正则参数曲面ppt课件.pptx

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1、微分几何微分几何储亚伟储亚伟 Copyright 第三章第三章 曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式3 3.1 .1 正则参数曲面正则参数曲面储亚伟储亚伟 一、参数曲面一、参数曲面 .从平面 的一个区域(region，即连通开集) 到 中的一个连续映射2R3ED3:()r DSr DE的象集 称为 中的一个参数曲面参数曲面. .在 中取3E3E()Sr D ; , ,O i j 定正交标架 ，建立笛卡尔右手直角坐标系，则参数曲面 可kS( , )u v以通过参数（参数（parameterparameter） 表示成参数方程参数方程. .( , ),( , ),( , ),xx u vyy u

2、vzz u v2( , )u vD R（1.1）或写成向量参数方程向量参数方程.( , )( , )( , )( , )( , ), ( , ), ( , )rr u vx u v iy u v jz u v kx u vy u v z u v( , )u v ， （1.2）储亚伟储亚伟 一、参数曲面一、参数曲面为了使用微积分工具，要求向量函数要求向量函数 都是都是3 3次以上连续可微的次以上连续可微的. .( , )r u vDr图3.1xyzuv00(,)u v00(,)r u v0uu0vv0( ,)r u v0vvuu- -曲线：曲线：让 固定， 变化，向量 的终点描出的轨迹.v- -

3、曲线，参数曲线网曲线，参数曲线网储亚伟储亚伟 一、参数曲面一、参数曲面直观上，参数曲面 就是将平面中的区域 经过伸缩、扭曲等连续变形SD3E后放到欧氏空间 中的结果. ()( , )()pSu vD曲纹坐标曲纹坐标 ，即( , )( , ).Op u vr u v( , )p u v一般地，由（1.1）给出的映射并不能保证曲面上的点 与( , )u v该点的参数 之间是一一对应的.为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件储亚伟储亚伟 二、正则参数曲面二、正则参数曲面0000(,)(,)uuvrr u vu0000(,)(,)vuvrr u vv，（1.3）00(,)u

4、 v0000(,)0000(,):| (,) (,)0uvuvuvuvrr u vrrr u vr u v线性无关，即 ，则称 或000(,)p u v是 的正则点（正则点（regular pointregular point）.如果 上每一点都是正则点SS则称 是正则参数曲面正则参数曲面. .S000(,)p u v以下总假定 是正则曲面.在正则曲面上每一点 ，由于S0000(,)(,),0uuuuuuuvvvvvvvuvyzxzxyrr u vyzxzxy（1.4）3E:( , )S rr u v定义定义 设 为 中的参数曲面.如果在 点，两条参00(,)u v数曲线的切向量储亚伟储亚伟

5、二、正则参数曲面二、正则参数曲面通过重新选取正交标架 ，不妨设; , ,O i j k 0000(,)(,)( , ):0( , )uuvvuvuvxyx yxyu v( , ),( , )xx u vyy u vUD00(,)u v根据反函数定理，存在 的邻域 ，使得 有连续 可微的反函数( , )uf x y( , )vg x y，( ( , ), ( , ),( ( , ), ( , )x f x y g x yxy f x y g x yy即有储亚伟储亚伟 此时有 的邻域 和同胚映射 .从而有连续000000(,)(,), (,)xyx u vy u v2V R:VU|US000(,)

6、P u vS:( )|UrrVr USS映射 .于是 在 的邻域 内可用参数方程表示为( , )( , ), ( , ), , ( ( , ), ( , )r x yr u x y v x yx y z f x y g x y（*）( , )zF x y或表示为一个二元函数 的图像，其中( , )( , ), ( , )zF x yz f x y g x y（1.5）|US上式称为曲面片 的MongeMonge形式形式，或称为 的显式方程显式方程.|US二、正则参数曲面二、正则参数曲面储亚伟储亚伟 从（*）式可见 是一一对应，从而:| :( , ), , ( ( , ), ( , )Ur VS

7、x yx y z f x y g x y1:( )|UrrUr USS 也是一一对应.这说明正则性条件至少保证了 局部是一一对应.:r DSD()Sr D为了确定起见，以下约定正则曲面 与其定义域 之间总是一一( , )p u v( , )u v对应的，从而参数 可以作为曲面上点 的曲纹坐标.反之，由显式方程 表示的曲面总是正则的：如果( , )zz x y( , ), , ( , )rr x yr x y z x y1, 0,xxrz则 ， 从而0,1,yyzr , 10 xyxyrrzz 二、正则参数曲面二、正则参数曲面储亚伟储亚伟 三、可容许的参数变换三、可容许的参数变换曲面的定向（定向

8、（orientationorientation）：对于曲面 ，规定 所指的:( , )S rr u vuvrrS一侧为 的正侧.由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换（transformation of parameter）时，要求参数变换( , ),( , )uu u vvv u v（1.8）( , )u v( , ), ( , )u u vv u v满足：（1） 是 的3次以上连续可微函数；（2） 不为零( , )( , )u vu v这样的参数变换称为可允许的（可允许的（compatiblecompatible）参数变换.当 时，( , )0( , )u vu v

9、称为保持定向（保持定向（preserve the orientationpreserve the orientation）的参数变换.储亚伟储亚伟 根据复合函数的求导法则，在新的参数下，uuvuvrrruuvuvuvrrrvv，因此( , )( , )uvuvuvuvuvu vrrrrrruvvuu v（1.10）上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、可容许的参数变换三、可容许的参数变换储亚伟储亚伟 四、正则曲面四、正则曲面， 正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.3R3

10、R将 与 等同，赋予普通的度量拓扑，即以 的标准度量确定的拓扑.3E33E RS定义定义 1.11.1 设 是 的一个子集，具有相对拓扑.如果对任意一点pSS2RpVUp存在 在 中的一个邻域 ( ，其中 是 在 中的邻域），和 UVS3ED中的一个区域 ，以及同胚:( , )( , )( , ), ( , ), ( , )r DUu vr u vx u vy u v z u v3ES()r D3E( , )r u v使得 是 中一个正则参数曲面 ，则称 是 中的一张正则曲面正则曲面，( , )U1rrU简称曲面曲面.上述的邻域 和同胚 的逆映射 合在一起，将 称为该曲面的一个局部参数化局部参

11、数化，或坐标卡坐标卡.储亚伟储亚伟 四、正则曲面四、正则曲面211122121122:()():( ,)(,)rUUUUu vu v3E 注注 的拓扑是作为 的子集从 诱导的相对拓扑，即作为 的拓扑子空间 S3E3E的拓扑.12UU12UU 22(,)U11(,)U如果两个局部参数化 ， 满足 ，那么正则参数曲面就有两个参数表示 和 .由此自然产生了参数变换111( ,)r u v222(,)r u v利用正则参数曲面 的3次以上连续可微性和正则性，则可以证明12UU上述参数变换是可允许的.储亚伟储亚伟 四、正则曲面四、正则曲面，12UU2U1D112()UU1212()rUU1U2D1r2r

12、1221rS直观上看，正则曲面 是由一些正则参数曲面“粘合”而成的.只有那些与参数的选择无关的量才是曲面本身的几何量几何量. 如果一个正则曲面有一族SA(,)|UA保持定向的局部参数化 （ 为指标集），使得 构成 的|UA开覆盖，则称该曲面是可定向的（可定向的（orientableorientable）.储亚伟储亚伟 .例例1 1（平面）（平面）= ( ,)( ,0).rr x yx y例例2 2（柱面）（柱面）= ( , )( ) ().rr u va uvll 为 单 位 向 量( , )(cos,sin, )(cos,sin,0)(0,0,1).r u vau au vau auv五、正

13、则曲面的例子五、正则曲面的例子2( , )u vD R（1.15）,0,.xayzv(0,2 )DR0a 其中 .当 时，圆柱面上少了一条直线特别地，圆柱面：特别地，圆柱面：222xya储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子如果取 ，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线(, )D R,0,xa yzv ( , )r u v显然 是任意阶连续可微的.又(0,0,1)vr ( cos , sin ,0)0uvrrau au(sin , cos ,0)urau au ，所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：222222,ln( , )auavuvr u vuvuv2(

14、 , )(0,0)u vD R，所以圆柱面是可定向的.yzx( , )r uvvu图3.2储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子xyzNS图3.3( , )r 例例3 3 球面球面 ，参数方程为 22222( , , )|Sx y zxyza( , )( coscos , cossin , sin )raaa 222( , )(0,2 ) (, ) R，（1.16）储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子2cos (coscos ,cossin ,sin )0uvrra( sincos , sinsin ,cos )ra( cossin ,coscos ,0)ra其中 .

15、由于 ，0a 所以球面是正则曲面.问题：问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子xyz( ),( ).xf vzg v( )f vu图3.4( , )r u v例例4 4 旋转面旋转面 设 是 平面上一条曲线，其中:( ),( ) ( , )C xf vzg vva bxOz( )0f v C将 绕 轴旋转得到的旋转面 参数方程为zS( , )( )cos ,( )sin , ( )r u vf vu f vu g v2( , )(0,2 ) ( , )u va b R，（1.18）储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的

16、例子v旋转面 上的 -曲线称为纬线圆纬线圆， -曲线称为经线圆经线圆.因为Su( )sin ,cos ,0urf vuu( )cos ,( )sin ,( )vrfvu fvu g v，22|( )( )( )uvrrf vfvgv( )( )cos ,( )sin ,( )uvrrf vg vu g vufv，S( )0f v C所以当 是正则曲线，并且 时， 是正则曲面.xyz储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子2L例例5 5 正螺面正螺面 设两条直线 和 垂直相交.将直线 一方面绕 作1L2L1L匀速转动，同时沿 作匀速滑动， 的运动轨迹叫做正螺面.2L1L取初始位置的直线

17、 为x轴， 为z轴，建立右手直角坐标系.则正螺面1L2L的参数方程为( , )cos , sin ,r u vuv uv av2( , ).u v R，（1.19）由cos ,sin ,0urvvsin , cos ,vruv uv a sin ,cos ,0uvrravav u，可知正螺面是正则曲面.储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子( )a u( )a u例例6 6 直纹面直纹面|( , )ulua b简单来说，直纹面就是由单参数直线族 构成的曲面.储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子( , )ua bC设 （ ）是一条空间正则曲线.在 上对应于参数 的:(

18、)C aa u( , )ua b( )l uuL每一点有一条直线 ，其方向向量为 .这条直线的参数方程可以写成: ( ; )( )( )uLr v ua uvl uS( , )a bu让 在区间 内变动，所有这些直线就拼成一个曲面 ，称为直纹面直纹面它们的参数方程为( , )( )( )rr u va uvl u，( , )( , )u va bR（1.20）曲线 称为该直纹面的准线准线，而这个单参数直线族中的每一条直线 CuLS都称为直纹面的一条直母线直母线，也就是直纹面 的 曲线.v储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子为了保证直纹面的正则性，要求( )( )( )0uvrra

19、 uvl ul u（1.21）| ( )| 1l u | ( )|vv l u因为直母线的方向向量 ，通过参数变换 ， ，可设( )0l u uu: ( )( )( ) ( )C a ua uu l u再通过选取新的准线 ，其中 是待定的函数，使得直( )u( )( )0a ul u母线处处与准线垂直相交，即 .因为a lallla l 只领取( )( )( )ua ul u du 即可.储亚伟储亚伟 五、正则曲面的例子五、正则曲面的例子( )l uc1.当 为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面 称为柱面柱面.S2.当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面 称为锥面锥面.SS( )/ /(

20、)l ua u3.当 时， 称为切线曲面，由准线 的所有切线构成.:( )C aa u这3种直纹面有共同的特征，在3.6还要进一步讨论.储亚伟储亚伟 六、小结六、小结 参数曲面正则：参数曲面正则：C3+C3+坐标曲线切向量叉积非零坐标曲线切向量叉积非零 常见例子：平面、柱面（圆柱面）、旋转曲面（球常见例子：平面、柱面（圆柱面）、旋转曲面（球 面）、正螺面、直纹面等面）、正螺面、直纹面等容许参数变换：容许参数变换：C3+JacobiC3+Jacobi行列式非零行列式非零 显示表示必正则；梯度非零的隐式表示正则显示表示必正则；梯度非零的隐式表示正则储亚伟储亚伟 微分几何微分几何 慕课邀请码慕课邀请码