判断无法判断例
37、例2 (2 (张家界中考张家界中考) )如图，如图，O O3030，C C为为OBOB上一点，且上一点，且OCOC6 6，以点，以点C C为圆心，半径为为圆心，半径为3 3的圆与的圆与OAOA的位置关系是的位置关系是( () ) A A相离相离 B B相交相交 C C相切相切 D D以上三种情况均有可能以上三种情况均有可能例例3 (3 (黔东南中考黔东南中考)Rt)RtABCABC中，中，C C9090，ACAC3 cm3 cm，BCBC4 cm4 cm，以，以C C为圆心，为圆心，r r为半径作圆，若圆为半径作圆，若圆C C与直线与直线ABAB相相切，则切，则r r的值为的值为( () )
38、A A2 cm B2 cm B2.4 cm C2.4 cm C3 cm D3 cm D4 cm4 cm1 1( (西宁中考西宁中考)O)O的半径为的半径为R R，点，点O O到直线到直线l的距离为的距离为d d，R R，d d是方程是方程x2 24 4xm m0 0的两根，当直线的两根，当直线l与与O O相切时，相切时，m m的的值为值为_2.(2.(铜仁中考模拟铜仁中考模拟) )已知如图，已知如图，BOABOA3030，M M是是OBOB上一点，上一点，以以M M为圆心、为圆心、2 cm2 cm为半径作为半径作M M，点，点M M在射线在射线OBOB上运动，当上运动，当OMOM5 cm5 c
39、m时，时，M M与直线与直线OAOA的位置关系是的位置关系是_3.(3.(河池中考河池中考) )我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为整数的圆称为“整圆整圆”如图，直线如图，直线l l：y ykxkx4 4与与x x轴、轴、y y轴分别交于轴分别交于A A、B B，OABOAB3030，点，点P P在在x x轴上，轴上，P P与与l l相相切，当切，当P P在线段在线段OAOA上运动时，使得上运动时，使得P P成为整圆的点成为整圆的点P P个数个数是是( () A) A6 B6 B8 C8 C10 D10 D1212知识点十二：切线的性质与判定
40、知识点十二：切线的性质与判定1.1.性质定理：性质定理：切线垂直于过切线垂直于过切点的半径切点的半径（或直径或直径）（如图）（如图） 推论推论1 1：过圆心：过圆心垂直于切线垂直于切线的直线必过的直线必过切点切点 推论推论2 2：过切点垂直过切点垂直于切线的直线于切线的直线必过圆心必过圆心以上三个定理及推论也称二推一定理：以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心即：过圆心 过切点过切点 垂直切线中知道其中两个条件推出最后垂直切线中知道其中两个条件推出最后一个条件一个条件 MNMN是切线是切线 MNOAMNOA?N?M?A?O性质：性质：2.2. 相切相切和圆只有和圆只有一一公共点公共点3.
41、3. 圆心到圆心到切切线距离线距离等于半径等于半径2.判定：判定：知识点十二：切线的性质与判定知识点十二：切线的性质与判定（1 1）和圆）和圆只有一个公共只有一个公共点的直线是圆的切线；点的直线是圆的切线；（2 2）到圆心的）到圆心的距离等于圆的半径距离等于圆的半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线（3 3）过半径）过半径外端点且垂直于半径外端点且垂直于半径的直线是切线的直线是切线 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：即：MNOAMNOA且且MNMN过半径过半径OAOA外端外端 MNMN是是O O的切线的切线1、如果已知直线与圆有交点，往
42、往、如果已知直线与圆有交点，往往要作出要作出过这一点的半径，过这一点的半径，再证明直线垂直于这条半再证明直线垂直于这条半径即可；径即可；2、如果不明确直线与圆的交点，往往、如果不明确直线与圆的交点，往往要要作出圆心到直线的垂线段，作出圆心到直线的垂线段，再证明这条垂线再证明这条垂线段等于半径即可段等于半径即可3.切线的判定定理的两种应用切线的判定定理的两种应用 证明一条直线是圆的切线，常常证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线需要作辅助线。 若直线过圆上某一点，则若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点连结圆心和公共点，再证，再证明直线与半径明直线与半径垂直垂直 若直线与圆的公共点没有确定，则
43、过若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作圆心向直线作垂线垂线，再证明圆心到直线的，再证明圆心到直线的距离等于半径距离等于半径。相切。直线证：小圆与厘米为半径作小圆，求为圆心，以厘米，厘米，圆内弦的半径为如图，AB4O38AB8OOBA例例1 1：如图，点如图，点D D在在O O的直径的直径ABAB的延长线上，点的延长线上，点C C在在O O上，上，ACACCDCD，D D3030. .求证：求证：CDCD是是O O的切线的切线例例2 (2 (永州中考永州中考) )如图，已知如图，已知ABCABC内接于内接于O O，BCBC是是O O的直径，的直径，MNMN与与O O相切，切点为相切，切点
44、为A.A.若若MABMAB3030，则，则B B_例例3 (3 (济南中考济南中考) )如图，如图，ABAB与与O O相切于点相切于点C C，A AB B，O O的半径为的半径为6 6，ABAB16.16.求求OAOA的长的长例例4 4：（：（20162016湖北随州湖北随州88分）如图，分）如图，ABAB是是O O的弦，点的弦，点C C为半径为半径OAOA的中点，过点的中点，过点C C作作CDOACDOA交弦交弦ABAB于点于点E E，连接，连接BDBD，且且DE=DBDE=DB（1 1）判断）判断BDBD与与O O的位置关系，并说明理由；的位置关系，并说明理由；（2 2）若）若CD=15C
45、D=15，BE=10BE=10，tanA= tanA= ，求，求O O的直径的直径例例5 5（20162016湖北武汉湖北武汉88分）如图，点分）如图，点C C在以在以ABAB为直径的为直径的O O上，上，ADAD与过点与过点C C的切线垂直，垂足为点的切线垂直，垂足为点D D，ADAD交交O O于点于点E E(1) (1) 求证：求证：ACAC平分平分DABDAB；(2) (2) 连接连接BEBE交交ACAC于点于点F F，若，若cosCADcosCAD ，求，求 的值的值例例6 6 （20162016江西江西88分）如图，分）如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点P P是是弦弦ACA
46、C上一动点（不与上一动点（不与A A，C C重合），过点重合），过点P P作作PEABPEAB，垂足，垂足为为E E，射线，射线EPEP交于交于ACAC点点F F，交过点，交过点C C的切线于点的切线于点D D（1 1）求证：）求证：DC=DPDC=DP；（2 2）若）若CAB=30CAB=30，当，当F F是是ACAC的中点时，判断以的中点时，判断以A A，O O，C C，F F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由(1.1.（20162016海南）如图，海南）如图，ABAB是是O O的直径，直线的直径，直线PAPA与与O O相切相切于点于点A A，
47、POPO交交O O于点于点C C，连接，连接BCBC若若P=40P=40，则，则ABCABC的的度数为（）度数为（）A A2020 B B2525 C C4040 D D50502.2.（20162016内蒙古包头）如图，已知内蒙古包头）如图，已知ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C在在O O上，过点上，过点C C的切线与的切线与ABAB的延长线交于点的延长线交于点P P，连接，连接ACAC，若若A=30A=30，PC=3PC=3，则，则BPBP的长为的长为3.3.（20162016辽宁丹东辽宁丹东1010分）如图，分）如图，ABAB是是O O的直径，点的直径，点C C在在ABAB的延
48、长线上，的延长线上，CDCD与与O O相切于点相切于点D D，CEADCEAD，交，交ADAD的延的延长线于点长线于点E E（1 1）求证：）求证：BDC=ABDC=A；（2 2）若）若CE=4CE=4，DE=2DE=2，求，求ADAD的长的长4.4.（20162016湖北黄石湖北黄石88分）如图，分）如图，O O的直径为的直径为ABAB，点，点C C在圆周上（异于在圆周上（异于A A，B B），），ADCDADCD（1 1）若）若BC=3BC=3，AB=5AB=5，求，求ACAC的值；的值；（2 2）若）若ACAC是是DABDAB的平分线，求证：直线的平分线，求证：直线CDCD是是O O的切
49、的切线线5.5.（20162016青海西宁青海西宁1010分）如图，分）如图，D D为为O O上一点，点上一点，点C C在直径在直径BABA的延长线上，且的延长线上，且CDA=CBDCDA=CBD（1 1）求证：）求证：CDCD是是O O的切线；的切线；（2 2）过点）过点B B作作O O的切线交的切线交CDCD的延长线于点的延长线于点E E，BC=6BC=6， 求求BEBE的长的长6.6.（20162016陕西）如图，已知：陕西）如图，已知：ABAB是是O O的弦，过点的弦，过点B B作作BCABBCAB交交O O于点于点C C，过点，过点C C作作O O的切线交的切线交ABAB的延长线于点
50、的延长线于点D D，取，取ADAD的中点的中点E E，过点，过点E E作作EFBCEFBC交交DCDC的延长线于点的延长线于点F F，连，连接接AFAF并延长交并延长交BCBC的延长线于点的延长线于点G G求证：求证：（1 1）FC=FGFC=FG；（2 2）ABAB2 2=BCBG=BCBG7.7.（20162016南宁）如图，在南宁）如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BDBD是角是角平分线，点平分线，点O O在在ABAB上，以点上，以点O O为圆心，为圆心，OBOB为半径的圆经过点为半径的圆经过点D D，交，交BCBC于点于点E E（1 1）求证：）求证：ACAC是是O