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1、优秀学习资料欢迎下载初 中 几 何 证 明 题经 典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB ，EFAB ，EGCO求证： CD GF （初二）证明：过点G 作 GHAB 于 H，连接 OE EGCO，EFAB EGO=90， EFO=90 EGO+EFO=180E、G、 O、 F四点共圆 GEO=HFG EGO=FHG=90 EGO FHG FGEO=HGGOGH AB，CDAB GH CD CDCOHGGOCDCOFGEOEO=CO CD=GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD 内部的一点，PAD PDA15。求证： PBC 是正三角形 （初二）证明：作正
2、三角形ADM ，连接 MP MAD=60 ， PAD=15 MAP= MAD+ PAD=75 BAD=90 ， PAD=15 BAP= BAD- PAD=90-15=75 BAP= MAP MA=BA ，AP=AP MAP BAP BPA=MPA，MP=BP 同理 CPD=MPD ，MP=CP PAD PDA 15PA=PD， BAP= CDP=75BA=CD BAP CDP BPA=CPD BPA=MPA， CPD= MPD MPA= MPD=75 BPC=360 -75 4=60MP=BP， MP=CP BP=CP BPC 是正三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
3、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载3、已知：如图，在四边形ABCD 中， AD BC，M、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN于 E、F求证： DEN F证明 :连接 AC，取 AC 的中点 G,连接 NG、MG CN=DN ，CG=DG GN AD ，GN=21AD DEN= GNM AM=BM ，AG=CG GM BC，GM=21BC F=GMN AD=BC GN=GM GMN= GNM DEN= F 经 典题（二）1、已知： ABC 中， H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM BC 于 M（1）求证： AH
4、2OM ；（2）若 BAC 600，求证： AH AO （初二）证明：（1）延长 AD 交圆于 F，连接 BF，过点 O 作 OG AD 于 G OG AF AG=FG AB=AB F=ACB 又 AD BC， BEAC BHD+ DBH=90 ACB+ DBH=90 ACB= BHD F=BHD BH=BF 又 AD BC DH=DF AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（ GH+DH ）=2GD 又 AD BC， OM BC，OGAD 四边形 OMDG 是矩形OM=GD AH=2OM （2）连接 OB、OC BAC=60 BOC=120 OB=OC ，O
5、MBC BOM=21BOC=60 OBM=30 BO=2OM 由（ 1）知 AH=2OM AH=BO=AO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载2、设 MN 是圆 O 外一条直线，过O 作 OA MN 于 A，自 A 引圆的两条割线交圆O 于 B、C 及 D、E，连接 CD 并延长交MN 于 Q，连接 EB 并延长交MN 于 P. 求证： APAQ 证明：作点E 关于 AG 的对称点F，连接 AF、CF、 QF AG PQ PAG=QAG=90 又 GAE= GAF PAG+GAE= QAG+ GAF
6、 即 PAE=QAF E、F、C、D 四点共圆 AEF+ FCQ=180EFAG ，PQAG EFPQ PAF=AFE AF=AE AFE= AEF AEF= PAF PAF+QAF=180 FCQ=QAF F、 C、A、Q 四点共圆 AFQ= ACQ 又 AEP= ACQ AFQ= AEP 3、设 MN 是圆 O 的弦，过MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE ，设 CD、EB 分别交 MN 于 P、Q求证： APAQ （初二）证明：作 OFCD 于 F，OGBE 于 G，连接 OP、OQ、OA、AF、 AG C、D、B、E 四点共圆 B=D， E=C ABE ADC DFBGFD2BG2D
7、CBEADAB ABG ADF AGB= AFD AGE= AFC AM=AN ，OA MN 又 OGBE， OAQ+ OGQ=180O、A、Q、E 四点共圆 AOQ= AGE 同理 AOP=AFC AOQ= AOP 又 OAQ= OAP=90， OA=OA OAQ OAP AP=AQ 在 AEP 和 AFQ 中AFQ= AEP AF=AE QAF= PAE AEP AFQ AP=AQ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载4、如图 ,分别以 ABC 的 AB 和 AC 为一边 ,在 ABC 的外侧作
8、正方形ABFG 和正方形ACDE ，点 O 是 DF的中点， OPBC 求证： BC=2OP（初二）证明：分别过F、A、 D 作直线 BC 的垂线，垂足分别是L、M、N OF=OD ，DNOPFL PN=PL OP 是梯形 DFLN 的中位线DN+FL=2OP ABFG 是正方形 ABM+ FBL=90 又 BFL+ FBL=90 ABM= BFL 又 FLB= BMA=90 ， BF=AB BFL ABM FL=BM 同理 AMC CND CM=DN BM+CN=FL+DN BC=FL+DN=2OP 经 典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，AEAC， AE 与 CD
9、相交于 F求证： CECF （初二）证明：连接BD 交 AC 于 O。过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC 又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 ODEG 是矩形EG=OD=21BD=21AC=21AE EAG=30 AC=AE ACE= AEC=75 又 AFD=90 -15=75 CFE=AFD=75 =AEC CE=CF 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载2、如图，四边形ABCD 为正方形， DEAC ，且 CECA ，直线
10、EC 交 DA 延长线于F求证： AEAF （初二）证明：连接BD，过点 E 作 EGAC 于 G ABCD 是正方形BD AC，又 EGAC BD EG 又 DEAC ODEG 是平行四边形又 COD=90 ODEG 是矩形EG = OD =21BD=21AC=21CE GCE=30AC=EC 3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点， PFAP，CF 平分 DCE求证： PAPF （初二）证明：过点F 作 FGCE 于 G，FHCD 于 H CD CG HCGF 是矩形 HCF= GCF FH=FG HCGF 是正方形CG=GF APFP APB+ FPG=90 APB+ B
11、AP=90 FPG=BAP 又 FGP=PBA FGP PBA FG：PB=PG：AB 4、如图， PC 切圆 O 于 C， AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线， AE、AF 与直线 PO 相交于 B、D求证： AB DC， BCAD （初三）证明：过点E 作 EKBD，分别交AC 、AF 于 M、K，取 EF 的中点 H，连接 OH、MH 、EC EH=FH OH EF， PHO=90 又 PCOC， POC=90P、 C、H、O 四点共圆 HCO=HPO 又 EKBD， HPO=HEK HCM= HEM H、C、E、 M 四点共圆 ECM= EHM 又 ECM= EFA EHM= EFA
12、 HM AC EH=FH 设 AB= x，BP=y，CG=zz：y=（x-y+z）：x 化简得（ x-y） y=（ x-y） zx-y0 y=z即 BP=FG ABP PGF CAE= CEA=21 GCE=15在 AFC 中 F =180-FAC- ACF =180-FAC- GCE =180-135-30=15 F= CEA AE=AF EM=KM EKBD KMODAMAOEMOBOB=OD 又 AO=CO 四边形ABCD的对角线互相平分ABCD 是平行四边形AB=DC ，BC=AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共
13、 9 页优秀学习资料欢迎下载QCABPEPBACDECBAD经典题 ( 四) 1、已知： ABC 是正三角形， P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求 APB 的度数（初二）解：将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转60得 BCQ，连接 PQ 则 BPQ 是正三角形 BQP=60， PQ=PB=3 在 PQC 中， PQ=4， CQ=AP=3 ，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90 BQC=BQP+PQC=60+90=150 APB= BQC=150 2、设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA PDA 求证： PAB PCB （初二）证明：过点P 作 AD 的平行线，过
14、点A 作 PD 的平行线，两平行线相交于点E，连接 BE PEAD ，AEPD ADPE 是平行四边形PE=AD ，又 ABCD 是平行四边形AD=BC PE=BC 又 PEAD ， AD BC PEBC BCPE 是平行四边形 BEP=PCB ADPE 是平行四边形 ADP= AEP 3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BCAC BD （初三）证明：在 BD 上去一点E，使 BCE= ACD CD=CD CAD= CBD BEC ADC ACBCADBEAD BC=BE AC BCE= ACD BCE+ ACE= ACD+ ACE 即 BCA= ECD BC=BC,
15、BAC= BDC BAC EDC CDACDEABAB CD=DE AC 又 ADP= ABP AEP= ABP A、E、B、P 四点共圆 BEP=PAB PAB=PCB +得 ABCD+ AD BC =DE AC+ BE AC =（DE+BE ） AC =BD AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载GDFEABCP4、平行四边形ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB 上的一点， AE 与 CF 相交于 P，且AECF求证： DPA DPC （初二）证明：过点D 作 DG AE 于 G，作
16、 DH FC 于 H，连接 DF、DE SADE=12AE DG，SFDC=12FC DH 又 SADE= SFDC=12S ABCDAEDG=FC DH 又 AE=CF DG=DH 点 D 在 APC 的角平分线上 DPA DPC 经 典题（五）1、设 P 是边长为1的正 ABC 内任一点， LPAPBPC， 求证：3L2证明：（1）将 BPC 绕 B 点顺时针旋转60的 BEF，连接 PE，BP=BE ， PBE=60 PBE 是正三角形。PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 当 PA、 PE、EF 在一条直线上的时候，L=PA+PE+EF 的值最小（如图）在
17、 ABF 中， ABP=120 AF=3L=PA+PB+PC 3（2）过点 P 作 BC 的平行线分别交AB、AC 于 D、 G 则 ADG 是正三角形 ADP= AGP，AG=DG APD AGP APD ADP AD PA又 BD+PD PBCG+PG PC+ +得 AD+BD+CG+PD+PG PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=1 L2 由（ 1）（ 2）可知：3L2HGFDACBEP 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载GFEB
18、CADPQBCADP2、已知： P 是边长为1 的正方形ABCD 内的一点，求PA PBPC 的最小值解：将 BCP 绕点 B 顺时针旋转60 得 BEF，连接 PE，则 BPE 是正三角形PE=PB PAPBPC=PA+PE+EF要使PA PBPC 最小，则PA、PE、EF 应该在一条直线上（如图）此时 AF= PA+PE+EF过点 F 作 FGAB 的延长线于G 则 GBF=180 -ABF=180 -150=30GF=12，BG=23AF=22AGGF=2212321=32PAPBPC 的最小值是323、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA a，PB2a，PC 3a，求正方形的边长证
19、明：将 ABP 绕点 B 顺时针旋转90得 BCQ ，连接 PQ 则 BPQ 是等腰直角三角形，PQ=2PB=22a=22a 又 QC=AP=a QP2+QC2=(22a)2+a2=9a2=PC2PQC 是直角三角形 BQC=135 BC2=BQ2+CQ2-2BQCQcosBQC =PB2+PA2-2PBPAcos135=4a2+a2-22aa(-22) 解得 BC=a225正方形的边长为a225精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页优秀学习资料欢迎下载GFEDACB4、如图， ABC 中， ABC ACB 80， D、
20、 E 分别是 AB 、AC 上的点， DCA 30， EBA 20，求 BED 的度数解：在 AB 上取一点F，使 BCF=60 ，CF 交 BE 于 G，连接 EF、DG ABC=80 ， ABE=20 ， EBC=60 ，又 BCG=60 BCG 是正三角形BG=BC ACB=80 ， BCG=60 FCA=20 EBA= FCA 又 A= A，AB=AC ABE ACF AE=AF AFE= AEF=12（180-A）=80又 ABC=80 =AFE EFBC EFG=BCG=60 EFG 是等边三角形EF=EG， FEG=EGF=EFG=60ACB=80 ， DCA=30 BCD=50
21、 BDC=180 -BCD- ABC=180 -50-80=50 BCD= BDC BC=BD 前已证 BG=BC BD=BG BGD= BDG=12（180-ABE ）=80 FGD=180 -BGD- EGF=180-80 -60=40又 DFG=180 -AFE- EFG=180-80-60=40 FGD=DFGDF=DG 又 EF=EG， DE=DE EFD EGD BED= FED=12FEG=1260=305、如图， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径， ACB 的平分线交 O 于点 D，过点 D 作 O 的切线 PD 交 CA 的延长线于点P，过点 A 作 AECD 于
22、点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F，若 AC=6，BC=8 ，求线段 PD 的长。解： ACD= BCD AD=BDAD=BDAB 为 O 的直径 ADB=90 ABD 是等腰直角三角形 ACB=90 ， AC=6 ，BC=8 AB=10 AD=AB cosDAB=10 22=52又 AECD， ACD=45 ACE 是等腰直角三角形CE=AE=AC cosCAE=6 22=32在 ADE 中， DE2=AD2-AE2DE2=32232522）（）（-DE=24CD=CE+DE=32+24=27 PDA= PCD， P=P PDA PCD 752725CDADPDPAPCPDPC=57PD，PA=75PD PC=PA+AC 57PD=75PD+6 解得 PD=435精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页