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1、现代控制理论基础期中作业题目：单倒置摆控制系统的状态空间设计姓名：谢海波学号： P091812925 专业班级：电气工程及其自动化3 班指导老师：刁晨西北民族大学电气工程学院名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要：随着现代科学技术的迅速发展，对自动控制的精度、速度、范围及适应能力的要求越来越高， 从而推动了自动控制理论和技术的发展。本次设计通过对单倒置摆系统的稳定性分析， 建立出相应
2、的状态空间状态模型；选取小车的位移及速度、摆的角位置和角速度作为状态变量、 控制力作为输入变量、小车瞬时位置作为输出变量，建立状态空间描述，通过对状态空间描述的能空性和稳定性分析，可以确定当倒置摆向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原来直立位置。通过对系统的稳定性分析发现，没有反馈的控制系统是不稳定的，所以要设置反馈； 本次设计采用了全反馈，为了实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，因而可以设计全维状态观测器来实现。然而控制系统的小车位移可以用传感器测量，实际中无需估计，所以又可以设计降维状态观测器来实现状态反馈。本次设计涉及到系统状态空间方程的建立、系统的运动分析
3、、能控性和能观测判据的的使用，状态反馈配置系统极点的综合、状态观测器实现状态反馈等问题，体现了状态空间分析法在现代控制理论中的重要地位以及在工程中的具体运用。关键词：反馈、状态空间、观测器、matlab 仿真一、设计要求：如图 1所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为L、质量为 m ，用铰链安装在质量为 M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u, 相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。通过设计状态空间模型和状态反馈以及观测器，对控制系统进行控制；控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电
4、动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。图 1 二、设计需求分析：对所要设计的系统分析知道，系统中单倒置摆能否处于垂直位置是由控制力（即输入量）决定的，反过来输入量的大小，输入量作用的时间又是由单倒置摆的位置（输出量Z 和角度 ）决定的，只有两者都取合适的变量值时，才能使系统真正处于稳定状态。三、设计步骤：（一）对设计系统进行力学分析（抽象出研究对象）：为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
5、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为 ，则摆心瞬时位置为)sin(lz。在控制力u 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有ulzdtdmdtzdM)sin(2222即umlmlzmMsincos)(2(1) 由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有sincos)sin(22mgllzdtdm即sincossincoscos2gllz（ 2）式（ 1） 、式（ 2）
6、两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u 的条件下，可以认为、均接近于零，此时sin，1cos, 且可以忽略2项，于是有umlzmM)(（ 3）glz（ 4）连联立求解式（3） 、式（ 4） ，可得uMMmgz1（ 5）uMlgMlmM1)(（ 6）消去中间变量 ，可得输入量为u、输出量为z 的微分方程为uMlguMzMlgmMz1)(4（ 7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移 z、小车的速度z、摆的角速度 及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。（二）建立倒置摆的状态空间模型：在上一
7、步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度z、摆的角速度 及其角速度的。Z 为输出变量，在考虑zzdtd，dtd及式（ 5） 、 （6） 、 （7） ，可列出倒置摆的状态空间模型表达式为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - uMlMMlgmMMmg10100)(0010000000010 xx（8a）x0001y(8b) 式中Tzzx为方便研究， 假定系统的参数M=1kg,m=0.
8、1kg,l=1m,2/81. 9smg, 则系统状态方程中参数矩阵为：01100100001000010A,1010b，0001c（ 9）此时倒置摆的状态空间模型表达式为：u101001100100001000010 xx（10）x0001y画出状态结构图如图2 所示（三）对模型进行分析（即对被控对象进行分析）在建立完模型后我们需要对模型进行分析。作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。因此我们首先分析它的能控性。1. 能控性分析根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得4bAbAAbbM32rankrank（11）因此
9、，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u, 将非零状态x转移到零。2. 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为：0)11(22AI（12）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 解得特征值为0,0 ，11，-11。四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。3. 仿真 : 采用 matlab 对被控对象进行仿真，按照图2 进行模块连接，仿真结果为
10、图3 所示，由图 3 的曲线可知可知，系统不稳定，不能到达控制目的。图 2、单倒置摆开环系统结构图（仿真模型）仿真结果：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 3 单倒置摆开环系统的个变量的阶跃响应曲线由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的，需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。（四）确
11、定方案为了满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。因此我们需要设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的，分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计采用全状态反馈。取状态变量z、z、为反馈信号，状态控制规律为kxvu（13）设3210kkkkk式中，30 kk分别为 z、z、反馈至参考输入v 的增益。则闭环控制系统的状态方程为vbxbkAx)(设置期望闭环极点为-1 ，-2 ，-1+i,-1-i 由状态方程的特征多项式和期望特征多项式的系数相等可求得：0k=-0.4，1k=-1，2k=-21.4，3k=-6 画出状态反馈系统结构图如图4 所示，按照图4 仿真模型进行matlab 仿真，
12、仿真结果曲线如图 5 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 4 单倒置摆全反馈系统结构图（仿真模型）仿真结果如下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 5 单倒置摆全状态反馈的阶跃响应曲线由仿真结果可知，单倒置摆的全状态反馈为稳
13、定的闭环系统。观察仿真曲线：单位阶跃的作用下，输出变量z 逐渐趋于某一常数(-2.5)，状态变量 则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时， 状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即=0） ，小车也保持稳定（即z=某一常数）。如果不将4 个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。方案一：全维观测器的设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z、z、的信息。因此，需要设置z、z、的四个传感器。在实际的工程系统中往往并不是所有的状态信息都是能检测到的，或者， 虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成难于获取信息，从而使状态反馈在实际
14、中难于实现，甚至不能实现。 在这种情况下设计全维状态观测器，解决全维状态反馈的实现问题。（1）判定系统状态的能观测性将式（ 9）中的数值代入能观测性秩判据，得：4)()(TTTTTTrankrankcAcAcAcN32T（14）可见被控系统的4 个状态均是可观测的，即意味着其状态可由一个全维（四维） 状态观测器给出估值。其中，全维观测器的运动方程为GyBuxGCAx?)(?（15）式中Tgggg3210G全维观测器已G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
15、- - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - 设置状态观察器的期望闭环极点为-2 ，-3，-2+i,-2-i。由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2 ，这意味着任一状态变量估计值至少以te2规律衰减。由 状 态 方 程 的 特 征 多 项 式 和 期 望 特 征 多 项 式 的 各 项 系 数 相 等 可 求 得 ：0g=9，1g=42，2g=-148 ，3g=-492 （2）根据计算值可画出结构图如图6 所示图 6 单倒置摆全反馈的全维观测器的结构图（仿真模型）按照图 6 仿真模型进行matlab 仿真，可得仿真结果曲线如图7、图 8 所示。图 7 状态反馈下
16、的状态变量的阶跃响应曲线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 8 带全维观测器的状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线（3）为了比较全状态反馈与全维观测器的控制性能，需要通过对全状态反馈仿真模型中的变量与全维观测器模型中的估值做差，模型连接图如图9 所示，通过示波器可以观察到它们之间的误差，所得估值误差曲线如图10 所示。图 9. 全状态反馈与全维观测器估值误差仿真模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
17、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 系统全状态反馈与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图 10 系统状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 17 页 - - - - - - - - - 由以上仿真结果可知，全维状态观测器观测到的4 个变量的阶跃响应曲线与全状态反馈时的阶跃响应曲线基
18、本相似（如图7 与图 8 所示） ，但是二者还是有误差的，只不过误差很小，如系统全状态与全维观测器得到的估计状态之间的误差曲线图10 所示。全维状态观测器所得的性能基本满足要求（系统能控且稳定），但是由于观测器的数目多，导致中间过程的损耗也大。实际上，本系统中的小车位移z，可由输出传感器获得，因而无需估计，可以设计降维观测器，这样可减小误差）。方案二：降维观测器的设计由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（ 3 维）状态的观测器。通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说， 将 z 作为第四
19、个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程可变换为：uzzzzdtd010100010011001000010（16）01000zy简记为u221bbxxAAAAxx12122211211（17）式中2110 xxIyyz1x，011010001011A,00012A,101byz2x,00121A022A,02b,11I, 故单倒置摆三维子系统动态方程为uzzdtd1010110100010（18）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - -
20、- - - - - - zz001（19）使用 matlab 对其的观测性检查，结果是客观的。因为降维状态观测器动态方程的一般形式为yhuw)()()(22122111AhAAhAbhbAhAw211121（20）yhwx1?（21）式中，Thhhh210。使用 matlab 可求出降维状态观测器特征多项式为)11()11()(2012032111hhhhAhAI（22）设期望的观测器闭环极点为-3，i2，期望特征多项式为15177)2)(2)(3(23ii（23）由降维观测器状态方程的特征多项式和期望特征多项式的对应系数相等可求得，0h=7，1h=-28，2h=-92 所以降维观测器的动态方
21、程为yuw33610421101011921028017w（24）ywxx1922870?1y（25）使用降维状态观测器实现状态反馈的的单倒置摆系统结构图连接的仿真模型图如图11 所示。仿真结果如图12 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 11 单倒置摆全反馈的降维观测器的结构图（仿真模型）仿真结果如下名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
22、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 12 降维状态观测器时各变量变量的阶跃响应曲线由上面的仿真结果曲线可知，在给系统状态全反馈加上降维观测器之后，单位阶跃的作用下，小车的位移z 逐渐趋于一个常数（大约为-225） ，而倒置摆出现的偏角也逐渐趋于 0,可见带降维观测器的系统是一个稳定的系统，同时在性能方面符合空间的设计要求。（五）两种设计方案的性能比较和分析单倒置摆原系统（即开环系统）不稳定的，因此我们设计了单倒置摆全状态反馈系统，由仿真图 5（即状态反馈下的状态变量的阶跃响应曲线）可知，单倒置摆的全状态反馈系
23、统是稳定的，为了获取4 个状态变量z、z、 、，我们为单倒置摆的全状态反馈系统设计两种观测器：全维状态观测器和降维状态观测器。使用 matlab 做出两种不同的观测器下两个状态变量z、的单位阶跃响应曲线如图13、图14所 示 （ 另 外 两 个 变 量 分 别 为 他 们 的 微 分 ， 故 这 里 可 以 不 用 在 比 较 了 ）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 图 13 变量 Z在使用全维与降维观测器下
24、的单位阶跃响应曲线比较图图 14 变量在使用全维与降维观测器下的单位阶跃响应曲线比较图比较两种不同的观测器可以下得出以下结论：（1） 在单位阶跃的作用下，变量z 在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间st要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间st，即降维的阶跃曲线先达到稳态，也就是小车的水平位置z 在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能较全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些（如图 13 所示） ，它们的稳态性能则基本一致，最终趋于常数0。（2）在单位阶跃的作用下，变量在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间st要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间st，但是降维观测器下的单位阶跃
25、曲线的超调量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - %p大于全维观测器下的单位阶跃曲线的超调量%p，即倒置摆出现的偏角在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能比全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些（如图 14 所示） ，同样二者而稳态性能则基本一致。综上所述， 使用全维观测器下的状态反馈系统的单位阶跃曲线的动态性能比使用将全维观测器下的状态反馈系统的单位阶跃曲线的动态性能要差一些。这个结果是符合理论事实的，因为
26、我们设置的四个变量z、z、中的变量小车的位移 z 是可由输出传感器测量，而不用使用观测器去估计的，因此可以不使用全维观测器来估计全部的变量，而使用降维观测器来估计其余的变量（三维）。单倒置摆的状态反馈系统使用全维状态观测器时，相对于降维观测器时的精度肯定下降的，因此单倒置摆的状态反馈系统使用降状态观测器时，变量曲线的精确性会高于使用全维状态观测器时的曲线。四、总结（1）通过仿真可知，单倒置摆的开环系统是不稳定的，因此使用将全部变量反馈到前面形成单倒置摆的全状态反馈系统，通过matlab 仿真可知，单倒置摆的全状态反馈系统是稳定的，各个变量最终趋于常数。（2）为了获取四个变量，需要使用观测器来获
27、取估计变量，为了实现单倒置摆控制系统的全状态反馈， 必须获取系统的全部状态，因而可以设计全维状态观测器来实现。然而控制系统的小车位移可以用传感器测量，实际中无需估计，所以又可以设计降维状态观测器来实现状态反馈，因此本次设计设计了两种观测器：全维状态观测器和降维状态观测器。（3）通过比较两种状态观测器下的单倒置摆全状态反馈系统的变量的单位阶跃响应，可知降维状态观测器下的变量单位阶跃响应曲线的动态性能比全维状态观测器下的变量单位阶跃响应曲线的好， 即降维状态观测器的阶跃响应曲线要比全维观测器的阶跃曲线先达到稳定状态， 调节时间前者小于后者，然而稳态性能基本一致的。考虑到降维观测器下的系统性能以及实
28、际中的成本问题，建议选用降维观测器。参考文献：【1】梁慧冰 . 现代控制理论基础【M 】.北京：机械工业出版社，2007. 【2】胡寿松 . 自动控制原理【M 】.北京：科学出版社，2003. 【3】赵文峰 .MATLAB控制系统设计与仿真【M 】西安 . 西安电子科技大学,2002 【4】薛定宇 . 控制系统计算机辅助设计MATLAB语言仿真及应用【M 】. 北京：清华大学出版社， 1996 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -