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1、- 1 - 重庆南开中学高2018 级高一（上）期末考试数 学 试 题本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分150 分，考试时间 120分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题 （本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求）1、已知集合24 ,log02xAxBxx，则ABI（）A、1,2B、1,2C、0,1D、0,12、“6” 是“1sin2” 的（）条件A、充分不必要B、必要不充分C、充要D、既不充分也不必要3、已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为 2 弧度，则这个扇形的面积为（）cm2 A、25 B、5 C、2
2、54D、2524、已知函数1254xfxx，则fx的零点所在的区间为（）A、0,1B、1,2C、2,3D、3,45、函数2lg6fxxx的单调递减区间为（）A、1,2B、1,2C、12,2D、1,326、将函数 ysinx 的图像上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图像C1，再将图像 C1向右平移3个单位得到的图像C2，则图像 C2所对应的函数的解析式为（）A、1sin23yxB、1sin26yxC、sin 23yxD、2sin 23yx7、若ln11ln,1 ,ln ,2xxxeax bce，则, ,a b c的大小关系为（）A、cbaB、bcaC、abcD、bac名师资料总结 -
3、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 2 - 8、已知0,且3cos45，则cos的值为（）A、210B、210C、7 210D、7 2109、已知定义在R上的奇函数 f（x）满足 f（x+4）f（x）恒成立，且 f（1）1，则 f（2016）+f（2017）+f（2018）的值为（）A、0 B、1 C、2 D、3 10、化简 tan20+4sin20的结果为（）A、1 B、12C、33D、311、如图，圆 O 与 x轴的正半轴
4、的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为1,2，点C位于第一象限，AOC。若5BC，则23sincos3cos2222的值为（）A、2 55B、55C、55D、2 5512、已知函数21,0log,02xxfxx x，若方程 f（x）a 有四个不同的解1x、2x、3x、4x，且1234xxxx，则131223 4xxxx x的取值范围为（）A、1,B、1,1C、,1D、1,1第 II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13、 已知幂函数22133mmymmx在 （0， +） 单调递
5、减，则实数 m 的值为。14、计算：lg 2log22log31066。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 3 - 15、已知0,2且1cos23，则tan的值为。16、已知函数log11, 12221,xxkfxxxkxa，若存在实数 k 使函数 f（x）的值域为 0,2，则实数 a 的取值范围为。三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推
6、理过程）17、 （10 分）已知3tan2,tan2。（1）求tan的值；（2）求sinsin2cos2sin的值。18、 （12 分）已知定义在 R 的函数11xxfxaaa。（1）判断 f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于 x 的不等式： f（x-1）f（2x+1） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 4 - 19、（12 分） 已知函数22sin2 3sincoscosfxxxxxR的图像
7、关于直线3x对称，其中 ， 为常数且0,2。（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）若 yf（x）的图像过点,06，求函数 f（x）在0,2x上的值域。20、 （12 分）已知函数 f（x）为二次函数，若不等式f（x）0 的解集为（ -2，1）且 f（0）-2。（1）求fx的解析式；（2）若不等式cos2sinsin4fm对R恒成立，求实数 m 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 5 - 21、
8、（12 分）已知函数21log1axfxx是奇函数。（1）求实数a的值；（2）设函数log2g xfxmx，是否存在非零实数m 使得函数 g（x）恰好有两个零点？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，说明理由。22、 （12分）已知函数fx的定义域0,D，若fx满足对任意的一个三边长为, ,a b cD的三角形，都有,faf bfc也可以成为一个三角形的三边长，则称fx为“ 保三角形函数” 。（1）判断sin ,0,g xx x是否为 “ 保三角形函数 ” ，并说明理由；（2）证明：函数ln ,2,h xx x是“ 保三角形函数 ” ；（3）若sin ,0,fxx x是“ 保三角形函数 ”
9、，求实数的最大值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 6 - 重庆南开中学高2018级高一（上）期末数学试卷答案1解：由 A 中不等式变形得： 2x4=22，得到 x2 ，即 A=（ ，2，由 B 中不等式变形得： log2x0=log21，得到 x1，即 B=（1，+ ） ，则 AB=（1，2，故选： B2【分析】 “6” ? “1sin2” ，反之不成立，例如56即可判断出结论解：“6” ? “1sin2”
10、 ，反之不成立，例如56因此“6” 是“1sin2” 的充分不必要条件故选： A3【分析】 设扇形的半径为 r，弧长为 l，可得 l 和 r 的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得解：设扇形的半径为r，弧长为 l，2102lrlr，解得 l=5，r=52，扇形的面积 S= lr=故选： C4解：函数1( )254xf xx，是单调增函数，并且f（2）=4+12-50，f（3）=38504，函数1( )254xf xx，则 f（x）的零点所在的区间为（ 2，3） 故选： C5【分析】 令 t=x2+x+60，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间
11、，再利用二次函数的性质得出结论解：令 t=x2+x+60，求得 2x3，可得函数的定义域为 x|2x3，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数 t 在定义域内的减区间再利用二次函数的性质可得函数t 在定义域内的减区间为（12，3） ，故选： D6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 7 - 解：将函数 y=sinx 的图象上的点的横坐标扩大为原来的2 倍，得到 y=sin12x，然后向右平移3个单位得到的图象C
12、2，即 y=sin12（x）=sin（12x） ，故选： B7 【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a0，b1，1ec1，从而可得【解答】解： x（e1，1） ，a=lnx a（1，0） ，即 a0；又 y=1( )2x为减函数，b=ln1( )2xln11()2=01( )2=1，即 b1；又 c=elnx=x（e1，1） ，bca故选 B8【分析】根据同角的三角形关系求出sin（+4）=45，再根据 cos=cos （+44） ，利用两角差的余弦公式计算即可解： （0， ） ，+4（4，54） ，3cos()45，sin（+4）=45，cos=cos （+44）=cos（+4）
13、cos4+sin（+4）sin4=32427 2525210，故选： C9解： f（x+4）=f（x），函数 f（x）是周期为 4 的周期函数，则 f（2016）=f（504 4）=f（0），f（2017）=f（504 4+1）=f（1）=1，f（2018）=f（504 4+2）=f（2），f（x）是奇函数，f（0）=0，当 x=-2 时，f（-2+4）=f（-2），即 f（2）=-f（2），则 f（2）=0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 -
14、- - - - - - - - - 8 - 即 f（2016）+f（2017）+f（2018）=f（0）+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选： B10解：tan20 +4sin20=3，故选： D11解：点 B 的坐标为（ 1，2） ，|OB|=|OC|=5，|BC|=5，OBC 是等边三角形，则AOB= +3则 sin（+3）=22 555，cos（+3）=1555，则 sin2cos2+3cos2232=12sin +32cos=sin（+3）=2 55，故选： D12【分析】 作出函数 f（x） ，得到 x1，x2关于 x=1 对称， x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即
15、可解：作函数 f（x）的图象如右，方程 f（x）=a 有四个不同的解 x1，x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，x1，x2关于 x=1 对称，即 x1+x2=2，0 x31x4，则|log2x3|=|log2x4|，即log2x3=log2x4，则 log2x3+log2x4=0 即 log2x3x4=0 则 x3x4=1；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 9 - 当|log2x|=1 得 x=2 或12
16、，则 1x42 ；12 x31；故3122341()xxxx x=2x3+31x，12 x31；则函数 y=2x3+31x，在31x x31 上为减函数，则故 x3=12取得最大值，为 y=1，当 x3=1 时，函数值为 1即函数取值范围是（ 1，1故选： B 13解：幂函数在（0，+）单调递减，m23m+3=1，即 m23m+2=0，解得 m=1 或 m=2；当 m=1 时，m2m1=20，满足题意；当 m=2 时，m2m1=10，不满足题意，舍去；实数 m 的值为 1故答案为： 114解：lg266log 22log310=log66+2=3故答案为： 315【解答】解： （0，2 ） ，
17、2（0， ） ，又1cos23，2sin1cos22=2 23，sin2sin2cos2=22，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 10 - tan =2221tan2tan=427故答案为：42716解：由题意，令 log2（1x）+1=0，x=12，令 x22x+1=2，可得 x=12，存在实数 k 使函数 f（x）的值域为 0，2，实数 a的取值范围是 12，1+2故答案为： 12，1+217【分析】 （
18、1）由题意可得 tan（+）=2，tan= 32，代入tan =tan（+）=tan()tan1tan() tan，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=1tan12tan，代值计算可得解： （1）3tan()2,tan()2，tan（ +）=2，tan =32，tan =tan（ +）=32tan()tan231tan()tan1 2()2=74；（2）化简可得=cossin1tancos2sin12tan=31018解： （1）f（x）=11( )xxxxaaf xaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
19、师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 11 - 则函数为偶函数，当 x0 时，设 0 x1x2，即 f（x1）f（x2）=121211xxxxaaaa=121211xxxxaaaa=211212()xxxxxxaaaaa a=（1212121()xxxxxxa aaaa a，a1，0 x1x2112xxaa，则120 xxaa，1210 xxaa，则 f（x1）f（x2）0，则 f（x1）f（x2） ，即此时函数单调递增，同理当 x0 时，函数单调递减；（2）函数 f（x）是偶函数，且在 0，+）上为增函数，则关于 x 的不
20、等式： f（x1）f（2x+1）等价为 f（|x1|）f（|2x+1|） ，即|x1|2x+1|，平方得 x22x+14x2+4x+1，即 3x2+6x0，即 x2+2x0，得 2x0，即不等式的解集为（ 2，0） 19【分析】 （1）化简可得 f（x）=2sin（2 x6）+ ，由对称性可得 ，可得最小正周期；（2）由图象过点(,0)6可得 = 1，由0,2x结合三角函数的值域可得解： （1）化简可得 f（x）=3?2sin xcos x（cos2 xsin2 x）+=3sin2 xcos2 x+=2sin （2 x6）+由函数图象关于直线3x对称可得 2?36=k+2，kZ，解得 =32k
21、+1，结合 （0，2）可得 =1 ，f（x）=2sin（2x6）+ ，函数 f（x）的最小正周期 T=22= ；（2）y=f（x）的图象过点，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 12 - 2sin（2?66）+=0 ，解得 = 1，f（x）=2sin（2x6）1，0,2x，2x66，56，sin（2x6）12，1，2sin（2x6）1，2，2sin（2x6）12，1，故函数 f（x）在0,2x上的值域为 2，
22、1 20【分析】 （1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c 的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出 f（cos ） ，问题转化为 sin2 + （1+m）sin +10对 R 恒成立，令 g（ ）=sin2 + （1+m）sin +1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（ ）的最小值，得到关于 m 的不等式，解出即可解： （1）函数 f（x）为二次函数，设 f（x）=ax2+bx+c，不等式 f（x）0 的解集为（ 2，1）且 f（0）=2，2422020cabab，解得：112abc，f（x）=x2+x2；（2）由（ 1）得： f（cos ）=cos2+cos2，由不等式(cos
23、)2 sin()sin4fm对 R 恒成立，得：cos2+cos22sin（+4）+msin对 R 恒成立，sin2 + （1+m）sin +10对 R 恒成立，令 g（ ）=sin2 + （1+m）sin +1=221(1)(sin)124mm，1 sin 1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - - 13 - 112m1 即3m 1 时：gmin（ ）=12(1)4m0 ，解得： 3m 1 ，符合题意；12m1
24、 即 m3 时：gmin（ ）=21(1)2m+12(1)4m0，解得： m3，无解；12m1 即 m1 时：gmin（ ）=21( 1)2m+12(1)4m0，解得： m1，无解；综上，满足条件的m 的范围是 3，121【分析】 （1）由奇函数性质得f（x）+f（x）=2211loglog11axaxxx=0，由此能求出 a（2）当 a=1 时，g（x）=f（x）log2（mx）=log2（mx）=0，得 x=1m，不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点；当 a=1 时，g（x）=f（x）log2（mx）=21log(1)xxmx=0，得 x=1，不存在非零实数 m 使得函数
25、g（x）恰好有两个零点【解答】 解： （1）函数21( )log1axf xx是奇函数，f（x）+f（x）=2211loglog11axaxxx=211log ()11axaxxx=0，1111axaxxx=1，1a2x2=1x2，解得 a= 1（2）不存在非零实数m 使得函数 g（x）恰好有两个零点，理由如下：当 a=1 时，g（x）=f（x）log2（mx）=log2（mx） ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - -
26、 - - 14 - 由log2（mx）=0，解得 mx=1，x=1m，不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点；当 a=1 时，g（x）=f（x）log2（mx）=21log1xxlog2（mx）=21log(1)xxmx，由21log(1)xxmx=0，得 x=1，不存在非零实数 m 使得函数 g（x）恰好有两个零点综上，不存在非零实数m 使得函数 g（x）恰好有两个零点22【分析】 欲判断函数 f（x）是不是 “ 保三角形函数 ” ，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足 a+bc，判断 f（a） 、f（b） 、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第
27、三边即可因此假设ac 且 bc，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可解： （1）若 a=3，b=3，c=2，则 f（a）=f（b）=sin3=12，f（c）=sin2=1，则 f（a）+f（b）=1122=1，不满足 f（a）+f（b）f（c）故 f（x）=sinx，不是 “ 保三角形函数 ” （2）对任意一个三角形三边长a，b，c2，+） ，且 a+bc，b+ca，c+ab，则 h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc因为 a2 ，b2 ，a+bc，所以（ a1） （b1）1 ，所以 ab a+bc，所以 lnablnc，即 lna+lnblnc同理可证明 lnb+
28、lnclna，lnc+lnalnb所以 lna，lnb，lnc 是一个三角形的三边长故函数 h（x）=lnx （x 2，+） ） （3）的最大值是56 当 56时，取 a=56=b，c=2，显然这 3 个数属于区间（ 0， ） ，且可以作为某个三角形的三边长，但这 3 个数的正弦值12、12、1 显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x（0， ）不是保三角形函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - -
29、- - - 15 - 当 =56时，对于任意的三角形的三边长a、b、c（0，56） ，若 a+b+c2 ，则 a2bc2 5656=3，即 a3，同理可得 b3，c3，a、b、c（3，56） ，sina、sinb、sinc（12，1由此可得sina+sinb12+12=1sinc ，即 sina+sinbsinc，同理可得 sina+sincsinb，sinb+sincsina，故 sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长若 a+b+c2 ，则22abc ，当2ab2时，由于 a+bc，02c2ab2，0sin2csin2ab1 当2ab2时，由于 a+bc， 02c2ab2，
30、0sin2csin2ab1综上可得， 0sin2csin2ab1 再由|ab|c56，以及 y=cosx在（ 0， ）上是减函数，可得 cos2ab=cos2abcos2ccos5120，sina+sinb=2sin2abcos2ab2sin2ccos2c=sinc，同理可得 sina+sincsinb，sinb+sincsina，故 sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长故当 =56时，h（x）=sinx，x（0，M）是保三角形函数，故 的最大值为56，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -