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1、221椭圆的标准方程椭圆的标准方程1浩瀚星空令人迷醉，遥望它们，浩瀚星空令人迷醉，遥望它们，我们总会重温童年梦想我们总会重温童年梦想太阳系太阳系“家族家族”开普勒（德国）开普勒（德国）开普勒，天文学史开普勒，天文学史上的上的“天空立法者天空立法者” ” 。 他对大量的行星数据做了数百次无结果的尝试，历经21年才发现行星运动的两条定律，10年后又发现了第三定律 开普勒行星运动定律开普勒行星运动定律1-1-轨道定律轨道定律： 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆椭圆，太阳处在所有，太阳处在所有椭圆椭圆的一个的一个焦点焦点上上天体运行天体运行 COSMOS宇宙宇宙.G
2、SP2003年10月15日，中华千年梦圆，神舟五号升空，神州继续腾飞!神舟六号嫦娥工程l“神舟神舟”五号载人飞船发射升空，于五号载人飞船发射升空，于9时时9分分50秒准确进秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心入预定轨道，开始巡天飞行。该轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在为一个焦点的椭圆。选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点。近地点原点。近地点A距地面距地面200km，远地点，远地点B距地面距地面350km。飞船绕地球飞行了十四圈后，于飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日日5时时59分返回舱与分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约
3、推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6105km，已知地球半径，已知地球半径R6371km。 (I) (I)你能求出飞船飞行的轨道方程吗？你能求出飞船飞行的轨道方程吗？ (II)(II)你能求出飞船巡天飞行的平均速你能求出飞船巡天飞行的平均速 度是多少度是多少km/skm/s吗吗？（结果精确到结果精确到1km/s） （注：（注：km/s即千米即千米/秒）秒）问题1:圆的定义是什么?圆的定义中有哪些条件?1.一个定点2.距离为定长MrC圆的定义圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合平面内与定点距离等于定长的点的集合( (轨迹轨迹) )圆圆C就是集合就是集合P=M| |MC|=r这里
4、定点为原点这里定点为原点C C，定长为半径，定长为半径r rMrC标准方程标准方程：222xyr以原点以原点 C(0,0) 为圆心，为圆心，r为半径为半径探究探究若适当改变上述两个条件（一个定点、定长），那么动点的轨迹又是什么呢？（2）把“一个定点”改为“两个定点F1和 F2”， 把“距离为定长”改为“距离相等”； （1）去掉“距离为定长”改为“任意长”；MrC（3）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之比为21； 答案是： 222331030 xyaxa探究探究MrC（4）把一个定点改为两个定点F1和 F2 ，把距离为定长改为距离之和为定值； （5）把一个定点改为两个定
5、点F1和F2 ，把距离为定长改为距离之差为定值；.探究探究MrC思考问题l1：在作同一曲线图的过程中，在作同一曲线图的过程中， 圆规两脚末端相对位置变没变？圆规两脚末端相对位置变没变？ l2：在作图过程中绳子长度变没变？在作图过程中绳子长度变没变？l3：要使粉笔套上绳子时能移动，绳子要使粉笔套上绳子时能移动，绳子长度与两定点距离大小关系怎样？长度与两定点距离大小关系怎样？MF1F24：绳子的长度和两定点之间的距离还有绳子的长度和两定点之间的距离还有 哪些情况？哪些情况？议一议：通过探究，如何给椭圆下定义呢？ 探究：改变绳长， 动点的轨迹是什么？4：绳子的长度和两定点之绳子的长度和两定点之间的距
6、离还有间的距离还有 哪些情况？哪些情况？MF1F2（1）若绳长|F1F2|（2）若绳长|F1F2|归纳椭圆定义：归纳椭圆定义：这两个定点这两个定点F1、F2称为焦点，称为焦点，两焦点距离称为焦距。记为两焦点距离称为焦距。记为2cF1F2M平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于的距离的和等于常数常数2a 的点的轨迹叫做椭圆的点的轨迹叫做椭圆。（2a|F1F2|）|MF1|+|MF2|=2a为什么不设为a ?为什么不设为c ?小结：满足几个条件小结：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？的动点的轨迹叫做椭圆？l平面上平面上-这是大前提这是大前提l动点动点 M 到两个定点到两个定点 F
7、1、F2 的距的距离之和是常数离之和是常数 2a l常数常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2CaMFMF221(2a2c)回顾：求曲线方程的方 法步骤是什么？（1）建建系、系、设设点点（2）列出）列出限限制式制式（3）代代换，得出方程换，得出方程（4）化化简简（5）证明）证明F1F2M圆的定义圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合平面内与定点距离等于定长的点的集合( (轨迹轨迹) )圆圆C就是集合就是集合P=M| |MC|=r这里定点为原点这里定点为原点C C，定长为半径，定长为半径r rMrC标准方程标准方程：222xyr以以原点原点 C(0,0) 为圆心，为圆心，r为半径为半径如何建
8、立坐标系？F1F2M多种方案：多种方案：1：建立坐标系。：建立坐标系。2：取定点：取定点F1为原点，为原点，F1, F2的连线为的连线为x轴，轴，过过F1与与F1F2垂直的直线为垂直的直线为y轴。轴。3：取两定点的连线为：取两定点的连线为x轴，轴， F1F2的垂直平的垂直平分线分线 为为y轴。轴。4：取两定点的连线为：取两定点的连线为y轴，轴， F1F2的垂直平的垂直平分线分线 为为x轴。轴。.F1F2xy0MF1 (-c,0)、 F2 (c,0)|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|=2c类比圆圆，建立坐标系为什么不设为c ?为什么不设为a ?写出等量关系设M（x,y）是椭圆上任一点，椭圆
9、的焦距为2c(c0)，那么焦点F1、F2的坐标分别是（c,0），(c,0).又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a.由椭圆定义，椭圆就是集合P=M MF1 + MF2 =2a|F1F2|推导标准方程MF1=22)(ycx MF2 =22)(ycx2222(1 ()()2)xcyxcya+-+=(xc)2 y2 (xc)2 y2 4cx22222cx()( + - = (2) - axcyx cy-+猜猜椭圆的标准方程的形式？猜想22(0,0) 1 mmxnyn？xyF1F2推导标准方程推导标准方程22()= (3)cxxcyaa-+-22222 1 (5)xyaac+=-得(1) 、 (2)
10、是对偶形式，两者相加得两边平方，并整理得，（a2c2）x2a2y2a2(a2c2). （4）(5)未臻完美？ 猜想22(0,0) 1 mmxnyn？推导标准方程推导标准方程 由椭圆定义：2a2c0，即ac0，a2c20，设b0，令a2c2=b2， （6） 代入上式得： 22221xyab简单是真理的标志简单是真理的标志, 美丽为数学所蕴含。美丽为数学所蕴含。 猜想22(0,0) 1 mmxnyn？.)0( 1 2222程程即即为为所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方方方程程 babyax焦点焦点F1( c, 0)、F2(c, 0). c2=a2 b2.xyF1F2所谓椭圆的标准方程，一定所谓椭圆的
11、标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。点的中点为坐标原点。思考-猜测 焦点在y轴上的椭圆的标准方程与焦点在x轴上的椭圆的标准方程一样吗？有何不同？OxyF1F2简单是真理的标志简单是真理的标志, , 美丽为数学所蕴含。美丽为数学所蕴含。 两种形式v说明：1表示的椭圆焦点在x轴上，焦点是 F1（c，0）、F2（c，0），其中c2=a2-b2v说明：2表示的椭圆焦点在y轴上，焦点是 F1（0，c），F2（0，c），其中c2=a2-b2形式1：22221 (0)aybaxb+=形式2：22221 (0)axbayb+=几点说明：l注意两者的异同，两者的注意
12、两者的异同，两者的对称对称转换（因为转换（因为x与与y地地位对称，两者互换）位对称，两者互换）l两种形式中，总有两种形式中，总有ab0；l椭圆焦点始终在椭圆焦点始终在分母大分母大的轴上；的轴上；la、b、c始终满足始终满足c2=a2-b2 ；l遇到形如遇到形如Ax2+By2=C，只要，只要A、B、 C同号同号，就，就是椭圆方程是椭圆方程 快速反应快速反应12222byax_, 135. 12222bayx_, 146. 22222bayx_, 149. 322bayx536432例1 已知a=4,b=3，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程y口答：根据已知条件，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程（1）a
13、=5,b=4（2）a= ,b=27变例、已知a=5,c=3，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程222cab解：2235161162522yx椭圆的标准方程练习2根据已知条件，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程（1）a=5,c=4（2）a= ,c=27 应应 用用 举举 例例 例例22 平面内两定点的距离是平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和，写出到这两定点的距离的和是是10的点的轨迹方程的点的轨迹方程.例例2 平面内有两个定点的距离是平面内有两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是写出到这两个定点的距离的和是10的的点的轨迹方程。点的轨迹方程。解：解：1 判断：判断：(1)和是常数
14、；和是常数；(2)常数大于两常数大于两个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。个定点之间的距离。故点的轨迹是椭圆。2 取过两个定点的直线做取过两个定点的直线做 x 轴，它的线轴，它的线段垂直平分线做段垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，轴，建立直角坐标系，从而保证方程是标准方程。从而保证方程是标准方程。3 根据已知求出根据已知求出a、c，再推，再推出出a、b写出椭圆的标准方程。写出椭圆的标准方程。 解解 这个轨迹是一个椭圆，两个这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用定点是焦点，用F1、F2表示表示. 取过点取过点F1和和F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直平的垂直平分线为分线为y
15、轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系. 19253, 9, 4, 582 ,10222222 yxbcabcaca这个椭圆的标准方程是这个椭圆的标准方程是回归定义!例2* 已知椭圆的焦点坐标是F1（4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程c=42a=10解：由已知得，c=4,2a=105 a22245 b9例2* 已知椭圆的焦点坐标是F1（4，0），F2（4，0），椭圆上的任意一点到F1、F2的距离之和是10，求椭圆的标准方程192522yx椭圆的标准方程例3 椭圆的两个焦点分别是（椭圆的两个焦点分别是（0，2）（0，2），并且椭圆经过点），并且
16、椭圆经过点(1.5，2.5).求它的标准方程。求它的标准方程。. l例例3 椭圆的两个焦点是（椭圆的两个焦点是（0，2）、（）、（0，2），），且椭圆经过点且椭圆经过点(1.5，2.5).求它的标准方程。求它的标准方程。解解:因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上，所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为由椭圆由椭圆定义定义：a=，c= ，b2=a2c2= 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为)0( 12222babxay22223535()(2)()(2)2 1022222a=-+-+-=10161022xy26其它方法？l待定系数法l方程思想勇攀高峰勇攀高峰_ -“定义法定义法”
17、 1根据椭圆根据椭圆定义定义判断点的轨迹是椭圆判断点的轨迹是椭圆 2象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所象推导椭圆的标准方程时一样，以焦点所在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平在直线为一个坐标轴，以焦点所在线段的垂直平分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证分线为另一坐标轴，建立直角坐标系。从而保证椭圆的方程是标准方程。椭圆的方程是标准方程。 3设椭圆标准方程，即用设椭圆标准方程，即用待定系数法待定系数法 4写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程 1一个定义： 小结小结2两个方程：22221xyab22221yxab122MFMFa.三个思想：整体思想整体思想 数形结合数形结合 方程思想
18、方程思想作作业业作作业业)0( 12222babyax称为椭圆的标准方程称为椭圆的标准方程焦点在焦点在x x轴上，焦点是轴上，焦点是F F1 1（-c,0-c,0）F F2 2（c,0c,0）焦点在焦点在y y轴上，焦点是轴上，焦点是F F1 1（0,-c0,-c）F F2 2（0,c0,c）)0( 12222baaybx如何判断焦点如何判断焦点? ?222bacF2F1MxyoyoF1F2xM所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴所谓椭圆的标准方程，一定是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点。上，且两焦点的中点为坐标原点。称为椭圆的标准方程称为椭圆的标准方程如何求焦点？如何求焦点？椭圆标
19、准方程的焦点在分母大的那个轴上。椭圆标准方程的焦点在分母大的那个轴上。不不同同点点相相同同点点标准方程标准方程图形图形焦点坐标焦点坐标定定 义义a b c的关系的关系焦点位置焦点位置的判断的判断012222babyax222210yxababF1(- C, 0)F2(C, 0)F1( 0 ,- C) F2( 0 , C)122MFMFa222abc分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上xyF1F2xyF1F2作业1.课本P45.1（写书上）2.课本P45.2（1）（2）（3）在平面内在平面内进一步的探究：进一步的探究： 与两个定点与两个定点F1 , F2的距离的和的距离的和等
20、于等于的点轨迹叫做的点轨迹叫做yxMF1F2如果保持绳子长度不变如果保持绳子长度不变,改变两个定点之改变两个定点之间的距离间的距离,椭圆的形状会发生怎样变化？椭圆的形状会发生怎样变化？如果距离之和改成距离之差且小于如果距离之和改成距离之差且小于此时点的轨迹如何？此时点的轨迹如何？21FF()21FF椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程. .形状不变形状不变,大小改变大小改变,随常数的随常数的增大而大增大而大,随常数的减小而小随常数的减小而小.、焦点不变常数变化时椭、焦点不变常数变化时椭圆的变化情况：圆的变化情况：. . . . . . . . . . 、常数不变焦点变化时椭、常数不变焦点变化时椭圆的变化情况：圆的变化情况：形状改变形状改变,随焦距的减小越来随焦距的减小越来越圆越圆,随焦距的增大越来越椭随焦距的增大越来越椭.、常数等于焦距时、常数等于焦距时,轨迹是轨迹是 .小于焦距时小于焦距时线段线段F1F2无轨迹无轨迹. .F1 F2.P1.P2.P3.P4