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1、名师总结优秀知识点第四章因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法. 如多项式),(cbamcmbmam其中 m叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法. 运用公式法，即用)(,)(2),)(223322222babababababababababa三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：bnbmanam分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含
2、有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 =)()(bnbmanam=)()(nmbnma每组之间还有公因式！=)(banm思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后， 每组内可以提公因式，且各组分解后， 组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 =)5()102(bxbyayax原式 =)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bay
3、x=)5)(2(yxba（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 =)()(22ayaxyx=)()(yxayxyx=)(ayxyx例 4、分解因式：2222cbaba解：原式 =222)2(cbaba=22)(cba=)(cbacba练习：分解因式3、yyxx39224、yzzyx2222练习：（1）3223yxyyxx（2）baaxbxbxax22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6
4、页名师总结优秀知识点（3）181696222aayxyx（ 4）abbaba4912622（5）92234aaa（6）ybxbyaxa222244（7）222yyzxzxyx（8）122222abbbaa（9）)1)(1()2(mmyy（10）)2()(abbcaca（11）abcbaccabcba2)()()(222（12）abccba3333四、十字相乘法. （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式)()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式：652xx分析：将6 分成两个数相乘
5、，且这两个数的和要等于5。由于 6=2 3=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)， 从中可以发现只有23的分解适合， 即 2+3=5。1 2 解：652xx=32)32(2xx1 3 =)3)(2(xx12+13=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式：672xx解：原式 =)6)(1()6() 1(2xx1 -1 =)6)(1(xx1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式 (1)24142xx(2)36152aa(3)542xx练习 6、分解因式 (1)22xx(2)1522yy(3)24102xx
6、（二）二次项系数不为1 的二次三项式cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=)(2211cxacxa例 7、分解因式：101132xx分析：1 -2 3 -5 （-6） +（-5）= -11 解：101132xx=)53)(2(xx练习 7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（ 4）101162yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页名师总结优秀知识点（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分
7、解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：221288baba=)16(8)16(82bbabba=)16)(8(baba练习 8、分解因式 (1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、22672yxyx例 10、2322xyyx1 -2y 把xy看作一个整体1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式 =)32)(2(yxyx解：原式 =)2)(1(x
8、yxy练习 9、分解因式：（1）224715yxyx（ 2）8622axxa综合练习10、 （ 1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（ 10）2222)(2)(11)(12yxyxyx思考：分解因式：abcxcbaabcx)(2222五、主元法 . 例 11、分解因式：2910322yxyxyx5 -2 解法一：以x为主元2 -1 解：原式 =)2910(
9、)13(22yyyxx(-5)+(-4)= -9 =) 12)(25()13(2yyyxx1 -(5y-2) =)12()25(yxyx1 (2y-1) =)12)(25(yxyx-(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1) 解法二：以y为主元1 -1 解：原式 =)2()93(1022xxxyy1 2 =)2()93(1022xxyxy-1+2=1 =)2)(1()93(102xxyxy2 (x-1) =)2(5)1(2xyxy5 -(x+2) =)25)(12(xyxy5(x-1)-2(x+2)=(3x-9) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
10、 - - -第 3 页，共 6 页名师总结优秀知识点练习 11、分解因式 (1)56422yxyx(2)67222yxyxyx(3)613622yxyxyx(4)36355622bababa六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对FEyDxCyBxyAx22型多项式的分解因式。条件：（1）21aaA，21ccC，21ffF（2）Bcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221即：1a1c1f2a2c2fBcaca1221，Efcfc1221，Dfafa1221则FEyDxCyBxyAx22)(222111fcxafycxa例 12、分解因式（1）2910322yxyxyx（2）61
11、3622yxyxyx解： （1）2910322yxyxyx应用双十字相乘法：xy52xy21xyxyxy352，yyy945，xxx2原式 =) 12)(25(yxyx（2）613622yxyxyx应用双十字相乘法：xy23xy32xyxyxy23，yyy1394，xxx32原式 =)23)(32(yxyx练习 12、分解因式（1）67222yxyxyx（2）22227376zyzxzyxyx七、换元法。例 13、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解： （1）设 2005=a，则原式 =axaax) 1(22=)(1(axax=)20
12、05)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 =222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672原式 =2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习 13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师总结优秀知识点（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa例 14、分解因式（ 1）262234xxxx观察：此多项式的特点是关于x的降幂排列，每
13、一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称” 。这种多项式属于“等距离多项式”。方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式 =)1162(222xxxxx=6)1()1(2222xxxxx设txx1，则21222txx原式 =6)2222ttx （=10222ttx=2522ttx=215222xxxxx=21522xxxxxx=1225222xxxx=)2)(12()1(2xxx（2）144234xxxx解：原式 =2221414xxxxx=1141222xxxxx设yxx1，则21222yxx原式 =3422yyx=312yyx=)31)(11(2xxxxx=13122
14、xxxx练习 14、 （1）673676234xxxx（2）)(2122234xxxxx八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（1）4323xx解法 1拆项。解法 2添项。原式 =33123xx原式 =444323xxxx=)1)(1(3) 1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=) 1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（2）3369xxx解：原式 =)1()1()1(369xxx=)1() 1)(1()1)(1(333363xxxxxx=)111)(1(3363xxxx=
15、)32)(1)(1(362xxxxx练习 15、分解因式（1）893xx（2）4224)1()1()1(xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师总结优秀知识点（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba九、待定系数法。例 16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3 项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx)2)(3(nyxmy
16、x=mnymnxnmyxyx)23()(622613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm原式 =)32)(23(yxyx例 17、 （1）当m为何值时，多项式6522ymxyx能分解因式，并分解此多项式。（ 2）如果823bxaxx有两个因式为1x和2x，求ba的值。（ 1 ） 分 析 ： 前 两 项 可 以 分 解 为)(yxyx， 故 此 多 项 式 分 解 的 形 式 必 为)(byxayx解：设6522ymxyx=)(byxayx则6522ymxyx=abyabxbayx)()(22比较对应的系
17、数可得：65ababmba，解得：132mba或132mba当1m时，原多项式可以分解；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx；当1m时，原式 =)3)(2(yxyx（2）分析：823bxaxx是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如cx的一次二项式。解：设823bxaxx=)(2)(1(cxxx则823bxaxx=cxcxcx2)32()3(2382323ccbca，解得4147cba，ba=21 练习 17、 （1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx（3） 已知：pyxyxyx1463222能分解成两个一次因式之积，求常数p并且分解因式。（4）k为何值时，253222yxkyxyx能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页