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1、1 全等三角形培优竞赛讲义（一）知识点全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3) 有公共边的，公共边常是对应边(4) 有公共角的，公共角常是对应角(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边( 或最大角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) ， 一对最短边 ( 或最小角 ) 是对应边 ( 或对应角 ) 要想正确地表示两个三角
2、形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理 (SAS) ：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(2) 角边角定理 (ASA) ：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理 (SSS) ：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理 (AAS) ：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(HL) ：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、 两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关
3、系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础例题精讲板块一、截长补短【例 1】 (06年北京中考题 ) 已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和. ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明DOECBA4321FDOECBA【解析】BECDBC，理由是：在BC上截取BFBE，连结OF，利用SAS证得BEOBFO，12，60A，1901202BOCA，120DOE，180ADOE，180AEOADO，13180 ，24180 ，12，34，利用AAS证得CDOCFO，CDCF，BCBFCFBECD名师资料总结 - - -精品资料欢迎
4、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 【例 2】 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点( 点B除外 ) ，作60DMN，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系 ? NEBMADGNEBMAD【解析】 猜测DMMN. 过点M作MGBD交AD于点G，AGAM，GDMB又120ADMDMA，120DMANMBADMNMB，而120DGMMBN，DGMMBN，DMMN【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边A
5、B上任意一点，MNDM且与ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？NCDEBMANCDEBMA【解析】 猜测DMMN. 在AD上截取AGAM，DGMB，45AGM135DGMMBN，ADMNMB，DGMMBN，DMMN【例 3】 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE. FEDCBAMFEDCBA【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM. AB=AD，ADCD，ABBM，BM=DFABMADFAFD=AMB，DAF=BAMABCDAFD=BAF=EAF+BAE=BAE+BAM=EAMAMB=EAMAE=EM=BE+BM=BE+DF. 名师
6、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 【例 4】 以ABC的AB、AC为边向三角形外作等边ABD、ACE，连结CD、BE相交于点O求证：OA平分DOEFABCDEOOEDCBA【解析】 因 为ABD、ACE是 等 边 三 角 形 ， 所 以ABAD，AEAC，CAE60BAD，则BAEDAC，所以BAEDAC，则有ABEADC，AEBACD，BEDC在DC上截取DFBO，连结AF，容易证得ADFABO，ACFAEO进而
7、由AFAO得AFOAOF；由AOEAFO可得AOFAOE，即OA平分DOE【例 5】 ( 北京市、天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN的周长NMDCBAEABCDMN【解析】 如图所示，延长AC到E使CEBM.在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE，所以BDMCDE，故MDED. 因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC. 又因为BDMCDE，所以60MDNEDN. 在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE，所以MNDEND
8、，则NEMN，所以AMN的周长为2. 【例 6】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDECEDBAABDEFC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 【解析】 延长DE至F，使得EF=BC，连接AC. ABC+AED=180，AEF+AED=180ABC=AEFAB=AE，BC=EFABCAEFEF=BC，AC=AFBC+DE=CDCD=DE+EF=DFADCA
9、DFADC=ADF即AD平分CDE. 板块二、全等与角度【例 7】如图，在ABC中，60BAC，AD是BAC的平分线，且ACABBD，求ABC的度数 . 【解析】 如图所示，延长AB至E使BEBD，连接ED、EC. 由ACABBD知AEAC，而60BAC，则AEC为等边三角形 . 注意到EADCAD，ADAD，AEAC，故AEDACD. 从而有DEDC，DECDCE，故2BEDBDEDCEDECDEC. 所以20DECDCE，602080ABCBECBCE. 【另解】在AC上取点E，使得AEAB，则由题意可知CEBD. 在ABD和AED中，ABAE，BADEAD，ADAD，则ABDAED，从而
10、BDDE，进而有DECE，ECDEDC，AEDECDEDC2ECD. 注意到ABDAED，则：1318012022ABCACBABCABCABCBAC，故80ABC. 【点评】由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形 . 同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的 . 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法 .【例 8】在等腰ABC中，ABAC，顶角20A，在边AB上取点D，使ADBC，求BDC. 【解析】 以AC
11、为边向ABC外作正ACE，连接DE. 在ABC和EAD中，ADBC，ABEA，2060EADBACCAE80ABC ，则ABCEAD. 由此可得EDEAEC，所以EDC是等腰三角形 . 由于20AEDBAC，则602040CEDAECAED，从而70DCE，706010DCADCEACE，则201030BDCDACDCA. EDCBAEDCBADCBADCBAEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 【另解
12、1】以AD为边在ABC外作等边三角形ADE，连接EC. 在ACB和CAE中，6020CAEACB，AEADCB，ACCA，因此ACBCAE，从而CABACE，CEABAC. 在CAD和CED中，ADED，CECA，CDCD，故CADCED，从而ACDECD，2CABACEACD，故10ACD，因此30BDC.【另解 2】如图所示，以BC为边向ABC内部作等边BCN，连接NA、ND. 在CDA和ANC中，CNBCAD，20CAD，ACNACBBCN806020 ，故CADACN，而ACCA，进而有CDAANC. 则10ACDCAN，故30BDCDACDCA. 【点评】 上述三种解法均是向三边作正
13、三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系 .【例 9】( “勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示，在ABC中，ACBC，20C，又M在AC上，N在BC上，且满足50BAN，60ABM，求NMB. 【解析】 过M作AB的平行线交BC于K，连接KA交MB于P. 连接PN，易知APB、MKP均为正三角形 . 因为50BAN，ACBC，20C，所以50ANB，BNABBP，80BPNBNP，则40PKN，180608040KPN，故PNKN. 从而MPNMKN. 进而有PMNKMN，1302NMBKMP. 【另解】如图所示，在AC上取点D，使得20ABD，由20C、ACBC可知80BAC. 而
14、20ABD，故80ADB，BABD. 在ABN中，50BAN，80ABN，故50ANB，从而BABN，进而可得BNBD. 而802060DBNABCABD，所以BDN为等边三角形 . 在ABM中，180180806040AMBABMBAM，804040DBMADBAMB，故DMBDBM，从而DMDB. 我们已经得到DMDNDB，故D是BMN的外心，从而1302NMBNDB. 【点评】本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师RossHonsberger将其喻为“平面几何中的一颗明珠”. 本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函数也不是那么容易. EDCBANDCBAPABCMNKN
15、MCBADNMCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 【例 10】在四边形ABCD中，已知ABAC，60ABD，76ADB，28BDC，求DBC的度数 . 【解析】 如图所示，延长BD至E，使DEDC，由已知可得：18018076104ADEADB，7628104ADCADBBDC，故ADEADC. 又因为ADAD，DEDC，故ADEADC，因此AEAC，EACD，EADCAD. 又因为ABAC，故AEAB，A
16、BCACB. 而已知60ABD，所以ABE为等边三角形 . 于是60ACDEEAB，故18016CADADCACD，则28CABEABCADEAD，从而1(180)762ABCCAB，所以16DBCABCABD. 【例 11】( 日 本 算 术 奥 林 匹 克 试 题 ) 如 图 所 示 ， 在 四 边 形ABCD中 ，12DAC，36CAB，48ABD，24DBC，求ACD的度数 . 【解析】 仔细观察，发现已知角的度数都是12 的倍数，这使我们想到构造60 角，从而利用正三角形 . 在四边形ABCD外取一点P，使12PAD且APAC，连接PB、PD. 在ADP和ADC中，12PADCAD，
17、APAC，ADAD，故ADPADC. 从而APDACD. 在ABC中，36CAB，72ABC，故72ACB，ACAB，从而APAB. 而12123660PABPADDACCAB，故PAB是正三角形，60APB，PAPB. 在DAB中，123648DABDACCABDBA ，故DADB. 在PDA和PDB中，PAPB，PDPD，DADB，故PDAPDB，从而1302APDBPDAPB，则30ACD. CDBADCBAECDBAPDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6
18、 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 【例 12】( 河南省数学竞赛试题) 在正ABC内取一点D，使DADB，在ABC外取一点E，使DBEDBC，且BEBA，求BED. 【解析】 如图所示，连接DC. 因为ADBD，ACBC，CDCD，则ADCBDC，故30BCD. 而DBEDBC，BEABBC，BDBD，因此BDEBDC，故30BEDBCD. 【例 13】( 北京市数学竞赛试题) 如图所示，在ABC中，44BACBCA，M为ABC内一点，使得30MCA，16MAC，求BMC的度数 . 【解析】 在ABC中，由44BACBCA可得ABAC，92ABC. 如图所示，作BDAC
19、于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，则有30OACMCA，443014BAOBACOAC，301614OAMOACMAC，所以BAOMAO. 又因为90903060AODOADCOD，所以120AOMAOB.120BOM而AOAO，因此ABOAMO，故OBOM. 由于120BOM，则180302BOMOMBOBM，故180150BMCOMB.DECBADECBAODMCABMCAB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -