2022年八年级二次根式 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第五章 二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（） 。注：

2、因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是0，所以非负精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页学习必备欢迎下载数（）的算术平方根是非负数，即0（） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 ；若，则 a=0,b=0 。知识点四：二次根式（） 的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注： 二次根式的性质公式（） 是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公

3、式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、 化简时， 一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数， 若是正数或 0， 则等于 a本身， 即；若 a 是负数，则等于a 的相反数 -a, 即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的

4、运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算1二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：123123123(0000)nnnaaaaaaaaaaaa，2二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算

5、有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页学习必备欢迎下载怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1. 明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2. 在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3. 在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果 . (1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是

6、进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握 . 在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简 . 例如82627，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262 327273，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：223232321，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化. 两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含

7、二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式：（1）aa与互为有理化因式；（2）abab与互为有理化因式；一般地ac bac b与互为有理化因式；（3）abab与互为有理化因式；一般地cadbadb与c互为有理化因式. 专题总结及应用一、知识性专题专题 1 二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解. 例 1 当x取何值时，913x的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知9191xx0，即的最小值为0，因为3 是常数，所以913x的最小值为 3. 解：91x

8、0，9133x，当 9x+1=0，即19x时，9133x有最小值，最小值为3. 【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即a0（a0）. 专题 2 二次根式的化简及混合运算【专题解读】 对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用2|aa这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页学习必备欢迎下载例 2 下列计算正确的是（）2712A. 822 B. 941362C. (2+5)(2-5)1 D.3 2 2分析根据具体选项，应先进行化简，

9、再计算. A 选项中，822 222，B 选若可化为3 32 3333，C 选项逆用平方差公式可求得255（）（ 2-）=4- 5=- 1，而 D 选项应将分子、分母都乘2，得6 223 2 -12. 故选 A. 例 3 计算20062007(21)(21)的结果是（）A. 1 B. -1 C. 21 D. 21分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为2006(21)( 21)(21)21.故选 D. 例 4 书知2228442 142xxyxxxyyxx，求的值. 分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义. 解：由二次根式的定义

10、及分式性质，得2240,4,2,20,xxxx022222872442,222772 14222 1422771422 14214.22yxyyx【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义. 例 5 化简223541294- 202522aaaaa-（ ）.22353252-30 2 -502223)(25)| 23| 25 |(23)(25)48.aaaaaaaaaaa解： ， ， ， ,原式（【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质2(0)|- (0).a aaaa a，例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简图 21-8 精选学习资料 - -

11、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页学习必备欢迎下载222|()().aaccab解：由a，b，c在数轴上的位置可知：0,00,0,| |()().cabaccaaaccabaaccabaaccabab 原式【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简. 22127 |1|44.|1|(2)|1|2 |.10,201,2,-112,2xxxxxxxxxxxxxx例化简解：原式令，得于是实数集被分为， 三部分，-11 0, - 20,-(1)( - 2)-3.-121 0, - 20(1)(2)

12、21.xxxxxxxxxxx当 时，原式当 时， .原式21 0,20,xxx当 时，1)(2)3.3(1)21( 12)3(2).xxxxxx原式 （，原式 ，规律方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”. 例 8 已知3,12,.abababbaba求的值分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a

13、+b=-3，ab=12 中分析得到 . 解：a+b=-3，ab=12，a0，b0. 22 124 3.abababbabaabbaba【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入. 专题 3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简例 9 估计3212+20的运算结果应在（）A. 6 到 7 之间B. 7 到 8 之间C. 8 到 9 之间D. 9 到 10 之间分 析本 题 应 计 算 出 所 给 算 式 的 结 果 ， 原 式162042 5， 由 于456. 2 5， 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

14、- -第 5 页，共 14 页学习必备欢迎下载252.5842 59，所以 . 故选 C. 例10已知m是13的整数部分，n是13的小数部分，求mnmn的值 . 解： 91316，91316，即 3134 13的整数部分为3，即m=3，13的小数部分为13-3n=133，即，313-36136 1313.133( 133)13mnmn（）二、规律方法专题专题 4 配方法【专题解读】把被开方数配方，进而应用2aa=| |化简 . 例 11 化简52 6.22252 6322 32( 3)(2)2 32( 32)|32 |32.解：规律方法一般地， 对于2ab型的根式， 可采用观察法进行配方，即找

15、出x，y(xy0) ，使得xy=b，x+y=a，则22()abxy，于是22()abxyxy，从而使2ab得到化简 . 例 12 若a，b为实数，且b=355315aa，试求22babaabab的值 . 分析本题中根据b=355315aa可以求出a，b，对2baab2baab的被开方数进行配方、化简. 解：由二次根式的性质得3503350.53 05aaaa ， ，150,0.babab，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页学习必备欢迎下载22()()222.babaabababababababbaababababa

16、bbaababababb当32321515.51555ab，时，原式【解题策略】对于形如22babaabab+或形式的代数式都要变为2()abab或2()abab的形式， 当它们作为被开方式进行化简时，要注意.ababab和以及的符号专题 5 换元法【专题解读】通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题. 例 13 计算3535.解：令x=3535，两边同时平方得：22( 3535)x，x2=（35） （35）+23535=10 01010.xx ，即原式专题 6 代入法【专题解读】通过代入求代数式的值. 例 14 已知22222400,5760,.a babab求的值22233222224

17、00,57602.42400,2.42400,1000,10,2.4 1024,102467626.a babbaa baaabab解：由，两式相除得，专题 7 约分法【专题解读】通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简. 例 15 化简23261015.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页学习必备欢迎下载2323261015223523)2312325)25525252.5235252)解：（）（）(+（）(例 16 化简().2x yy xxyxxyy2()().()()()xyxyxyxyxyx yyxxyx

18、yxyxyxy解：原式三、思想方法专题专题 8 类比思想【专题解读】类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质.本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式 . 例 17 计算 . 13+232182122 3.（ ）；（ ）解： （1）原式 =（1+2）3=33. （2）原式 =32-2+23+23=22+43. 【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比

19、合并同类项的方法去合同类二次根式 . 专题 9 转化思想【专题解读】当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决. 例 18 函数y=24x中，自变量x的取值范围是 . 分析本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中24x是二次根式，所以被开方数2x-40, 所以x2. 故填x 2. 例 19 如图 21-9 所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为3，则输出的数值为 . 图 21-9 分析本题比较容易， 根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表

20、示的代数式为21x，代入可知（3）2-1=2. 故填 2. 专题 10 分类讨论思想精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页学习必备欢迎下载【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论. 本意在运用公式2|aa进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论. 例 20 若化简2|1|816xxx的结果为25x，则x的取值范围是（）A. x为任意实数 B. 1x4 C. x1 D. x4 分析由题意可知|1|4|25xxx，由此可知|1|1xx，且|4 |4xx，由绝对值的意义可知1 0 x，且40 x

21、，所以14xx ，即的取值范围是14x . 故选 B. 【解题策略】对2a和|a| 形式的式子的化简都应分类讨论. 例 21 如图 21-10 所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案. 解：沿前、右两个面爬，路径长为22(57)3153(cm). 沿前、上两个面爬，路径长为22(37)5125(cm). 沿左、上两个面爬，路径长为

22、22(35)7113(cm). 所以它要爬行的最短路径长为113cm. 规律方法沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长. 二次根式单元测试题（一）判断题： （每小题1 分，共 5 分）1ab2)2( 2ab（）232 的倒数是32 （）32) 1(x2)1(x（）4ab、31ba3、bax2是同类二次根式（）5x8，31，29x都不是最简二次根式 （）（二）填空题： （每小题2 分，共 20 分）6当 x_时，式子31x有意义7化简8152710231225a8a12a的有理化因式是_9当 1x4 时， |x4|122xx_图

23、21-10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页学习必备欢迎下载10方程2（x1） x 1 的解是 _11已知 a、b、c 为正数， d 为负数，化简2222dcabdcab _12比较大小：721_34113化简： ( 752)2000 (752)2001_14若1x3y0，则 ( x1)2 ( y3)2 _15x，y 分别为 811的整数部分和小数部分，则2xyy2_（三）选择题： （每小题3 分，共 15 分）16已知233xx x3x，则（）（A）x0（ B）x 3（C）x 3（D） 3x0 17若 xy 0

24、，则222yxyx222yxyx（）（A）2x（B）2y（C） 2x（D） 2y18若 0 x1，则4)1(2xx4)1(2xx等于（）（A）x2（ B）x2（ C） 2x（D）2x19化简aa3(a0)得（）（A）a（B）a（C）a（D）a20当 a0，b0 时， a2abb 可变形为（）（A）2)(ba（B）2)(ba（C）2)(ba（D）2)(ba（四）计算题： （每小题6 分，共 24 分）21 （235） （235） ；2211457114732；23（ a2mnmabmnmnnm） a2b2mn；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

25、 -第 10 页，共 14 页学习必备欢迎下载24（abaabb）（babaaabbabba） （ab） （五）求值： （每小题7 分，共 14 分）25已知 x2323，y2323，求32234232yxyxyxxyx的值26.当 x12时，求2222axxaxx222222axxxaxx221ax的值六、 解答题：（每小题8 分，共 16 分）27.计算（ 251） （211321431100991） 28. 若 x， y 为实数，且yx4114x21求xyyx2xyyx2的值（一）判断题： （每小题1 分，共 5 分）1、 【提示】2)2(|2|2 【答案】2、 【提示】2314323（

26、32） 【答案】3、 【提示】2) 1(x |x1|，2)1(x x1（x 1） 两式相等，必须x1但等式左边x 可取任何数【答案】4、 【提示】31ba3、bax2化成最简二次根式后再判断【答案】5、29x是最简二次根式 【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页学习必备欢迎下载（二）填空题： （每小题2 分，共 20 分）6、 【提示】x何时有意义？x0分式何时有意义？分母不等于零【答案】 x0 且 x97、 【答案】 2aa 【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用8、【提示】（a12a） （_） a

27、222)1(aa12a 【答案】 a12a9、 【提示】 x22x 1（）2，x1当 1x 4时， x4，x1 是正数还是负数？x4 是负数， x1 是正数【答案】 310、 【提示】把方程整理成axb 的形式后， a、 b 分别是多少？12，12 【答案】 x 32211、 【提示】22dc|cd| cd【答案】abcd 【点评】ab2)( ab（ab0） ，abc2d2（cdab） （cdab） 12、 【提示】 2728， 4348【答案】 【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较281与481的大小13、 【提示】 ( 752)2001( 7 52)2000

28、 （_） 752 （752） （ 7 52）？ 1 【答案】 752【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式14、 【答案】 40【点评】1x0，3y0当1x3y0 时， x10，y3015、 【提示】311 4，_811_ 4，5 由于811介于 4 与 5 之间，则其整数部分 x？小数部分y？ x4，y 411 【答案】 5【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了（三）选择题： （每小题3 分，共 15 分）16、 【答案】 D【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A） 、 （C）不正

29、确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义17、 【提示】xy0，xy0， xy0222yxyx2)(yx|xy|yx222yxyx2)(yx |xy| xy 【答案】 C【点评】本题考查二次根式的性质2a|a|18、 【提示】 ( xx1)24( xx1)2，( xx1)2 4( xx1)2又0 x1，xx10，xx10 【答案】 D【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质（A）不正确是因为用性质时没有注意当0 x1 时， xx1 019、 【提示】3a2aaa2a|a|a aa 【答案】 C20、 【提示】a0， b0，a0， b0并且 a2)(a， b2)(b，ab)(ba【答案】 C

30、 【点评】本题考查逆向运用公式2)(aa（a0）和完全平方公式注意（A） 、 （ B）不正确是因为a0，b0 时，a、b都没有意义（四）计算题： （每小题6 分，共 24 分）21、 【提示】将35看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式【解】原式 (35)22)2(521532621522、 【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式【解】原式1116)114(5711)711(479)73(241111737123、 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12

31、 页，共 14 页学习必备欢迎下载【解】原式（a2mnmabmnmnnm）221banm21bnmmnmab1nmmn22bmannmnm21bab1221ba2221baaba24、 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分【解】原式baabbaba)()()()(babaabbabababbbaaababa)(2222babaabbababbabaababa)()(baabbabaabba【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐（五）求值： （每小题7 分，共 14 分）25、 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值【解】x23232)23(

32、526，y23232)23(526xy10，xy46， xy52( 26)2132234232yxyxyxxyx22)()(yxyxyxyxx)(yxxyyx10164652【点评】本题将x、 y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“xy” 、 “xy” 、 “xy” 从而使求值的过程更简捷26、 【提示】注意：x2a2222)(ax，x2a2x22ax22ax（22axx） ， x2 x22ax x（22axx） 【解】原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)()()2(22222222222xaxaxxxaxxaxxaxx)()(22222222222222xa

33、xaxxxaxxaxaxxx=)()(222222222xaxaxxaxxax)()(22222222xaxaxxxaxaxx1当 x12时，原式211 12 【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便即原式)(2222xaxaxx)(22222xaxxaxx221ax)11(2222axxax)11(22xxax221axx1六、解答题： （每小题8 分，共 16 分）27、 【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算【解】原式（251） （1212232334349910099100）（ 25 1） （12）（23）（34）（99100） 精选学习资料 - -

34、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页学习必备欢迎下载（ 25 1） （1100）9（251） 【点评】本题第二个括号内有99 个不同分母，不可能通分这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消这种方法也叫做裂项相消法28、 【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？. 014041xx你能求出x， y 的值吗？.2141yx【解】要使y 有意义，必须014041xx，即.4141xxx41当 x41时， y21又xyyx2xyyx22)(xyyx2)(xyyx|xyyx|xyyx|x41，y21，yxxy原式xyyxyxxy2yx当 x41，y21时，原式 221412 【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页