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1、初中数学勾股定理培优教材初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT中，勾股定理的应用：在RT中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（）A、c2- a2=b2B、c2- b2=a2C、a2- c2=b2D、 a2+b2= c2（2）在直角三角形中，A=90，则下列各式中不成立的是（）A、BC 2- AB2=AC 2B、BC 2- AC2=AB 2C、AB2+AC 2= BC 2D、AC2+BC 2= AB22、应用勾股定理求边长（3
2、）已知在直角三角形ABC中， AB=10 cm, BC=8 cm, 求 AC的长 . （4）在直角中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为3、利用勾股定理求面积（5） 已知以直角的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为 25， 16，求另一个半圆的面积。（6）如图（ 1） ，图中的数字代表正方形的面积，则正方形 A 的面积为。（7）如图（ 2） ，三角形中未知边x 与 y 的长度分别是x=,y=。（8）在 RtABC 中， C90，若AC6，BC 8，则 AB 的长为（）A、6 B、8 C、10 D、12 （9） 在直线l上依次摆放着七个正方形 （如图 4 所示）。已知斜放置
3、的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置 的 四 个 正 方 形 的 面 积 依 次 是SS12、SSSSSS341234、，则=_。【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键 在于找 面积相等 ，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）拼图法推导一般步骤：拼出图形-找出图形面积的表达式 -恒等变形 推出勾股定理。（10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为 c）按图拼法。问题：你能用两种方法表示下图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法，论证勾股定 理：222cba3、
4、运用勾股定理进行计算（重难点）（12）如图 ,一根旗杆在离地面9 米处折断倒下 ,旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处,旗杆折断前有多高？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材257（13） 两棵之间的距离为8m， 两棵树的高度分别为8m、2m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？【基础检测】1、在 RtABC中， C90，若 AB13，BC5，则AC的长为（）A.5 B.12 C.13 D.18 2、已知 RtABC中， C90，若14bacm，10ccm，则 RtAB
5、C的面积为（）A . 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm23、若 ABC中， C=90，（1）若 a = 5，b=12，则 c = ；（2）若 a =6，c =10，则 b = ；（3）若 ab=34，c =10，则 a= ，b= 。4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为。 （不取近似值）5、 一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3 : 4，求两直角边的长。6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m 后，底端向外滑动了多少米？【培优突破】1、折叠问题（1） 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC
6、=6cm、BC=8cm，现将 ABC 折叠，使点B与点 A 重合，折痕为DE，则 BE 的长为（）A、4cm B、5cm C、6cm D、10cm （2） 如图，折叠长方形的一边AD，使点 D 落在 BC边上的点 F处，已知 AB=8cm， BC=10cm ，求线段 EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题（3）如图，为了测得小水坑两边A 点和 B 点之间的距离，一个观测者在C 点设桩，使 ABC=90 ，并测得AC=20m，BC=16m,则 A、B 两点之间的距离是对少? 3、分类讨论（已知直角的两边，求第三边）（4）在 ABC中，AB=15， AC=20，BC边上的高 AD=12，则
7、BC的值为（）A、25 B、7 C、25 或 7 D、不能确定（5）已知 3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形为直角三角形，则2a的值是多少？（6）在直角 ABC 中， AB=15， AC=20 ，BC 边上的高AD=12，则 BC的值为多少？4、利用方程解题（7）如图， ABC中， C=90 ，D 是 BC上的一点，已知 BD=7， AB=20，AD=15，求 AC的长 . （8）如图，已知ABC 中，AB=AC=20 ，BC=32，D 是 BC 上一点，且 ADAC，求 BD 的长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页
8、，共 8 页初中数学勾股定理培优教材【培优训练】一、选择题1在 RtABC中， C=90，AC=9 ，BC=12，则点 C到AB 的距离是（）A、B、C、D、2若三角形ABC中， A： B： C=2：1：1，a，b，c 分别是 A， B， C 的对边，则下列等式中，成立的是（）Aa2+b2=c2 Ba2=2c2 Cc2=2a2 D c2=2b2 3 如图， AOC= BOC ，点 P在 OC上，PDOA 于点D，PE OB 于点 E若 OD=8，OP=10，则 PE的长为（）A、 5 B、6 C、 7 D、8 4如图在直角 ABC 中， BAC=90 ， AB=8，AC=6 ，DE 是 AB
9、边的垂直平分线，垂足为D，交边 BC 于点 E，连接 AE，则 ACE的周长为（）A、 16 B、15 C、 14 D、13 5如图，矩形纸片ABCD 中， AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，则 AG 的长为（）A、 1 B、34C、23D、2 6已知 ABC中， AB=17，AC=10，BC边上的高 AD=8，则边 BC的长为（）A、 21 B、15 C、 6 D、以上答案都不对7如图，在RtABC 中， ACB=90 ， CD AB 于 D，已知 BC=8 ，AC=6 ，则斜边AB上的高是（）A、 10 B、5 C、524D、5128如图，阴影部分是一
10、个矩形，它的面积是（）A、25cmB、23cmC、24cmD、25cm9张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（）m A30 B 40 C 50 D 70 10如图在 ABC中 C=90， AD 平分BAC交 BC于 D， 若 BC=64 ， 且 BD： CD=9：7，则点 D 到 AB 边的距离为（）A、18 B、32 C、28 D、24 11如图所示，是用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为 49， 小正方形面积为4， 若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（xy） ，下列四个说法：x2+y2=49，x
11、y = 2，2xy+4=49，x+y=9其中说法正确的是（）A、B、C、D、二填空题（共2 小题）12如图，等腰 ABC中，AB=AC ，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则 AD=_cm13如图，直线L 过正方形 ABCD的顶点 B，点 A、C 到直线 L 的距离分别是1 和2， 则 正 方 形 的 边 长 是_14、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC ，D 是斜边 BC 的中点，E、F分别是 AB、AC边上的点，且DEDF，若 BE=12，CF=5 求线段 EF的长。二、勾股定理的逆定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
12、 - - - -第 3 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材【知识点 3】勾股定理的逆定理（1） 如果的三边满足关系满足，则该为直角三角形。（2）的三边，假设c为最长边，则该为三角形，则该为三角形（3）勾股定理逆定理的用途典型题（1） 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17 （2） 若线段 a， b， c 组成直角三角形， 则它们的比为 （）A、234 B、346 C、51213 D、467 （3）下面的三角形中： ABC中， C=A B； ABC中， A： B： C=1 ：2：3； ABC中
13、，a：b：c=3：4：5； ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有（）个A1 B2 C3 D4 （4）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C .等腰直角三角形D. 不等边三角形（5） 已知 a，b，c 为 ABC三边，且满足A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( ) A 钝角三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形（7）若 ABC的三边长分别长a,b,c，且满足, 试判断ABC的形状。（8） ABC的两边分别为5, 12
14、， 另一边为奇数， 且 a+b+c是3 的倍数，则c 应为，此三角形为。（9）求：若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角形的最大内角是度。已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为。【知识点 4】勾股数（1）勾股数是正整数（2）满足的关系条件（3）勾股数的n 倍（ n0） ，仍然满足（4）常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）（1） 某楼梯的侧面视图如图3 所示，其中米， 因 某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB段楼梯所铺地毯的长度应为（2）如图， 在棱长为 1 的正方体 ABCD ABCD的表面上，求从顶点A 到顶点C的最短距离（3） 如图一个
15、圆柱， 底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到B 点，则最少要爬行cm （4） 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材2、航海问题（1） 一轮船以 16海里 /时的速度从 A港向东北方向航行，另一艘船同时以12 海里 /
16、时的速度从A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距_海里（2）如图，某货船以24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C在北偏东 60的方向上。该货船航行30分钟到达 B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上， 已知在 C岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。（3）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向260km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h的速度向D 移动，已知城市A 到 BC 的距离AD=100km. 那么台风中心经过多长时间从B点移到 D点？如果在距台风
17、中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？3、网格问题（1） 如图 1， 正方形网格中， 每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中， 边长为无理数的边数是 （）A0 B1 C2 D3 （2）如图 2，正方形网格中的ABC ， 若小方格边长为 1，则 ABC是 （）A.、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、以上答案都不对（3） 如图，小方格都是边长为1的正方形 ,则四边形 ABCD的面积是( ) A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 （4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶
18、点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、 、 （在图甲中画一个即可） ；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）DBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材4、折叠问题（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 ，BC=8 ，将 ABC折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE，则 CD等于（）A. 425B. 322C. 47D. 35（2）如图所示，已知ABC中， C=90， AB 的垂直平分线交 BC于 M，交 AB于 N，若 AC=4，M
19、B=2MC，求AB 的长（3）如图，在长方形ABCD中， DC=5，在 DC边上存在一点 E，沿直线 AE把 ABC折叠，使点D 恰好在 BC边上，设此点为 F，若 ABF的面积为 30，求折叠的 AED的面积（4）如图，在长方形ABCD中，将 ABC沿 AC 对折至AEC位置， CE与 AD 交于点 F。试说明： AF=FC ；如果AB=3，BC=4 ，求 AF的长（5）如图 2 所示，将长方形 ABCD沿直线 AE 折叠，顶点D 正好落在BC边上 F点处， 已知 CE=3cm ，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 _（6）如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A 与 CD边上的点 M 重合，折
20、痕交AD 于 E，交 BC于 F，边 AB 折叠后与 BC边交于点 G。如果 M 为 CD边的中点，求证： DE ：DM：EM=3：4：5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材勾股定理参考答案一、探索勾股定理（1）C （2）D （3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。6 或412（4）根据非负数的性质，b=4 和0962aa，解得 a=3，根据勾股定理，斜边=5 （5） 这类型题目 （分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）S1=S2+S3 ，S3=9
21、 （6）25 （7）10， 12 （8）C，斜边 AB=10 （9） 4， 根据全等三角形和勾股定理，S1+S2=1 ， S2+S3=2 ，S3+S4=3 ，S1+S2+S3+S4=1+3=4 （10） ，结论：（11）结论：（12）h=9+ （13）10 m 【基础检测】1、B 2、A,解： , 3、 （1）13， （2）8， （3）6, 8 4、725、12,16 解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5，三边分别为3x, 4x, 5x，5x=20 6、作如下辅助图：BD=CE=10 ，AB=8，BC=2 ，AC=6 根据勾股定理： AD=6, AE=8 DE=AE-AD=8
22、-6=2 m 【培优突破】（1）B （2）3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理（3）12 m （4）C，如右图（5）25 或 7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要讨论确定斜边。（6）25 ，AB 一定是直角边，想想：BC 是否一定是斜边呢？ BC边上的高为12，不是 15， 所以 BC一定是斜边（7）12, 解：设 DC=y，根据勾股定理有：,即解得： y=9 AC=12 （8）7, 解：作 AEBC与 E，设 BD=X 则 AE=12 DE=16-x DC=32-x 如图，根据勾股定理有：即解得： x = 7 【培优训练】1、A，三角形的面积计算2、B 3、B, 4、A，5、C 6、D，如
23、右图， BC的长 21 或 9 7、C 8、A 9、C 10、C 11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、4 13、14、 连接 AD，则 BDE ADF，则 ADE CDF ，则 AE=CF=5 ，AF=BE=12 ， EF=13 二、勾股定理的逆定理典型题答案（1）D （2）C （3） D （4）C （5）C （6）C （7）直角三角形解：所以： a=6, b=8, c=10 （ 8）直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有a+b+c=5+12+c=17+c ，根据条件有：解得： c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为Rt（9） 90， 30三、勾股定理的应用1、与图形有关
24、的计算（1）（2）（3）5 （4）设：正方形的边长为a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页初中数学勾股定理培优教材方案一： S=3a 方案二： S=3a 方案三： S= 方案四： S=(1+)a , 分析：a ， ，, 所以：方案四最节省电线2、航海问题（1）30 （2）CD= ，无暗礁风险（3）台风中心经过16h 从 B 点移动到 D 点14h 内撤离才可脱离危险3、网格问题（1）D（2）A （3）B （4）如图：不唯一4、折叠问题（1）C （2）8 （3）DE=X, 则在直角 EFC中：FG=1 ，EF=X, EC=5-X ，有：解得： x=, SAED=16.9 （4）提示：角平分线+平行线，构造等腰模型设 AF=X ，则 ,解得： x=25/8 （5）30 （6）证明提示：设： DM=X, DE=y ，则：正方形边长为2x，AE=2xy，满足： ,解得： 3x=4y.， 则可设： y=3k，x=4x， 则 正 方 形 变 成 为8k ， 则AE=5k， 所 以 ：DE:DM:EM=3K:4K:5K , 即： DE:DM:EM=3:4:5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页