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1、再练一课 (范围： 1.1 1.4) 1已知 A(1,5, 2)，B(2,4,1)，C(x，3，y2)，且 A，B，C 三点共线，则实数x，y 的值分别为 () A3， 3 B 6， 1 C3,2 D 2,1 答案C 解析AB(1， 1,3)，AC(x1， 2，y4)A，B，C 三点共线， x1121y43，x3，y 2. 2在平面 ABCD 中， A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(1,0， 1)，若 a(x，y，z)，且 a 为平面 ABC的法向量，则y2等于 () A2 B 0 C1 D3 答案C 解析AB(1,1,0)，AC(1， 1， 2)，由 a 为平面 ABC 的法向量知a
2、AB0，a AC 0，即xy0，xy2z0，令 x 1，则 y1，y21. 3已知 a(1t， 1t，t)，b(2，t，t)，则 |ab|的最小值为 () A.55B.3 55C.555D.115答案B 解析因为 ab (1t，12t，0)，所以 |ab|1t2 1 2t25t22t2，由配方法可求得最小值为3 55. 4已知两平面的法向量分别为m(0，2，0)，n(2，2，2)，则两平面的夹角为() A60 B120 C30 D 90答案A 解析因为 cosm，nm n|m|n|222 212，所以 m，n60 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中， M，N 分别是 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值为() A.32B.1010C.35D.25答案D 解析以 D 为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)，M 1，12，1 ， C(0,1,0)，N 1，1，12，则AM 0，12，1 ，CN 1，0，12，因为 AM CN12，|AM|52， |CN
4、|52，所以 cosAM，CN25. 6a(2,3， 1)，b(2,1,3)，则以 a，b 为邻边的平行四边形的面积是_答案65 解析cosa，ba b|a|b|27，得 sina，b357，由公式 S|a|b|sin a，b可得结果为6 5. 7.如图，在三棱锥SABC 中， SA底面 ABC，ABBC，ABBC2，SA2 2，则 SC 与AB 所成角的大小为_答案60解析因为 SA底面 ABC，所以 SAAC，SAAB，所以 AS AB0 ，又 ABBC， ABBC2，所以 BAC45 ，AC 2 2. 因此 AB AC|AB|AC|cos 45222224. 所以 SC AB (AC A
5、S) ABAC AB AS AB4，又 SA2 2 ，所以 SCSA2AC24，因此 cosSC，ABSC AB|SC|AB|44212，所以 SC与 AB 所成角的大小为60 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 a，点 M 在 AC1上，且 AM12MC1，N 为 BB1的中点，则 MN 的长为 _答案216a解析以 A 为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为 x
6、 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(图略 )，则 Ma3，a3，a3，N a，0，a2，所以 MN2a3，a3，a6，所以 |MN|4919136a221a6. 9.如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACBC，D 为 AB 的中点， ACBCBB1. 求证： (1)BC1AB1；(2)BC1平面 CA1D. 证明如图，以C1为原点，分别以C1A1， C1B1，C1C 所在直线为x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系设 ACBCBB1 2， 则 A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)， A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1
7、,2)(1)由于 BC1 (0， 2， 2)，AB1 (2,2， 2)，因此 BC1 AB1 0440，因此 BC1 AB1 ，故 BC1AB1. (2)取 A1C 的中点 E，连接 DE，由于 E(1,0,1)，所以 ED(0,1,1)，又BC1 (0， 2， 2)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 所以 ED12BC1 ，又 ED 和 BC1不共线，所以EDBC1，又 DE? 平面 CA1D，BC1? 平面 C
8、A1D，故 BC1平面 CA1D. 10如图所示，正方体的棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点 P 在正方体的体对角线AB 上，点 Q 在正方体的棱CD 上当点 P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱 CD 上运动时，求 |PQ|的最小值解依题意可得P12，12，12，设点 Q(0,1，z)(0z1)，则|PQ|122121212z2z12212，所以当 z12时， |PQ|min22，此时 Q0，1，12， Q 恰为 CD 的中点所以 |PQ|的最小值为22. 11在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面 A1BD 与平面 BDC1夹角的
9、余弦值等于_答案13解析设正方体棱长为1，以 DA，DC，DD1为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 求出平面A1BD 与平面 C1BD 的法向量分别为n1(1，1， 1)，n2(1,1， 1)平面 A1BD 与平面 BDC1夹角的余弦值 |cosn1，n2|n1 n2|n1|n2|13. 12直角 ABC 的两条直角边BC3，AC4，PC平面 ABC，PC95，则
10、点 P 到斜边 AB的距离是 _答案3 解析以 C 为坐标原点， CA， CB，CP 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则 A(4,0,0)，B(0,3,0)，P0，0，95，所以 AB(4,3,0)，AP 4，0，95. 所以点 P 到 AB 的距离为|AP|2|AP AB|AB|23. 13.如图，已知四棱锥PABCD 的底面是菱形，对角线AC，BD 交于点 O，OA4，OB3，OP4，OP底面 ABCD .设点 M 满足 PM MC( 0)，当 12时，直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值是_答案1010解析以 O 为坐标原点， OA，OB，OP的方
11、向分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则PA (4,0， 4)，DB(0,6,0)，AB(4,3,0)当 12时，得 M 43，0，83，所以 MB43，3，83. 设平面 DBM 的法向量为n(x，y，z)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 则DB n 6y0，MB n43x3y83z0，解得 y0，令 x2，则 z1，所以 n(2,0,1)因为 cosPA，nPA n|P A|n|44 251
12、010，所以直线P A 与平面 BDM 所成角的正弦值为1010. 14正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E平面ABF，则 CE 与 DF 的长度之和为 _答案1 解析如图建立空间直角坐标系，令 CEm，DF n，B1(1,1,0)，E(m，1,1)，A(1,0,1)，F(0,0,1n)，B(1,1,1)，B1E(m1,0,1)，AF(1,0， n)，AB(0,1,0)，B1E平面 ABF，B1EAF，B1EAB， m1 n0，00，即 mn1，CEDF1. 15.如图，过边长为1 的正方体ABCD 的顶点 A 作线段 EA平面 ABCD
13、 ，若 EA1，则平面ADE 与平面 BCE 夹角的大小是 () A120B 45名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - C135D60答案B 解析以 A 为原点，分别以AB，AD， AE 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，EB(1,0， 1)，EC(1,1， 1)设平面 BCE 的法向量为n(x，y，z)，则有xz0，xyz0，
14、可取 n(1,0,1)又平面 EAD 的法向量为 AB(1,0,0)，所以 cos n，AB12122，故平面 ADE 与平面 BCE 的夹角为 45 . 16.如图，在四棱锥EABCD 中，平面 EAD平面 ABCD ，DCAB，BCCD，EAED，AB 4，BCCD EAED2. (1)证明： BD平面 AED；(2)求平面 ADE 和平面 CDE 夹角的余弦值(1)证明因为 BCCD，BCCD2，所以 BD22. 又因为 EAED，EA ED2，所以 AD22. 又因为 AB4，由勾股定理知BDAD. 又因为平面EAD平面 ABCD ，平面 EAD平面 ABCDAD，BD? 平面 ABC
15、D，所以 BD平面 AED. (2)解如图，取AD 的中点 O，连接 OE，则 OEAD. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 因为平面EAD平面 ABCD，平面 EAD平面 ABCDAD，所以 OE平面 ABCD. 取 AB 的中点 F，连接 OF，则 OFBD. 因为 BDAD，所以 OFAD. 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则 D(2，0,0)，C(22，2，0)，E(0,0，2)，DC(2，2，0)， DE( 2，0，2)设平面 CDE 的法向量为n1 (x， y，z)，则DC n10，DE n10，所以xy0，xz0，令 x1，可得平面CDE 的一个法向量n1 (1,1， 1)又平面 ADE 的一个法向量为n2(0,1,0)因此 |cosn1，n2 |n1 n2|n1|n2|33. 所以平面ADE 和平面 CDE 夹角的余弦值为33. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -