《2022年典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程思想 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程思想 .pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载函数与方程思想1 函数与方程思想的含义(1) 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识， 建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等(2) 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系2 和函数与方
2、程思想密切关联的知识点(1) 函数与不等式的相互转化对函数yf(x) ，当y0 时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2) 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3) 在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解(4) 解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(5) 立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的
3、方法加以解决. 类型一函数与方程思想在数列中的应用例 1 已知数列 an是各项均为正数的等差数列(1) 若a12，且a2，a3，a41 成等比数列，求数列an的通项公式an；(2) 在(1) 的条件下，数列an 的前n项和为Sn，设bn1Sn11Sn21S2n，若对任意的nN*， 不等式bnk恒成立，求实数k的最小值解(1) 因为a12，a23a2(a41) ，又因为 an 是正项等差数列，故d0，所以 (22d)2(2d)(3 3d) ，得d2 或d 1( 舍去 ) ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - -
4、 - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载所以数列 an的通项公式an2n. (2) 因为Snn(n1) ，bn1Sn11Sn21S2n1nn1nn12nn1n11n21n21n312n12n11n112n 1n2n23n112n1n3，令f(x) 2x1x(x1)，则f(x) 21x2，当x1 时，f(x)0 恒成立，所以f(x) 在 1 ， ) 上是增函数，故当x1 时， f(x)minf(1) 3，即当n1 时， (bn)max16，要使对任意的正整数n，不等式bnk恒成立，则须使k(bn)max16，
5、所以实数k的最小值为16. (1) 等差 ( 比) 数列中各有5 个基本量，建立方程组可“知三求二”；(2) 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解已知数列 an是等差数列，a11，a2a3a10 144. (1) 求数列 an 的通项an；(2) 设数列 bn 的通项bn1anan1，记Sn是数列 bn的前n项和，若n3 时，有Snm恒成立，求m的最大值解(1) an 是等差数列，a11，a2a3a10144，S10145，S10a1a102，a1028，公差d3. an3n2(nN*) (2) 由(1)
6、知bn1anan11nn名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载1313n213n1，Snb1b2bn13113n1，Snn3n1. Sn1Snn13n4n3n11nn0，数列 Sn 是递增数列当n3 时， (Sn)minS3310，依题意，得m310，m的最大值为310. 类型二函数与方程思想在方程问题中的应用例 2 如果方程cos2xsin xa0 在(0 ，2 上有解，求a的取值
7、范围解方法一设f(x) cos2xsin x(x(0，2) 显然当且仅当a属于f(x) 的值域时，af(x) 有解f(x) (1 sin2x) sin x(sin x12)254，且由x(0，2 知 sin x(0,1 易求得f(x) 的值域为 ( 1,1 故a的取值范围是 ( 1,1 方法二令tsin x，由x(0，2 ，可得t(0,1 将方程变为t2t1a0. 依题意，该方程在(0,1 上有解设f(t) t2t1a. 其图象是开口向上的抛物线，对称轴t12，如图所示因此f(t) 0 在(0,1上有解等价于ff，即1a01a0， 10，x10，即 1x3时， 方程化为 (x1)(3 x) a
8、x， 即x25x3a.(*) 作出函数yx25x3 (1x3) 的图象 ( 如图 ) ，该图象与直线ya 的交点横坐标是方程(*) 的解，也是原方程的解由图形易看出：当 3a134时，原方程有两解；当 1134或a1 时，原方程无解类型三函数与方程思想在不等式中的应用例 3 设f(x) ln xx 1，证明：(1) 当x1 时，f(x)32(x1) ；(2) 当 1x3 时，f(x)1 时，g(x) 1x12x320. 又g(1) 0，所以有g(x)0，即f(x)1 时， 2xx1，故xx212. 令k(x) ln xx 1，则k(1) 0，k(x) 1x10，故k(x)0，即 ln x1 时
9、，f(x)32(x1) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2) 方法一记h(x) f(x) xx5，由(1) 得h(x)1x12x54x22x2x54x2x54x54x2x3216x4xx2. 令G(x) (x5)3216x，则当 1x3 时，G(x) 3(x5)2 2160，因此G(x) 在 (1,3) 内是减函数又由G(1) 0，得G(x)0，所以h(x)0. 因此h(x)
10、 在 (1,3) 内是减函数又h(1) 0，所以h(x)0. 于是当 1x3 时，f(x)xx5. 方法二记h(x) (x5)f(x) 9(x1) ，则当 1x3 时，由(1) 得h(x)f(x) (x5)f(x) 9 32(x1)(x5)1x12x9 12x3x(x1) (x 5)(2 x) 18x 12x3xxx2x21218x14x(7x232x25)0. 因此h(x) 在 (1,3) 内单调递减又h(1) 0，所以h(x)0，即f(x)0即x(0,1 时，f(x) ax33x10 可化为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
11、精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a3x21x3. 设g(x)3x21x3，则g(x) 2xx4，所以g(x) 在区间0，12上单调递增，在区间12，1 上单调递减，因此g(x)maxg124，从而a4；当xb0)，设F(c,0) ，直线l：xyc0，由坐标原点O到l的距离为22，得|0 0c|222，解得c1. 又eca22，故a2，b 1，所求椭圆方程为x22y21. (2) 假设存在点M(m,0) (0m1)满足条件， 使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x
12、轴不垂直，所以设直线l的方程为yk(x1)(k0)，P(x1，y1) ，Q(x2，y2) ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由x22y22，ykx，可得 (1 2k2)x2 4k2x2k220. 显然 0 恒成立，x1x24k212k2，x1x22k2212k2. 设线段PQ的中点为N(x0，y0) ，则x0 x1x222k212k2，y0k(x0 1)k1 2k2. 以MP、
13、MQ为邻边的平行四边形是菱形，MNPQ，kMNkPQ 1. 即k12k22k212k2mk 1，mk212k2121k2，k20，0mb0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy6 0相切， 过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A、B两点(1) 求椭圆C的方程；(2) 求OAOB的取值范围；(3) 若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点(1) 解由题意知eca12，e2c2a2a2b2a214，即a243b2，又b6113，a24，b23，故椭圆C的方程为x24y231. (2) 解由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk
14、(x4) ，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载由ykxx24y231得(4k23)x232k2x64k2120，由 ( 32k2)24(4k23)(64k212)0 得k214. 设A(x1，y1) ，B(x2，y2)，则x1x232k24k2 3，x1x264k2124k23，y1y2k(x14)k(x24)k2x1x24k2(x1x2) 16k2，OAOBx1x2y1y2(1
15、 k2) 64k2124k234k232k24k2316k225874k23，0k214，873874k23874，OAOB 4，134，OAOB的取值范围是4，134. (3) 证明B、E两点关于x轴对称，E(x2，y2) ，直线AE的方程为yy1y1y2x1x2(xx1) ，令y0 得xx1y1x1x2y1y2，又y1k(x14) ，y2k(x24) ，x2x1x2x1x2x1x28，将代入上式得x 1，直线AE与x轴交于定点 (1,0)1 在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时
16、，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量2 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想3 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解( 证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载4 许多数
17、学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位， 把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量1 若 2x5y2y5x，则有( ) Axy0 B xy0Cxy0 D xy0答案B 解析把不等式变形为2x5x2y5y，构造函数y2x 5 x，其为 R 上的增函数，所以有xy. 2 设直线xt与函数f(x) x2，g(x) ln x的图象分别交于点M、N，则当 |MN| 达到最小时t的值为( ) A1 B.12C.52D.22答案D解析可知 |MN| f(x) g(x) x2ln x. 令F(x) x2 ln x
18、，F(x) 2x1x2x21x，所以当 0 x22时，F(x)22时，F(x)0 ，F(x) 单调递增，故当xt22时，F(x) 有最小值，即|MN| 达到最小3 长度都为2 的向量OA，OB的夹角为60，点C在以O为圆心的圆弧AB( 劣弧 ) 上，OCmOAnOB，则mn的最大值是 _答案233解析建立平面直角坐标系，设向量OA(2,0) ，向量OB(1 ，3) 设向量OC(2cos ，2sin ) ，0 3. 由OCmOAnOB，得 (2cos ，2sin ) (2mn，3n) ，即 2cos 2mn,2sin 3n，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -
19、- - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载解得mcos 13sin ，n23sin . 故mncos 13sin 233sin3233. 4 已知f(x) xln x，g(x) x2ax 3. 若对一切x(0，) ，2f(x) g(x)恒成立 实数a的取值范围为 _答案a4解析由题意，得当x(0， ) 时，有 2xln xx2ax3，则a2ln xx3x. 设h(x) 2ln xx3x(x0)， 则h(x) xxx2， 当x(0,1) 时，h(x)0 ，h(
20、x) 单调递增，所以h(x)minh(1) 4. 因为对一切x(0， ) ， 2f(x) g(x) 恒成立，所以ah(x)min4. 5 已知椭圆G：x2a2y2a211(a1)，M：(x1)2y21，P为椭圆G上一点，过P作M的两条切线PE、PF，E、F分别为切点(1) 求t|PM| 的取值范围；(2) 把PEPF表示成t的函数f(t) ，并求出f(t) 的最大值、最小值解(1) 设P(x0，y0) ，则x20a2y20a211(a1)，y20(a21) 1x20a2，t2|PM|2 (x01)2y20(x01)2(a2 1) 1x20a21ax0a2，t1ax0a. ax0a，a1ta1(
21、a1) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载(2) PEPF|PE|PF|cos EPF|PE|2(2cos2EPM1) (|PM|21)PM|2|PM|21(t21)t2t2 1t22t23，f(t) t22t23(a1ta1) 对于函数f(t) t22t23(t0)，显然在t(0，42 时，f(t) 单调递减，在t42，) 时，f(t)单调递增因此，对于函数f(t) t22t23(a1ta1) ，当a421，即a142时，f(t)maxf(a1) a22a 22a2，f(t)minf(a1) a22a 22a2；当12a42 1 时，f(t)maxf(a1) a22a 22a2，f(t)minf(42) 223；当 1a12时，f(t)maxf(a1) a22a 22a2，f(t)minf(42) 223. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -