《2022年全等三角形题型总结,推荐文档 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全等三角形题型总结,推荐文档 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1“边边边”例题、已知：如图， ADBC，ACBD.试证明：CADDBC. (答案）证明：连接DC，在 ACD 与 BDC 中ADBCACBDCDDC 公共边 ACD BDC（SSS） CAD DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分 BAD，CE AB 于 E，并且AE12（ABAD） ，求证：B D180 . (答案）证明：在线段AE 上，截取 EFEB，连接 FC， CE AB， CEB CEF90在 CBE 和 CFE 中，CEBCEFEC =ECEBEF CBE
2、 和 CFE（SAS） B CFE AE12（ABAD） ， 2AE ABAD AD2AEAB AEAFEF， AD2（AFEF）AB2AF2EFABAFAFEFEBABAFABAB，即 ADAF 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2 在 AFC 和 ADC 中(AFADFACDACACAC角平分线定义） AFC ADC（SAS） AFC D AFC CFE180，B CFE. AFC B180，B D180 .
3、 类型三、全等三角形的判定3“角边角”例题、 已知：如图，在MPN 中，H 是高 MQ 和 NR 的交点，且 MQNQ求证： HNPM. 证明：MQ 和 NR 是 MPN 的高， MQN MRN90，又 1 3 2 490，3 4 1 2 在 MPQ 和 NHQ 中，12MQNQMQPNQH MPQ NHQ（ASA） PMHN 类型四、全等三角形的判定4“角角边”例题、已知 Rt ABC 中，ACBC， C90， D 为 AB 边的中点，EDF90，EDF 绕 D点旋转，它的两边分别交AC、 CB 于 E、 F 当 EDF 绕 D 点旋转到 DE AC 于 E 时 （如图 1） ，易证12DE
4、FCEFABCSSS；当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图 2 成立； 证明图 2：过点 D 作 DMACDNBC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3 则90DMEDNFMDN在 AMD 和 DNB 中，AMD=DNB=90ABADBD AMD DNB（AAS） DMDN MDE EDN NDF
5、EDN90， MDE NDF 在 DME 与 DNF 中，90EMDFDNDMDNMDENDF DME DNF（ASA）DMEDNFSSDEFCEFDMCNDECFS=S=SS.四边形四边形可知ABCDMCN1S=S2四边形，12DEFCEFABCSSS类型五、直角三角形全等的判定“ HL”下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形. （1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）(答案） （1）； （2）；在 ABC 和 DBC 中，ABDB，AE 和
6、DF 是其中一边上的高，AEDF （3） . 在 ABC 和 ABD 中，ABAB，ADAC，AH 为第三边上的高，如下图：1、已知：如图， DE AC，BF AC，ADBC，DEBF.求证： AB DC. (答案与解析） 证明：DE AC，BF AC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 在Rt ADE 与 Rt CBF 中.ADBCDEBF， Rt ADE Rt CBF （HL） AECF，DEBF AEEF
7、CFEF，即 AFCE 在 Rt CDE 与 Rt ABF 中，DEBFDECBFAECFA Rt CDE Rt ABF（SAS） DCE BAF AB DC. (点评） 从已知条件只能先证出Rt ADE Rt CBF，从结论又需证RtCDE Rt ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目. 2、如图，ABC 中， ACB 90， ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CF AE，垂足为 F，过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于 D. （1）求证： AECD；（2）若 AC12cm，求 BD 的长. (答案与解析）（1）证明：DB BC，CF AE， DCB D D
8、CB AEC90 D AEC又 DBC ECA 90，且 BCCA， DBC ECA（AAS） AECD（2）解：由（ 1）得 AECD，ACBC， CDB AEC（HL） BDEC12BC12AC，且 AC12 BD6cm(点评） 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等， 先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
9、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 边的距离相等 . 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心 .所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：ABC 的内心为1P，旁心为234,PP P，这四个点到ABC 三边所在直线距离相等. 角的平分线的性质及判定1、如图， AD 是 BAC 的平分线， DE AB，交 AB 的延长线于点 E，DF AC 于点 F，且 DBDC.求证： BECF. (答案） 证明： DE AE，DF AC，AD
10、 是 BAC 的平分线， DEDF， BED DFC90在 Rt BDE 与 Rt CDF 中，DBDCDEDF， Rt BDE Rt CDF（HL） BECF 2、如图， AC=DB， PAC 与 PBD 的面积相等求证： OP 平分AOB(答案与解析）证明：作 PM OA 于 M，PN OB 于 N 12PACSAC PMg，12PBDSBD PNg，且PACSPBDS12AC PMg12BD PNg又 ACBD PMPN 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，
11、共 13 页 - - - - - - - - - 6 又 PM OA，PN OB OP 平分 AOB (点评） 观察已知条件中提到的三角形 PAC 与 PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得.跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果. 3、如图， DC AB， BAD 和 ADC 的平分线相交于E，过 E 的直线分别交 DC、AB 于 C、B 两点. 求证： ADABDC. (答案）证明：在线段 AD 上取 AFAB，连接 EF， AE 是 BAD 的角平分线， 1 2， AFABAEAE， ABE AFE，
12、 B AFE 由 CD AB 又可得C B180，AFE C180，又 DFE AFE 180，C DFE， DE 是 ADC 的平分线， 3 4，又 DEDE， CDE FDE， DFDC， ADDFAF， ADABDC类型一、全等三角形的性质和判定如图，已知： AE AB，AD AC，ABAC， B C，求证： BDCE. (答案 )证明：AE AB，AD AC， EAB DAC90 EAB DAE DAC DAE ，即 DAB EAC. 在 DAB 与 EAC 中，DABEACABACBC DAB EAC （SAS） BDCE. 类型二、巧引辅助线构造全等三角形名师资料总结 - - -精
13、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7 (1)作公共边可构造全等三角形：1、在ABC 中，ABAC.求证：B C (答案 )证明：过点 A 作 AD BC 在 Rt ABD 与 Rt ACD 中ABACADAD Rt ABD Rt ACD（HL） B C. (2)倍长中线法：1、已知：如图所示， CE、CB 分别是ABC 与 ADC 的中线，且ACB ABC求证： CD2CE (答案） 证明： 延长 CE 至 F 使 EFCE，连接 BF
14、EC 为中线，AEBE在 AEC 与 BEF 中，,AEBEAECBEFCEEF AEC BEF（SAS） ACBF， A FBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACB ABC， DBC ACB A， FBC ABC A ACAB， DBC FBC ABBF又 BC 为 ADC 的中线，ABBD即 BFBD在 FCB 与 DCB 中，,BFBDFBCDBCBCBC FCB DCB （SAS） CFCD 即 CD2CE2、若三角形的两边长分别为5 和 7, 则第三边的中线长x的取值范围是 ( ) A.1 x 6 B.5 x 7 C.2 x 12 D.无法确定(答案 )A ；提示：倍长中线构造全
15、等三角形，75 2x 75，所以选 A 选项. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 8 (3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：如图， AD 是ABC 的角平分线， H，G 分别在 AC，AB 上，且 HDBD. (1)求证：B 与 AHD 互补；(2)若 B2 DGA180， 请探究线段 AG 与线段 AH、HD 之间满足的等量关系，并加以证明 . (答案） 证明： （1）在 AB 上取一点 M,
16、使得 AMAH, 连接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD AMD. HDMD, AHD AMD. HDDB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180 , AHD B180 . 即 B 与 AHD 互补. （2）由（ 1） AHD AMD, HD MD, AHD B180 . B2 DGA 180 , AHD2 DGA. AMD2 DGM. AMD DGM GDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MDMG. HD MG.AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截长 (或补短 )法作构造全等三角形：1、如图， AD 是 ABC 的角平分线， AB
17、AC,求证： ABACBDDC (答案）证明：在 AB 上截取 AEAC,连结 DE AD 是 ABC 的角平分线， BAD CAD 在 AED 与 ACD 中ADADCADBADACAE AED ADC（SAS） DEDC 在 BED 中，BEBDDC 即 ABAEBDDC ABACBDDC MGHDCBAEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 9 2、如图所示，已知ABC 中 ABAC，AD 是 BAC
18、的平分线， M 是 AD 上任意一点，求证：MBMCABAC(答案与解析 ) 证明：ABAC，则在 AB 上截取 AEAC，连接 ME在 MBE 中，MBMEBE（三角形两边之差小于第三边） 在 AMC 和 AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM所作 ，角平分线的定义，公共边 ， AMC AME（SAS） MCME（全等三角形的对应边相等） 又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC(点评 )因为 ABAC， 所以可在 AB 上截取线段 AEAC， 这时 BEABAC， 如果连接 EM，在 BME 中，显然有 MBMEBE这表明只要证明MEMC，则结论成立充分利用角平分
19、线的对称性，截长补短是关键. （4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.1、如图所示，已知E 为正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE FAE 求证： AFADCF(答案与解析）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10 证明： 作 ME AF 于 M，连接 EF 四边形 ABCD 为正方形， C D EMA90又 DAE FAE， AE 为 FAD 的平分线，MEDE在 Rt A
20、ME 与 Rt ADE 中，()()AEAEDEME公用边 ，已证 ， Rt AME Rt ADE(HL) ADAM(全等三角形对应边相等 )又 E 为 CD 中点，DEEC MEEC在 Rt EMF 与 Rt ECF 中，()(MECEEFEF已证 ，公用边 )， Rt EMF Rt ECF(HL) MFFC(全等三角形对应边相等 )由图可知： AFAMMF，AFADFC(等量代换 )(点评） 与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 四边形 ABCD 为正方形，则 D90 而 DAE FAE 说明 AE 为 FAD 的平分线，
21、按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E 到 AD 的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可，由角平分线性质可知MEDE AEAE Rt AME 与 Rt ADE 全等有 ADAM 而题中要证 AFADCF 根据图知 AFAMMF故只需证 MFFC 即可从而把证 AFADCF 转化为证两条线段相等的问题2、如图所示，在ABC 中，AC=BC， ACB=90 ， D 是 AC 上一点，且 AE 垂直 BD 的延长线于 E，12AEBD，求证： BD 是 ABC 的平分线(答案与解析）证明：延长 AE 和 BC，交于点 F， AC BC，BE AE， ADE= BDC（对顶角相
22、等），EAD+ ADE= CBD+ BDC即 EAD= CBD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11 在 Rt ACF 和 Rt BCD 中所以 Rt ACF Rt BCD（ASA） 则 AF=BD （全等三角形对应边相等） AE=BD， AE=AF，即 AE=EF 在 Rt BEA 和 Rt BEF 中，则 Rt BEA Rt BEF（SAS） 所以 ABE= FBE（全等三角形对应角相等） ，即 BD 是
23、ABC 的平分线(点评）如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法. 类型三、全等三角形动态型问题解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化1、已知：在 ABC 中， BAC90， ABAC，点 D 为
24、射线 BC 上一动点，连结 AD，以 AD为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF （1）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合） ，如图 1，求证： CFBD 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 12 （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由. (答案） 证明： （1）正方形ADEF ADAF， DAF90 DAF DAC BAC DAC，即
25、BAD CAF 在 ABD 和 ACF 中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS ） BDCF （2）当点 D 运动到线段 BC 的延长线上时，仍有BDCF 此时 DAF DAC BAC DAC，即 BAD CAF 在 ABD 和 ACF 中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS） BDCF2、如图(1)， ABC 中，BCAC， CDE 中，CECD，现把两个三角形的C 点重合，且使 BCA ECD，连接 BE，AD求证： BEAD若将DEC 绕点 C 旋转至图 (2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE 与 AD 还相等吗 ?为什么 ? (答案 )证明：
26、 BCA ECD， BCA ECA ECD ECA，即 BCE ACD 在 ADC 与 BEC 中ACD=BCEACBCCDCE ADC BEC(SAS) BEAD若将DEC 绕点 C 旋转至图 (2)， (3)所示的情况时， 其余条件不变，BE 与 AD 还相等，因为还是可以通过SAS 证明 ADC BEC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 13 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -