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1、两点间的距离公式（一）两点间的距离公式（一）复习与回顾21221221)()(|yyxxPPH(x(x2 2,y,y1 1) )yxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )间的距离公式：间的距离公式：两点间的距离（二）两点间的距离（二）21221221)()(|yyxxPP(1)若直线P1P2 与x轴平行或重合，即y y1 1=y=y2 2 时时 |P|P1 1P P2 2|=|x|=|x2 2- -x x1 1| |若直线P1P2与y轴平行或重合，即x x
2、1 1=x=x2 2 时时 | P| P1 1P P2 2 |=|y |=|y2 2- -y y1 1| |(2)复习与回顾两点间的距离公式中特别的情况：两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )间的距离公式：间的距离公式：QPyxol思考思考：已知点：已知点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直线和直线l:Ax+By+C=0, l:Ax+By+C=0, 怎怎样求样求点点P P到直线到直线l l的距离的距离呢呢? ?点到直线的距离点到直线的距离 如图，如图，P P到直线到直线l l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P P到
3、直线到直线l l的的垂线段垂线段PQPQ的长度，其中的长度，其中QQ是垂足是垂足. .OxyP0 (x0,y0)x0y0|y0|x0|（1）当当A=0或或B=0时时, ,直线方程为直线方程为y=y1或或x=x1的形式的形式。QQxyox=x1P(x0,y0)10y-yPQ 10 x-xPQ yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0) 解解: :过点过点P P作作L L的垂线的垂线L L1 1, ,垂足为垂足为Q,Q, (2) )0 x1(xAB0y1y(1) 0C1By1Ax )3(111BCAxy得由LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0由点斜式得由点斜式得L L1
4、 1的方程的方程)x-(xABy-y00把（3）代入（2）得 设Q点的坐标为(x1,y1).又Q(x1,y1)是L1与L的交点，则)4()(220001BACByAxAxx),(11yx（2）A0,B 0时时 思路一思路一 利用两点间距离公式利用两点间距离公式。220001)(BACByAxByy201201)()(|yyxxPQ22220022)BA()CByAX)(BA( 2200BA|CByAx| 2200BA|CByAx|d 即即2220022200)()(BACByAxBBACBYAxA把（4）代入（2）得OxySR0ByCnA所以00AxByC|PS| |A22220000AB|R
5、S|AxByC|AB|P RPSH设设S(n,y0)，R(x0,m)|PS|=|X0-n|,|PR|=|y0-m|因为，因为，S,R均在均在l上上所以所以,An+By0+C=0, Ax0+Bm+C=00AyCmB所以所以00AxByC|PR|B所以所以|PS|PR |d |PH|RS|0022|AxByC|ABlP(x0,y0)(n,y0)(x0,m) 思路二思路二 构造直角三角形求其高构造直角三角形求其高。点点P(xP(x0 0,y ,y0 0) )到直线到直线l :Ax+By+C:Ax+By+C=0=0的距离公式的距离公式0022|AxByC|ABd所以我们必须注意：利用点到直线的距离公式
6、时，必须注意先把直线方程化成一般式。公式特点：（1）公式的分子部分绝对值里面的式子与直线的一般式方程等式左边部分形式相同；（2）公式的分母部分根号里面是直线一般式形式中的x，y的系数的平方和；例例1 求点求点 到直线到直线 的距离的距离210，P23:xl解：把直线解：把直线 l 的方程化为一般式得 3x20,所以，点P0到直线 l 的距离为：350321322d思考：还有其他解法吗？思考：还有其他解法吗？Oyxl:3x=2P(-1,2)35)1(32 d解法二解法二:如图，直线如图，直线3x=2平行于平行于y轴，轴，直线直线l的方程可化为的方程可化为23x 所以，点P0到直线 l 的距离为：
7、 例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积011331，CBAABC解：如图，设解：如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则ABh.21hABSABCy1234xO-1123ABCh.22311322AB 边上的高边上的高 就是点就是点 到到 的距离的距离ABhCAB 点点 到到 的距离的距离04 yx01，C即：即：.04 yx.251140122h因此，因此，.5252221ABCS思考：还有其他解法吗？思考：还有其他解法吗？ 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：，131313xyAB解解: 例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积011331，CBAABCy1234xO-11
8、23ABCh2 2即：即：.04 yx因此，因此，ABCACDACBSSS 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：，131313xyAB 例例2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积011331，CBAABCy1234xO-1123ABCD令y0，解得D（4，0）解法二解法二: 延长AB与x轴相交于点D，115 35 122 =5练习练习1.求坐标原点到下列直线的距离：求坐标原点到下列直线的距离：(1) 3x+2y-26=0; (2) x=y2.求下列点到直线的距离：求下列点到直线的距离：(1) A(-2,3)， 3x+4y+3=0(2) B(1,0)， x+y - =033(3) C(1,
9、-2)， 4x+3y=0 练习yxol2l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的线间的公垂线段公垂线段的长的长. .QP例例3 求平行线求平行线2x-7y+8=0与与2x-7y-6=0的距离。的距离。Oyxl2: 2x-7y-6=0l1:2x-7y+8=0 两平行线间的两平行线间的距离处处相等距离处处相等在在l2上任取一点，例如上任取一点，例如P(3,0)P到到l1的距离等于的距离等于l1与与l2的距离的距离5353145314)7(28073222 d直线到直线的距离转化为点到直线的距离直线到直线的距离转化为点到直线的距离P(3,0)Oyxl2
10、l1P任意两条平行直线都可以写成如任意两条平行直线都可以写成如下形式：下形式：l1 :Ax+By+C1=0l2 :Ax+By+C2=02212BACCd22200|BACByAxd的距离到直线则点上在直线设2100),(LPLyxP)(001ByAxC又直线的方程直线的方程应化为一般应化为一般式！式！练习练习3.求下列两条平行线的距离：求下列两条平行线的距离：(1) L1:2x+3y-8=0 ， L2:2x+3y+18=0(2) L1: 3x+4y=10 ， L2: 3x+4y-5=0解解 :点点P(4,0)在在L1上上 132132632|180342|22d则:解15543|510|22d
11、则1 1、点、点A(a,6)A(a,6)到直线到直线x+y+1=0 x+y+1=0的距离为的距离为4 4，求，求a a的值的值. .2 2、求过点、求过点A A（1,21,2），且与原点的距离等于），且与原点的距离等于 的直线方程的直线方程 . .223 、直直线线l在两坐标轴上的截距相等，点在两坐标轴上的截距相等，点P(4,3)到到l的距离为的距离为3 ，求直线，求直线l的方程。的方程。22.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离是的距离是1.1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0) ) 到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式是的距离公式是当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,公式仍然成立公式仍然成立. .1222.CCdAB2200BACByAxd