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1、第 1 页 共 9 页2006-2007 学年第一学期随机数学（A）期末考试试卷答案（ A）一填空题（本题满分15 分，共有 5 道小题，每道小题3 分）请将合适的答案填在每题的空中1设A、B、C是三个随机事件，且51CPAP，31BP，61ABP，81BCP，0ACP则A、B、C这三个随机事件中至少有一个发生的概率为_解：所求概率为CBAP由概率的加法公式得ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP由于ACABC，由概率的单调性、非负性及题设中的条件，得ACPABCP000ACPABCP，所以0ABCP因此，ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP1 2 0530081613151
2、51应填：531202设随机变量X的概率密度为212 1120 xfxx其它则X的分布函数为：_解： 因为概率密度在1x，2x处都等于0，即知当1x时，()0Fx，当2x时，( )1F x，当12x时，02111( )()02(1)112()2(2)xxxF xf x dxdxdxxxxxx，故所求的分布函数是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 9 页0,11( )2(2),121,2xF xxxxx
3、3设随机变量X服从参数为的泊松分布，并且21XPXP，则4XP=_解： 由于随机变量X服从参数为的泊松分布，所以X的分布律为，210!kekkXPk由已知条件，得21XPXP，得ee22，解此方程，得2，因此X的分布律为，210!22kekkXPk所以，09022.0!42424eXP应填：4224!e或0.09022. 4设二维随机变量YX,的联合密度函数为(1)0,0,0 x ykxexyfxy其它则k_解：由1,dxdyyxf，得0001,xxyxfxy dxdyke dxxedyke dxk所以，1k应填：15设总体X的分布律为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
4、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 9 页X123P21221其中10是未知参数，nXXX,21是从中抽取的一个样本，则参数的矩估计量?_解：232134413122122222XE所以，XE321将XE替换成样本均值X，得参数的矩估计量为X321?应填：X321二、选择题（本题共5 小题，每小题3 分，满分 15 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1设A、B为两个互不相容的随机事件，且0BP，则下列选项
5、必然正确的是A.BPAP1；B.0BAP；C.1BAP；D.0ABP【】解：因为A、B为两个互不相容的随机事件，所以AB，因此0ABP所以，0BPABPBAP应选：B2对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p，第二台仪器发生故障的概率为2p令X表示测试中发生故障的仪器数，则XEA.21pp；B.122111pppp；C.211pp；D.21pp【】解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 4 页
6、共 9 页由于X表示测试中发生故障的仪器数，所以X的取值为2, 1,0，并且X的分布律为X012P2111pp122111pppp21pp所以21211221212111110ppppppppppXE应选：A3设2, NX，baXY，其中a、b为常数，且0a，则YA.222,babaN；B.222,babaN；C.22,abaN；D.22,abaN【】解：由2, NX，baXY，其中a、b为常数， 且0a，可知baXY也服从正态分布 由babXaEbaXEYE，222aXDabaXDYD，所以，22,abaN应选：D4设某地区成年男子的身高100,173 NX，现从该地区随机选出20名男子，则
7、这20名男子身高平均值的方差为A. 10；B. 100；C. 5；D. 5.0【】解：从该地区随机选出20名男子，相当于从总体100,173 NX中抽取一个样本量为20的样本2021,XXX令X是其样本均值，则nXD2，其中2是总体方差由题意，知1002所以，5201002nXD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 9 页应选：C5设随机变量X服从参数2的泊松（ Poisson）分布，又设随机变量3XY
8、，则YE为A. 2e；B. 4e；C6e.；D.8e【】解： 随机变量X的分布律为22!kPXkek，210k所以，222640003 22333!kkXkkkkkE YEPXkeeeeekk应选：B三 （本题满分10 分）一房间有 3 扇同样大小的窗户，其中只有一扇是打开的有一只鸟在房子里飞来飞去，它只能从开着的窗子飞出去 假定这只鸟是没有记忆的，且鸟飞向各个窗子是随机的若令X表示鸟为了飞出房间试飞的次数 求X的分布律 这只鸟最多试飞3 次就飞出房间的概率 若有一只鸟飞出该房间5 次，其中有 4 次它最多试飞了3 次就飞出房间，请问“假定这只鸟是没有记忆的”是否合理？解：X的取值为, 3,2
9、, 1，并且313211kkkPkXP次 试 飞 飞 出 房 间第次 试 飞 均 未 飞 出 房 间 ，前因此X的分布律为31321kkXP,3, 2, 1k27193132313231332XPP次就飞出房间这只鸟最多试飞 若将这只鸟是否“最多试飞3 次就飞出房间”看作是一次Bernoulli 试验，则这只鸟飞进该房间5次可以看作是一个5 重 Bernoulli 试验次 就 飞 出 房 间这 只 鸟 最 多 试 飞3A，则2719AP所以，3633. 027827194Bernoulli5445CP次试验恰好成功重这表明，“有一只鸟飞进该房间5 次，其中有4 次它最多试飞了3 次就飞出房间”
10、不是一个小概率事件，因此“假定这只鸟是没有记忆的”是合理的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 9 页四 （本题满分10 分）设随机变量X的密度函数为 : ( ),xf xAex求: 系数 A; X 落在区间 (0,1)内的概率 ; (3) X 的分布函数解： 由于( )21f x dxA,所以12A; 1101101(1)0.31622xPXedxe; (3) 1,02()11,02xxexFxex.
11、 五 （本题满分10 分）一射手进行射击，击中目标的概率为p10p，射击直至击中2 次目标时为止令X表示首次击中目标所需要的射击次数，Y表示总共所需要的射击次数 求二维随机变量YX,的联合分布律 求随机变量Y的边缘分布律 求在nY时，X的条件分布律并解释此分布律的意义解： 随机变量Y的取值为, 4, 3,2；而随机变量X的取值为1, 2, 1n，并且次第次 ， 第 二 次 命 中 目 标 在第 一 次 命 中 目 标 在 第nmPnYmXP,2211pqpqpqnmnm，（其中pq1）1,2, 1;,4, 3,2nmn221122111,pqnpqnYmXPnYPnnmnnm，, 4, 3,
12、2n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 9 页即随机变量Y的边缘分布律为221pqnnYPn,4, 3, 2n 由于111,2222npqnpqnYPnYmXPnYmXPnn因此在nY时，X的条件分布律为11nnYmXP1, 2, 1nm这表明，在nY的条件下，X的条件分布是一个“均匀”分布它等可能地取值1,2, 1n六 （本题满分10 分）某单位的一部电话总机有150台分机，每台分机有4%的时间要使
13、用外线假设每台分机是否使用外线是相互独立的 试用中心极限定理计算，当该单位有10条外线时， 至少有一台分机使用外线时要等待的概率附表：标准正态分布的分布函数x的表x00.069.004.167.108.231.250.262.3x500.0755.0851.0953.0981.0990.0994.0999.0解：设X表示在某时刻150台分机中使用外线的分机数，则04.0,150 BX利用中心极限定理，得96. 004.015004. 01501196.004.015004. 0150111111XPXPXP019. 0981. 0108.2108. 296. 004.015004. 01501
14、XP七 （本题满分10 分）某射手每次射击击中目标的概率都是80%,现连续向一目标射击,直到第一次击中为止,求射击次数的期望和方差 . 解： 设 X 表示射击次数 ,则 X 服从几何分布 ,分布律为 : 114,1,2,55kp Xkk(1). 11145554kKEXk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 9 页(2). 因为22()()DXE XE X, 由221()qE Xp,可以求出5()16D
15、 X八 （本题满分10 分）设总体X的密度函数为1101xxfxx其中1是未知参数mXXX,21是从该总体中抽取的一个样本，试求参数的最大似然估计量解：似然函数为111211nnniiniiLfxxx xx所以，1lnln1lnniiLnx所以，1lnlnniidnLxd令：0lnLdd，即1ln0niinx，得到似然函数的唯一驻点1lnniinx所以参数的最大似然估计量为1?lnniinX九 （本题满分10 分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7 份样品，测得含镍量百分比分别为：67.233.369.301.398.315.369.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0下
16、检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3（附表：t分布的分位点表：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 9 页9432.1605.0t4469. 26025. 0t8946.1705.0t3646. 27025. 0t解：设X表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则2, NX25. 3:0H25.3:1H由于总体方差未知，故用检验统计量nSXT25.3当0H成立时，125.3ntnSXT由于显著性水平05.0，7n，所以4469.26025.0t因此检验的拒绝域为4 4 6 9.225.3:,7211nsxxxxW由样本观测值，得36.3x，455668007.0s所以，4 4 6 9.26 3 8 6 9 4 4 8 6.074 5 5 6 6 8 0 0 7.025.336.325.3nsx所以，不拒绝0H，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -