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1、初高中数学衔接知识点专题（一） 专题一数与式的运算【要点回顾 】1绝对值1绝对值的代数意义：即|a2绝对值的几何意义：的距离3两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示的距离4两个绝对值不等式:|(0)xa a；|(0)xa a2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：1平方差公式：；2完全平方和公式：；3完全平方差公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：公式 12()abc公式 233ab(立方和公式 )公式 333ab(立方差公式 ) 说明 :上述公式均称为“ 乘法公式 ” 3根式1式子(0)a a叫做二次根式，其性质如下：(1) 2()a；(2) 2a；(3) ab； (4)
2、ba2平方根与算术平方根的概念：叫做a的平方根，记作(0)xa a，其中a(0)a叫做a的算术平方根3立方根的概念：叫做a的立方根，记为3xa4分式1分式的意义形如AB的式子，若B 中含有字母，且0B，则称AB为分式 当 M0 时，分式AB具有下列性质：（1）；（2）2繁分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，如2mnpmnp，说明： 繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质3分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分
3、母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程【例题选讲 】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页例 1 解下列不等式： （1）21x（2）13xx4例 2 计算：（1）221(2)3xx（2）2211111()()5225104mnmmnn（3）42(2)(2)(416)aaaa（4）22222(2)()xxyyxxyy例 3 已知2310 xx，求331xx的值例 4 已知0abc，求111111()()()abcbccaab的值例 5 计算 (没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：（1）323（2）2
4、2(1)(2) (1)xxx（3）11ab（4）3282xxx例 6 设2323,2323xy，求33xy的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页例 7 化简： （1）11xxxxx（2）222396127962xxxxxxxx（1） 解法一 ：原式 =222(1)11(1)1(1)(1)11xxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二 ：原式 =22(1)1(1)(1)111()xxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx（2） 解：原式 =2223961161(3)(39)(9)2(3)3(3)
5、(3)2(3)xxxxxxxxxxxxxxx22(3) 12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)xxxxxxxxxx说明 ：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式【巩固练习 】1解不等式327xx2设11,3232xy，求代数式22xxyyxy的值3当22320(0,0)aabbab，求22ababbaab的值4设512x，求4221xxx的值5计算()()()()xyzxyzxyzxyz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
6、3 页，共 11 页6化简或计算：(1) 113( 184)2323(2) 22122(25)352(3) 2xxx yxxyyxyyx xyy(4) ()()babababaababbabaab 各专题参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页1 3 A B x 0 4 C D x P |x1| |x3| 专题一数与式的运算参考答案例 1 （1）解法 1：由20 x，得2x；若2x，不等式可变为21x，即3x； 若2x，不等式可变为(2)1x，即21x，解得：1x综上所述，原不等式的解为13x解法 2：2x表示
7、x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离，所以不等式21x的几何意义即为 x 轴上坐标为x 的点到坐标为2 的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x 的点在坐标为3 的点的左侧，在坐标为1 的点的右侧所以原不等式的解为13x解法 3：2112113xxx，所以原不等式的解为13x（ 2）解法一 ：由10 x，得1x；由30 x，得3x；若1x， 不等式可变为(1)(3)4xx， 即24x4， 解得 x0， 又 x 1， x 0； 若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条件的x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4， 解得 x4又 x3 ， x4综
8、上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二 ：如图，1x表示 x 轴上坐标为x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离 |P A|，即 |P A| |x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离 |PB|，即 |PB|x 3|所以，不等式13xx4 的几何意义即为|P A| |PB| 4由 |AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点P 在点 D(坐标为 4)的右侧所以原不等式的解为x0，或 x4例 2 （ 1）解： 原式 =221(2 )3xx222222111()(2 )( )2(2)22(2 )333xxxxxx43282212 2339x
9、xxx说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列（2）原式 =33331111()()521258mnmn（3）原式 =24222336(4)(44 )()464aaaaa（4）原式 =2222222() ()()()xyxxyyxyxxyy3326336()2xyxx yy例 3 解：2310 xx0 x13xx原式 =22221111()(1)()()33(33)18xxxxxxxx例 4 解：0,abcabc bca cab原式 =bcacababcbcacab222()()()aabbccabcbcacababc33223()()3(3)3ababababc cabcab
10、c3333abcabc，把代入得原式=33abcabc例 5 解： （1）原式 =23(23)3(23)63 323(23)(23)（2）原式 =(1)(2)23 (2)|1|2|(1)(2)1 (1x2) xxxxxxxx说明 ：注意性质2|aa的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页（3）原式 =22aba bababab（4） 原式 =22222222 23 222xx xxxxxxxx x例 6 解：2223(23)74 3,74 3 14,123
11、23xyxyxy原式 =2222()()()()314(143)2702xyxxyyxyxyxy说明 ：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量【巩固练习 】143x2133633或24355444222222222xyzx yx zy z64 313, 2, 3, 43xybay专题二因式分解答案例 1 分析： (1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66ab，可看着是3232()()ab或2323()()ab解： (1) 3433223813 (27)3 (3
12、 )(39)a bbb abb ab aabb(2) 76663333()()()aaba aba abab2222()()()()a ab aabbab aabb2222()()()()a ab ab aabbaabb例 2（1）分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd2222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcadacbd（ 2）分析 ：先将系数2 提出后，得到22224xxyyz，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四
13、项形成平方差形式，可继续分解因式解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz例 5 解：323234(1)(33)xxxx2(1)(1)3(1)(1)xxxxx2(1)(1)3(1)xxxx22(1)(44)(1)(2)xxxxx【巩固练习 】122(1)()() ; (2) (42 )(2 ) ; (3) (48)(48);bcadacbdxmnxnxxxx2(4) (1)(3)(7) ; (5)(2 ) (2 )xxxxyxy2283；322211(1)(31)422xxxxxx(4)x x其他情况如下：)1)(1(1)2
14、1() 121(222xxxxxxx；2222)1(12)21()1321(xxxxxxx. 4322322()()aa cb cabcbaabbabc专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页例 1 解：2( 2)4 34 12kk， (1) 141203kk； (2) 141203kk；(3) 141203kk； (4)141203kk例 2 解： 可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得：22(2)10 xyxyy由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：222 (2)4(1)
15、300yyyyy，代入原方程得：22101xxx综上知：1,0 xy例 3 解： 由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007xxx x(1) 2222121212()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x(2) 121212112220072007xxxxx x(3) 121212(5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx(4) 22212121212|()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x说 明 ： 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 值 ， 要 熟 练 掌 握 以 下 等 式 变 形 ：222121212()2xxxx
16、x x，12121211xxxxx x，22121212()()4xxxxx x，2121212|()4xxxxx x等等 韦达定理体现了整体思想【巩固练习 】1 A；2A；31,3pq；43,3,0abc；51m(1)当3k时，方程为310 x，有实根； (2) 当3k时，0也有实根 6(1) 314kk且；(2) 7k专题四平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案例 1 解： (1)因为A、B关于 x 轴对称，它们横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以22x，13y，则2, 3A、2,3B(2)因为A、B关于 y 轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，22x，13y，则2,3A、
17、2,3B(3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以22x，13y，则2, 3A、2,3B例 2 分析： 因为直线过第一、三象限，所以可知k0，又因为b2，所以直线与y 轴交于（ 0，2） ，即可知 OB2，而 AOB 的面积为2，由此可推算出OA 2，而直线过第二象限，所以 A 点坐标为（ 2，0） ，由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。解： B 是直线 y kx2 与 y 轴交点， B（0，2） ， OB 2，1222AOBSAO BOAO又，2ykx又，过第二象限，( 2 0)A，1120212xyykxkyx把，代入中得，【巩固练习 】1 B 2 D(2，
18、2)、C(8， 2)、B(6，0)3（ 1）8k （2）点P的坐标是(2 4)P，或(81)P，专题五二次函数参考答案例 1 解： y3x26x 1 3(x1)2 4，函数图象的开口向下；对称轴是直线x 1；顶点坐标为(1，4)；当 x 1 时，函数 y 取最大值y4；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页当 x 1 时， y 随着 x 的增大而增大；当x 1 时， y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图， 选顶点 A(1， 4)， 与 x 轴交于点B2 33(,0)3和 C2 33(,0)3，与 y 轴的交点为D
19、(0，1)，过这五点画出图象（如图2 5 所示） 说明： 从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2 分析： 由于每天的利润日销售量y (销售价 x120)，日销售量y 又是销售价x的一次函数， 所以， 欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解： 由于 y 是 x 的一次函数，于是，设ykx（B），将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有70130,50150,kbkb解得k 1，b200y x200设每天的利润为
20、z（元） ，则 z(x+200)(x120) x2320 x24000 (x160)21600，当 x160 时， z 取最大值1600答： 当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为1600 元例 3 分析： 本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论解： （1）当 a 2 时，函数yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x 2；（2）当 2a 0 时，由图 22 6可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 xa 时，函数取最小值 ya2；（3）当 0 a2 时，由图2 26可知，当x 2 时，函数取最大值y4；当 x 0
21、时，函数取最小值 y0；（4）当 a2 时，由图226可知，当xa 时，函数取最大值ya2；当 x0 时，函数取最小值y0y O x y 2 a a2 4 x y O a 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 说明： 在本例中，利用了分类讨论的方法，对a 的所有可能情形进行讨论此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题例 4（1）分析： 在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解： 二次函数的最大值为2，而
22、最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线yx1 上， 所以，2x1， x1 顶点坐标是 （1， 2） 设该二次函数的解析式为2(2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3， 1） ，21(32)1a，解得 a 2二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y 2x2 8x7说明： 在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题（ 2） 分析一 ：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将
23、函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点( 3，0)，(1，0)，可设二次函数为y a(x3) (x 1) (a0) ，展开，得yax22ax 3a， 顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离x O y x1 A(1,4) D(0,1) B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页2， |4a|2，即 a12所以，二次函数的表达式为y21322xx，或 y21322xx分析二 ： 由于二次函数的图象过点(3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x 1，又由顶点到x 轴的距
24、离为2，可知顶点的纵坐标为2，或 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(3，0)，或 (1，0)，就可以求得函数的表达式解法二 ：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，对称轴为直线x 1又顶点到x 轴的距离为2，顶点的纵坐标为2，或 2于是可设二次函数为ya(x1)22，或 y a(x1)22，由于函数图象过点 (1，0)， 0a(11)22，或0a(11)2 2 a12，或 a12所以，所求的二次函数为y12(x1)22，或 y12(x1)22说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程
25、中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题（ 3） 解： 设该二次函数为yax2bx c(a0) 由函数图象过点(1， 22)，(0， 8)，(2，8)，可得228842abccabc解得a 2，b12，c 8所以，所求的二次函数为y 2x212x8【巩固练习 】1 （1）D （2）C （3）D 2 （1） yx2x2 （2）y x22x3 3 （1）1222xxy （2）1843) 1(422xxxy（3）35251)5)(3(512xxxxy （4）22115323222yxxx4当长为6m，宽为 3m 时，矩形的面积最大5（ 1） 函数 f （ x） 的解析式为, 02,4, 24,4
26、, 46,8, 68.xxxxyxxxx（2）函数 y 的图像如图所示（3）由函数图像可知，函数y 的取值范围是0y2 专题六二次函数的最值问题参考答案例 1 分析 ：由于函数5322xxy和432xxy的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值解 ： （1）因为二次函数5322xxy中的二次项系数20，所以抛物线5322xxy有最低点，即函数有最小值因为5322xxy=849)43(22x，所以当43x时，函数5322xxy有最小值是849（2）因为二次函数432xxy中的二次项系数-1 0，所以抛物线432xxy有最高点，即函数
27、有最大值因为432xxy=425)23(2x，所以当23x时，函数432xxy有最大值425例 2 解： 作出函数的图象当1x时，min1y，当2x时，max5yx y O 2 2 4 6 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页说明： 二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况：例 3 解： 作出函数2(2)2yxxxx在0 x内的图象可以看出：当1x
28、时，min1y，无最大值所以，当0 x时，函数的取值范围是1y例 5 解： (1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x元，那么m件的销售利润为(30)ym x，又1623mx2(30)(1623 )32524860,3054yxxxxx(2) 由(1)知对称轴为42x，位于x的范围内，另抛物线开口向下当42x时，2max342252 424860432y当每件商品的售价定为42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432 元【巩固练习 】14 14 或 2，3222216lm32,2ab414a或1a5当0t时，max22yt，此时1x；当0t时，max22yt，此时1x专题七不等式答案
29、例 2 解： (1) 不等式可化为(2)(4)0 xx 不等式的解是24x(2) 不等式可化为2(2)0 x 不等式的解是2x； (3) 不等式可化为217()024x例 3 解： 显然0k不合题意，于是：222000111( 2)4010kkkkkkkk或例 4 分析： (1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“ 符号法则 ” 将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式 )相除异号，那么这两个数(式 )相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数解： (1) 解法 (一)原不等式可化为：3323023031221010211xxx
30、xxxxxx或或解法 (二) 原不等式可化为：3(23)(1)012xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页(2) 解： 原不等式可化为：135353000222xxxxx(35)(2)020 xxx523xx或说明： (1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0(2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2020133(2)13(2)12xxxxx或【巩固练习 】11(1)0 (2)36 (3)1 (4)32xxxx；211(1)11 (2)3 (3)20 (4)22xxxxxxx或或或；3(1) 无解(2) 全体实数4(1)当2m时，12mxm；(2)当2m时，12mxm；(3) 当2m时，x取全体实数512m；65k751aa或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页