《2022年分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习课三种题型及提高练习 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习课三种题型及提高练习 2.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理复习课基础自测：15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有_种32 解析每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5 位同学全部报名结束，才算事件完成所以共有 2222232(种)2有不同颜色的4 件上衣与不同颜色的3 件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数是 _12 解析由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选上衣有4 种选法，第二步选长裤有3 种选法，所以有4312(种)选法3甲、乙两人从4 门课程中各选修2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有_种答案24 解
2、析分步完成首先甲、乙两人从4 门课程中同选1 门，有 4 种方法，其次甲从剩下的3 门课程中任选1 门，有 3 种方法，最后乙从剩下的2 门课程中任选1 门，有 2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法共有43224(种)4用数字 2,3 组成四位数，且数字2,3 至少都出现一次，这样的四位数共有_个 (用数字作答)答案14 解析数字 2,3 至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现 1 次， “3”出现 3 次，共可组成C144(个)四位数“2”出现 2 次， “3”出现 2 次，共可组成C246(个)四位数“2”出现 3 次， “3”出现 1 次，共可组成C344(个)四位数
3、综上所述，共可组成14 个这样的四位数. 题型一分类加法计数原理的应用例 1一班有学生50 人，男生 30 人，女生 20 人；二班有学生60 人，男生 30 人，女生 30 人；三班有学生55 人，男生 35 人，女生 20 人(1)从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从一班、 二班男生中， 或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？思维启迪用分类加法计数原理解(1)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50 种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60 种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55 种选法，根据分类加
4、法计数原理，任选一名学生任校学生会主席共有506055165(种)选法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 (2)完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30 种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30 种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20 种选法综上知，共有30302080(种)选法思维升华分类时， 首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类
5、时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？(2)方程x2my2n1 表示焦点在y 轴上的椭圆，其中m1,2,3,4,5 ，n1,2,3,4,5,6,7 ，那么这样的椭圆有多少个？解(1)分析个位数字，可分以下几类：个位是 9，则十位可以是1,2,3，8 中的一个，故有8 个；个位是 8，则十位可以是1,2,3，7 中的一个，故有7 个；同理，个位是7 的有 6 个；个位是 6 的有 5 个；个位是 2 的只有 1 个由
6、分类加法计数原理，满足条件的两位数有1 234567836(个)(2)以 m 的值为标准分类，分为五类第一类： m 1 时，使 nm，n 有 6 种选择；第二类： m 2 时，使 nm，n 有 5 种选择；第三类： m 3 时，使 nm，n 有 4 种选择；第四类： m 4 时，使 nm，n 有 3 种选择；第五类： m 5 时，使 nm，n 有 2 种选择共有 6543220(种)方法，即有 20 个符合题意的椭圆题型二分步乘法计数原理的应用例 2有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)
7、每项限报一人，且每人至多参加一项；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限思维启迪可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理解(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3 种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36729(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6 种选法，第二个项目有5 种选法，第三个项目只有4 种选法，由分步乘法计数原
8、理，得共有报名方法654120(种)(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63216(种)思维升华利用分步乘法计数原理解决问题：要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的； 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事已知集合 M3， 2，1,0,1,2 ，若 a，b，cM，则：(1)yax2 bxc 可以表示多少个不同的二次函数；(2)yax2 bxc 可以表示多少个图象开口向上的二次函数解(1)a的取值有 5 种情况， b的取值有 6 种情况， c 的取值有 6 种情况，因此yax2bx
9、c 可以表示 566180(个)不同的二次函数(2)yax2 bxc 的图象开口向上时，a 的取值有2 种情况， b、c 的取值均有6 种情况，因此yax2bxc 可以表示 26672(个)图象开口向上的二次函数题型三两个原理的综合应用例 3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数思维启迪染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解方法一可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥SABCD 的
10、顶点 S 、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有54360(种)染色方法当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若 C 染 2，则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法； 若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法 可见，当 S、A、B 已染好时， C、D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有607420(种)方法二以 S、A、B、C、D 顺序分步染色名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
11、- 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 第一步， S点染色，有5 种方法；第二步， A 点染色，与S在同一条棱上，有4 种方法；第三步， B 点染色，与S、A 分别在同一条棱上，有3 种方法；第四步， C 点染色，也有3 种方法，但考虑到D 点与 S、A、C 相邻，需要针对A 与 C 是否同色进行分类，当A 与 C 同色时， D 点有 3 种染色方法；当A 与 C 不同色时，因为C 与 S、B 也不同色， 所以 C 点有 2 种染色方法， D 点也有 2 种染色方法由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有543(1322)420(种)方法三按所用颜色种数分类
12、第一类， 5种颜色全用，共有A55种不同的方法；第二类， 只用 4 种颜色， 则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与 D)，共有 2A45种不同的方法；第三类，只用3 种颜色，则A 与 C、B 与 D 必定同色，共有A35种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A552A45A35420(种)思维升华用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步(1)分类要做到 “不重不漏 ”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数(2)分步要做到 “步骤完整 ”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数
13、(3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画图的方法来帮助分析用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示， 将 4 个小方格依次编号为1,2,3,4，第 1 个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5 种不同的涂法当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有A2412(种)不同的涂法，第4个小方格有3 种不同的涂法由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有4 种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4 个
14、小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有54480(种)不同的涂法由分类加法计数原理可得，共有18080260(种)不同的涂法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 A组专项基础训练一、选择题1从集合 1,2,3 ， 10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为() A3 B4 C6 D8 解析按从小到大顺序有124,139,248,469 共 4 个，同理按从大到小顺序也有4
15、 个，故这样的等比数列的个数为8 个2. 现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有() A 24 种B30 种C36 种D48 种解析共有 432248(种)，故选 D. 3集合 Px,1 ，Qy,1,2 ，其中 x，y1,2,3 ， 9，且 P? Q.把满足上述条件的一对有序整数对 (x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A9 B14 C15 D21 解析当 x2 时，xy，点的个数为177(个)；当 x2 时，xy，点的个数为717(个)，则共有 14 个点，故选B. 4(2013 山东 )用 0,1， 9
16、十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A243 B252 C261 D279 解析0,1,2，9 共能组成91010900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有998648(个)有重复数字的三位数有900648252(个)5(2013 四川 )从 1,3,5,7,9 这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是() A9 B10 C18 D20 解析由于 lg alg blgab(a0，b0)，从 1,3,5,7,9 中任取两个作为ab有 A2520 种，又13与39相同，31与93相同， lg alg b 的不同值的个数有A252202
17、18，选 C. 二、填空题6一个乒乓球队里有男队员5 名，女队员4 名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有_种不同的选法答案20 解析先选男队员，有5 种选法，再选女队员有4 种选法，由分步乘法计数原理知共有5420(种)不同的选法7某次活动中，有30 人排成 6 行 5 列，现要从中选出3 人进行礼仪表演，要求这3 人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答 )答案7 200 解析其中最先选出的一个人有30 种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -
18、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 个 5 行 4 列的队形，故选第二个人有20 种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个 4 行 3 列的队形，此时第三个人的选法有12 种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是3020 127 200. 8已知集合M1， 2,3 ，N4,5,6， 7，从 M，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_答案6 解析分两类：第一类，第一象限内的点，有224(个)；第二类，第二象限内的点，有12
19、2(个)共 426(个)三、解答题9某外语组有9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7 人会英语， 3 人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解由题意得有1 人既会英语又会日语，6 人只会英语， 2 人只会日语第一类：从只会英语的6 人中选 1 人说英语，共有6 种方法，则说日语的有213(种)，此时共有 6318(种 )；第二类：不从只会英语的6 人中选 1 人说英语，则只有1 种方法，则选会日语的有2 种，此时共有 122(种)；所以根据分类加法计数原理知共有18220(种)选法10在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允许重复 )表示一个信息， 不
20、同排列表示不同信息若所用数字只有0 和 1，则与信息0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解方法一分 0 个相同、 1 个相同、 2 个相同讨论(1)若 0 个相同，则信息为1001.共 1 个(2)若 1 个相同，则信息为0001,1101,1011,1000.共 4 个(3)若 2 个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为0101；若位置一与三相同，则信息为0011；若位置一与四相同，则信息为0000；若位置二与三相同，则信息为1111；若位置二与四相同，则信息为1100；若位置三与四相同，则信息为1010. 共 6 个故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为14611. 方法二若 0 个相同，共有1 个；若 1 个相同，共有C144(个)；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 若 2 个相同，共有C246(个)故共有 14611(个)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -